基于偏序集的模糊互補矩陣次序一致性檢驗與調整

吳 偉, 顧 丹

(1.遼寧工程技術大學 應用技術與經濟管理學院，阜新轉型創新發展研究院，遼寧 阜新 123000; 2.遼寧工程技術大學 黨委宣傳部，遼寧 阜新 123000)

0 引言

自從1977年匹茨堡大學教授薩蒂提出層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP)以來，因其有效、實用的特點[1],該方法被廣泛的應用在經濟、管理、軍事、技術工程等多個領域。單一準則下,人們常常通過比較兩兩方案的偏好信息構造判斷矩陣( 通常為互反判斷矩陣或模糊互補矩陣) 進行決策選擇[2]，相比這兩種判斷矩陣，模糊互補矩陣更符合人的心理習慣,更容易為決策者掌握和使用。在實際決策中，模糊互補矩陣的一致性是保證決策過程合理性的重要前提,直接影響排序向量的可靠性[2～6], 一些學者提出了包括基本一致性、滿意一致性、次序一致性概念。但由于受專家的認識能力、知識水平等諸多主觀因素的影響,加上客觀對象本身的模糊性、復雜性,模糊互補矩陣很難保證基本一致性[7,8]，魏翠萍提出當矩陣具有滿意一致性時，也能得到合理的排序向量[9],文獻[5]提出模糊互補矩陣滿足次序一致性也能得到和專家意見一直的排序結果，并證明了滿意一致性和次序一致性的等價性，楊靜等人提出次序一致性是判斷矩陣的基本條件[10]，由不具備次序一致性矩陣獲得的排序向量不可能是“對某種屬性的合理測度[11～13]”，因此，為了得到準確的排序結果，有必要對判斷矩陣次序一致性檢驗問題進行探討。

學者們對模糊互補矩陣次序一致性檢驗盡管不多，但已經有了一些研究成果，文獻[11]給出了檢驗矩陣次序一致性的通用方法；文獻[8]提出用有向圖討論了判斷矩陣次序一致性的性質，給出了檢驗判斷矩陣滿足次序一次性的方法；文獻[5]提出判斷矩陣滿足次序一致性的充要條件是存在一個置換矩陣P，給出了次序一致性的標準形式和調整完全次序一致性的方法；Zhang等人通過對矩陣分解，闡述了次序一致性矩陣檢驗的新方法[14]，侯福均提出互補判斷矩陣如果任意兩行對應元素大小都保持同向的關系[15]，則矩陣具有可接受一致性，該方法簡單、易操作，符合人們的慣性思維。另外，行和行的可比其實就是方案和方案之間可比，方案的排序是全序，具有傳遞性，而全序是特殊的偏序，因此蘊含了互補判斷一致性問題可以用偏序集來表示。學者們對矩陣次序一致性的檢驗方法各有特點，都能對判斷矩陣次序一致性進行有效檢驗，但是以上文獻對矩陣次序一致性的研究也存在以下幾個問題：第一，只給出檢驗方法，但是并未給出如何調整不一致，如文獻[8]和文獻[11]，第二，檢驗和調整方法運算過程較為繁瑣，判斷矩陣階數較高時，計算量較大問題，應用性較差，如文獻[5]文獻[11]調整過于牽強，缺乏賦值依據。基于以上分析，本文在闡述偏序集理論、模糊互補矩陣次序一致性的基礎上，給出若干性質，然后討論模糊互補矩陣次序一致性檢驗問題，給出hasse矩陣檢驗判斷矩陣次序一致性的方法基礎上，提出一種不滿足次序一致性矩陣的調整方法。

1 基本概念

1.1 偏序集

定義1[16]設R是集合A上的一個二元關系，若R滿足:

(1)自反性：對任意x∈A,有xRx；

(2)反對稱性：對任意x,y∈A,若xRy且yRx，則x=y；

(3)傳遞性：對于任意x,y,z∈A,若xRy且yRz，則xRz。

則稱R為A上的偏序關系，記作?，并稱(A,?)是一個偏序集。

如果該集合對象可數，則我們可用矩陣的形式表示，稱之為偏序關系矩陣[17]。

定義2[16]給定偏序集(A,?)，對于?ai，aj∈A，若ai?aj，則記sij=1；若ai?aj或者ai與aj不可比，則記sij=0。則S=(sij)n×n為(A,?)的偏序關系矩陣。

由偏序關系矩陣S可以形成hasse矩陣，偏序關系矩陣轉換hasse矩陣的公式：

定理1[18]設S=(sij)n×n為偏序矩陣，則HR=(S-I)-(S-I)2。

其中，S為偏序關系矩陣，HR為hasse矩陣(元素都為0和1)，I為單位矩陣，矩陣(R-I)2為布爾代數。

1.2 模糊矩陣一致性

在多屬性決策中，設X={x1,x2,…,xn}為方案集[19]，且N={1,2,…,n}。決策者常常很難直接給出方案集的排序，但是卻可以給出方案的兩兩優劣比較的用實數表示的模糊偏好信息bij，所給出的矩陣B=(bij)n×n，描述如下：

定義3[20]設矩陣B=(bij)n×n，若?bij∈[0,1],則稱B是模糊矩陣。

根據定義3可知：

(1)0.5

(2)0≤bij<0.5，表示方案xj優于方案xi；

(3)bij=0.5，表示方案xi和方案xj同樣重要。

定義4[21]若模糊矩陣B=(bij)n×n滿足：對于?i,j∈N有bij+bji=1，則稱B是模糊互補矩陣。

定義5[22]對模糊互補矩陣B=(bij)n×n,若對?i,j,k,bij≥0.5，bjk≥0.5時有bik≥0.5，則稱B有次序一致性。

從定義5能夠幫助我們判斷模糊互補矩陣是否具有次序一致性[21]，但是如果方案較多時，直接進行判斷不太容易，但是我們看到，次序一致性只關注被比較方案的優劣關系，而對優劣程度關心較少。因此，我們在研究模糊互補矩陣的次序一致性的檢驗和調整方法時，還需考慮方案之間的優劣程度，可以將模糊互補矩陣按照下列原則，轉換成截集矩陣Bλ。

定義6[23]設B=(bij)n×n對任意的λ∈[0,1]，稱Bλ=(rij)n×n為模糊矩陣B的截集矩陣，其中

(1)

定義7[5]若次序一致性判斷矩陣B,若xi優于xj，則對?k有bik>bjk時，稱B具有完全次序一致性。

2 模糊互補矩陣次序一致性偏序集檢驗與調整

定理2若對于任意的x,y∈X，若(x,y)∈R當且僅當y≥x，則(X,R)是偏序集。

證明(1)對于任意的x∈X,顯然有x≥x，即同一個方案本身和本身能比較優劣，(x,x)∈R,即R滿足自反性；

(2)對于任意的x,y∈X,若(x,y)∈R且(y,x)∈R,則x≥y且y≥x，即方案x優于方案y且方案y優于方案x，因為方案一定是可比的，根據定義3得出bij≥0.5且bji≥0.5，根據定義4得bij+bji=1，所以，bij=0.5，bji=0.5,方案x和方案y一樣好，x=y，R滿足反對稱性；

(3)對于任意x,y,z∈X,若(x,y)∈R且(y,z)∈R，則x≥y且y≥z，即方案x優于方案y，方案y優于方案z，我們很容易判斷出方案x優于z，x≥z，R滿足傳遞性。

因此，R是X上的偏序關系,(X,R)是一個偏序集,證畢。

定理3給定偏序集(X,?)，若Bλ(λ=0.5)是模糊互補矩陣B截集矩陣，則Bλ(λ=0.5)為偏序關系矩陣?B滿足次序一致性。

證明?當Bλ(λ=0.5)為偏序關系矩陣，若sij=1，根據定義2可知，ai≥aj，根據定義3中(1)和(3)可知，bij≥0.5，所以當sij=1,sjk=1時，根據定義1中(3)可知，sik=1，自然得到bik≥0.5，又因為，bjk≥0.5，根據定義5可知，B滿足次序一致性。

?必要性：若bij≥0.5，由定義6可知，Bλ(λ=0.5)中，rij=1，所以當bjk≥0.5，rjk=1，因為B滿足次序一致性，根據定義5，則bik≥0.5，則rik=1，滿足定義1中的(3)，又根據定理2中的(1)和(2)，即本文所研究的模糊互補矩陣中方案都是可比的，所以滿足定義1中的(1)和(2)，因此，截集矩陣Bλ(λ=0.5)為偏序關系矩陣，證畢。

若截集矩陣Bλ(λ=0.5)為偏序關系矩陣，由定理1可知，按照公式(1)能轉為hasse矩陣HR，因此，定理4給了我們一個的判斷模糊互補矩陣B具有次序一致性的簡單、便捷的方法，即按照定理1中的公式，Bλ(λ=0.5)偏序關系矩陣能轉換為hasse矩陣HR，則該矩陣B具有次序一致性。那么，如果Bλ(λ=0.5)偏序關系矩陣不能轉換為hasse矩陣HR，則矩陣B不具有次序一致性。

定理4給定偏序集(X,?)，模糊互補矩陣B滿足完全次序一致性的充要條件是任意截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)滿足傳遞性。

證明?對于B的任意截集矩陣，當x1>xj，bij>0.5，假設xj>xk，bjk>0.5時，因為模糊互補矩陣B滿足完全一致性，根據定義7，xi優于xj時，bik>bjk，所以bik>bjk>0.5，因此根據定義1中(1)可知，xi>xk，滿足定義1中(3)的傳遞性。

?任意截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)滿足傳遞性，根據定義1中(3)可知，當xi>xj，如果xj>xk時，xi>xk，又根據定義3，xj>xk和xi>xk兩兩方案的優劣程度用實數表示為bik和bjk，所以，確保這種傳遞關系在截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)中成立，當xj>xk優劣關系出現在Bλ(0.5≤λ≤1)截集矩陣時，即bjk≥λ,xi>xk優劣關系在Bλ(0.5≤λ<λ1≤1)截集矩陣已經出現便可，即bik≥λ1，又因為λ1>bjk≥λ，所以bik>bjk，證畢。

定理5給定偏序集(X,?)，設Bλ(λ>0.5)為截集矩陣，若Bλ滿足傳遞性,則Bλ+I為偏序關系矩陣。

證明?因為Bλ(λ>0.5)滿足傳遞性，Bλ∈Bλ+I，因此在Bλ+I中，這種傳遞關系依然存在，即根據定理2中(3)可知，若xi>xj,xj>xk,則xi>xk所以Bλ+I滿足傳遞性，又根據定義6可知Bλ中方案滿足xi>xj(i≠j)，則rij=1，I中方案滿足xi=xj(i=j)，rij=1所以Bλ+I中方案滿足xi≥xj，則rij=1，xi

?若Bλ+I為偏序關系矩陣，在Bλ+I中，根據定義1中(3)，若xi>xj,xj>xk則x1>xk又根據定義6可知，bij>λ，bjk>λ,bik>λ，截集矩陣Bλ按照定義6亦滿足bij>λ，bjk>λ，bik>λ，又因為λ>0.5，則根據定義3中(1)可知，方案xi優于方案xj，方案xj優于方案xk，則方案xi優于方案xk，所以根據定義1中(3)Bλ滿足傳遞性，證畢。

因此，模糊互補矩陣次序一致性檢驗和調整步驟：

第一步：首先求出模糊互補矩陣B的截集矩陣Bλ(λ=0.5)，如果其可以轉換為hasse矩陣，則Bλ具有次序一致性，如果不能轉換為hasse矩陣則轉為第二步；

第二步：把模糊互補矩陣B中大于等于0.5的元素按降冪排列，然后逐個檢查截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)遞性，若某個截集矩陣Bλ(0.5≤λ≤1)不能轉換為hasse時，則進入調整1，若所有截集矩陣Bλ(0.5≤λ<1)都能轉換為hasse時，完畢；

調整1畫出偏序關系矩陣,Bλ的關系圖，檢驗Bλ的關系圖新增的箭頭線是否有回路rki，如果有，則把回路rki去掉，Bλ矩陣rki元素變成0，B中bki=1-bik，返回到第二步，如果不存在回路rki，則進入調整2；

調整2在Bλ中把rik從0改成1，rki變為0，B矩陣中相應的元素變成1>bik≥λ1>1的任何數，返回到第二步。

3 算例分析

算例1某公司準備給某個項目投資一筆錢以獲得效益最大化，公司聘請一名專家對方案集X={x1,x2,x3,x4}進行決策[18]，這四個項目分別是:x1企業行業，x2是房地產行業，x3是電子行業，x4是奶制品行業。專家給出的模糊互補矩陣為：

HR=(B0.5-I)(B0.5-I)2

能轉換為hasse矩陣，所以該模糊判斷矩陣具有次序一致性，和文獻[1]中的結論一樣。

算例2假設專家針對算例1給出的模糊判斷矩陣為：

HR=(B0.5-I)-(B0.5-I)2

第二步：把矩陣B中的≥0.5元素從大到小排列為0.9>0.8>0.7>0.6<0.5。根據定理5：

B0.9關系圖如圖1所示:

圖1 B0.9關系圖

B0.8關系圖如圖2所示:

圖2 B0.8關系圖

新增加的關系是方案2到方案3的關系r23，并不存在回路，進入調整2，將B0.8中的r24調整為1，將B中的b24元素變為0.9

B0.7關系圖如圖3所示：

圖3 B0.7關系圖

Y=B0.6關系圖如圖4所示：

圖4 B0.6關系圖

Y=B0.6不能轉換成hasse矩陣，進入調整1，圖3和圖4相比較，新增加r42回路，所以去掉r42回路，B中的b42修改為1-r42=0.05，B0.6中的r42調整為0，新增方案1到方案3的關系r13，根據調整2，把r34修改為0.6，保證r14>r34，把r23修改為0.92，保證r23>r21，返回到第二步，根據定理4：

HR=(B0.5-I)-(B0.5-I)2

4 結論

在實際決策中，決策者給出的模糊判斷矩陣很難滿足完全一致性，卻能給出具有次序一致性的矩陣，由次序一致性矩陣給出排序向量具有很好的可信度[5]，本文在討論模糊矩陣次序一致性分析必要性和現有判斷矩陣次序一致性研究成果存在缺陷的基礎上，首先，給出了模糊互補矩陣B0.5能轉換為hasse矩陣，則其滿足次序一致性的檢驗定理，其次，給出了模糊互補矩陣滿足完全次序一致性和任意截集滿足傳遞性(截集矩陣Bλ+I能轉換為hasse矩陣)的等價性的檢驗定理，即通過調整模糊互補矩陣的所有λ≥0.5截集矩陣滿足傳遞性，使其滿足完全次序一致性，之后，給出了檢驗和調整模糊判斷矩陣次序一致性的步驟，最后通過兩個算例進行了驗證。通過算例，我們發現該檢驗和調整方法簡單、不丟失信息、直觀、易操作、魯棒性好。與文獻[15]的方法相比，首先，本文方法在增加了加上條件“若xi優于xj，則對?k都有bik≥bjk”時，兩種方法等價；其次，本文也解決了一致性的悖論，不僅利用偏序關系矩陣來判斷互補的次序一致性，檢驗直觀，而且還利用偏序關系矩陣把互補判斷矩陣調整到完全次序一致性。徐澤水給出了模糊互補矩陣和互反判斷矩陣的轉換公式[24]，因此，本文的方法還可以推廣到互反判斷矩陣。