渦輪葉片模糊響應面可靠性分析方法

潘承怡 魏文龍 張春宜

摘 要：為提高渦輪葉片可靠性分析的精度，在考慮輸入變量模糊性和極限狀態模糊性的基礎上，提出了結構可靠性分析的模糊響應面法（fuzzy response surface method，FRSM）。首先，采用等價轉換的方法，將帶有模糊性的輸入變量轉換為當量隨機變量;然后，基于二次多項式響應面函數，建立結構可靠性分析的模糊響應面數學模型。利用蒙特卡洛法對該模型進行大量的聯動抽樣，得到葉片應力、徑向變形的均值及方差;最后，基于概率積分法計算事件失效概率及模糊隨機可靠性指標。分析結果表明，葉片的可靠性指標隨模糊系數的增大而減小;與傳統基于隨機變量的方法相比，該方法對不確定性的描述更為合理，理論上對可靠性的評估更為準確。

關鍵詞：模糊性;可靠性分析;模糊響應面法;渦輪葉片;航空發動機

DOI：10.15938/j.jhust.2019.04.011

中圖分類號： TB114.3

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2019）04-0065-06

Abstract：In order to improve the reliability analysis precision of turbine blades， the fuzzy response surface method （FRSM， Fuzzy Response Surface Method） of structural reliability analysis is put forward considering the fuzziness of input variables and limit states. First， using the method of equivalent transformation， the input variables with fuzziness is converted into equivalent random variables. Then， the mathematic model of fuzzy response surface for structural reliability analysis is established based on the quadratic polynomial response surface function. The mean value and the variance of the stresses and radial deformations of the blades were gained through a lot of joint sampling of the model using the Monte Carlo method. Finally， the event failure probability and the fuzzy random reliability index are calculated based on the probability integral method. The analysis result shows that the blade reliability indexes decrease with the increase of fuzzy coefficient. Compared with the traditional method based on random variables， this method is more reasonable for the description of uncertainty， and the evaluation of reliability is more accurate theoretically.

Keywords：fuzziness; reliability analysis; fuzzy response surface method; turbine blade; aero-engine

0 引 言

航空發動機葉片運行環境惡劣，經常出現打傷、折斷等故障，其根本原因在于不能充分認識不確定因素的影響。不確定性在工程中主要分為兩種：隨機性和模糊性。隨機性是由于因果關系不充分而形成的一種不確定性，表現為因果律的缺陷而造成的結果不可預知性;模糊性是指事物的差異在中介過渡過程中表現出的一種亦此亦彼性，表現為排中律的缺陷而導致事物的邊界不清晰。由于研究對象的特殊性，葉片在運行中含有溫度、轉速、材料密度、重力加速度等大量的不確定性因素，如果不考慮這些因素不確定性的影響，就會導致許多在定值法計算條件下推斷為安全的葉片運行狀態，在葉片的實際運行中卻發生了破壞。因此，在航空發動機葉片的可靠性分析中必須考慮不確定性因素的影響。

考慮隨機不確定性的可靠性分析稱為隨機可靠性分析。目前，人們對隨機可靠性分析方法的研究已較為充分，并且已經在水利、土木建筑、地質等領域得到廣泛的應用[1-4]。近幾年來也開始應用于機械結構的靈敏度分析、不穩定分析和風險評估等領域[5-8]，出現了以響應面法（response surface method， RSM）為基礎的隨機可靠性概率分析方法[9-12]。響應面法[13]作為數學方法和統計方法的結合產物，在隨機可靠性分析中占有重要的地位，可以很好的處理復雜結構中含有不確定性變量的情況。例如費城巍等基于響應面法研究了航空發動機葉片在多隨機變量的情況下葉尖徑向變形的可靠度，并得出了影響徑向位移變化的主要因素[14]。張春宜、白廣忱等將模態法與多體動力學相結合，把多個動力參數作為隨機輸入變量建立了極值響應面（extremum response surface method， ERSM），通過極值響應面法對兩連桿柔性機械臂結構進行了可靠性分析，并得出極值響應面法具有高精度和高效率的特性[15]。然而，上述基于隨機不確定性進行的可靠性分析都是在概率假設及雙狀態假設的基礎上，并沒有考慮模糊性的影響，這在實際情況中并不很合理。如基于概率論的隨機可靠度分析不能考慮工程經驗及先驗知識;在小樣本條件下，由概率論與數理統計方法所得到參數統計值的置信度較低，即變量存在一定的模糊性;對于多數非脆性結構，其安全與失效之間也不存在絕對的界限，即極限狀態存在模糊性。因此，應將模糊不確定性引入到可靠性分析中，建立模糊可靠性分析模型。目前，模糊可靠性已經逐漸深入到機械工程中，如呂震宙、董玉革等考慮基本變量的模糊性，根據應力強度干涉理論，分別研究了強度模糊-應力隨機、強度隨機-應力模糊及強度模糊-應力模糊時的可靠度分析方法[16-17]。宋軍等考慮極限狀態具有模糊性，提出計算失效概率的矩方法及子集抽樣法[18-19]。在文獻[16-19]所述的模糊可靠性分析中，雖然考慮了模糊因素的影響，但其計算結果都是在概率密度函數已知的情況下進行積分得到的解析解，在變量較多無法得到概率密度函數的情況下無法求解;而且把輸入變量與狀態變量的模糊性分開進行研究，沒有同時考慮二者在系統中的影響。

本文在同時考慮了輸入變量與狀態變量模糊性的基礎之上，結合響應面高精度與高效率的特性，提出了基于模糊響應面法（fuzzy response surface method，FRSM）的渦輪葉片可靠性分析。以某型航空燃氣渦輪發動機葉片為例，考慮輸入變量模糊性和極限狀態模糊性的共同影響，把葉片運行時所受溫度和轉速作為隨機輸入變量，材料密度和重力加速度作為模糊輸入變量[14，20]，葉片的最大徑向變形量及最大應力作為輸出響應，對葉片進行可靠性分析，并對FRSM和RSM計算結果進行了比較。

1 可靠度分析的模糊響應面法

1.1 模糊響應面

由于模糊原理在可靠性分析中尚未形成比較完善的理論，因此需要將可靠性分析中的模糊變量等價轉化為隨機變量，再采用響應面方法來求解基本變量存在模糊性時的可靠性問題。本文采用了熵等價轉換法[21]對模糊變量進行轉換，此方法的優點在于它能適用于多變量的情況并且能將模糊變量直接轉化為正態隨機變量，可方便的應用于隨機可靠性分析。熵表征的是變量的不確定性程度，熵等價轉化的原理就在于模糊變量的不確定性程度與隨機變量的不確定性程度相等。

1.2 模糊極限狀態的模糊隨機可靠性分析

設基本輸入變量X=[X1，…，Xn]，由模糊響應面得到對應極限狀態下的響應函數為Z=g（X）。在隨機可靠性分析中，用極限狀態函數描述零件的狀態，即Z>0，表示零件處于安全狀態;Z<0，表示零件處于失效狀態;Z=0，表示零件處于極限狀態。這樣，可用下式計算零件的失效概率和可靠度。

3 結 論

本文基于模糊概率理論，進行了同時考慮基本變量和極限狀態模糊性的航空發動機渦輪葉片的可靠性分析。對于基本變量的模糊性，采用熵等價法將其轉換為模糊隨機變量;對于極限狀態的模糊性，先采用模糊概率理論求解其模糊失效概率，再反求模糊隨機可靠度指標。用模糊響應面代入有限元模型進行失效模式分析，在響應未知的情況下，由于考慮了模糊因素的影響，其方法更加貼近實際情況，并且模糊響應面函數還承接了傳統響應面的高精度特性，因而提高了航空發動機渦輪葉片的可靠性和安全性計算水平。算例分析表明：

1）基本變量和極限狀態的模糊性對結構的模糊隨機可靠度指標有較大的影響，當模糊變量的模糊寬度系數wx增加時，結構的可靠性指標有所減少;當極限狀態的模糊寬度系數k增加時，結構可靠性指標也有所減少;當k=0時，則為極限狀態函數Z不考慮模糊性的影響。

2）通過分別考慮隨機因素和模糊因素在葉片可靠性分析中的影響，得出了對響應面進行上萬次聯動抽樣統計后，應力的模糊可靠性比隨機可靠性小0.015%，葉片變形的模糊可靠性比隨機可靠性小0.006%，說明與傳統基于隨機變量的方法相比，該方法對不確定性的描述更為合理，理論上對可靠性的評估更為準確。

參 考 文 獻：

[1] GURVICH M R， PIPES R B. Probabilistic Strength Analysis of Four-directional Laminated Composites[J].Composites Science and Technology，1996，56（6）：649.

[2] PUGH C E， BASS B R， DICKSON T L. Role of Probabilistic Analysis in Integrity Assessments of Reactor Pressure Vessels Exposed to Pressurized Thermal-shock Conditions [J]. Engineering Failure Analysis， 2007，14（3）：501.

[3] LU Q， LOW B K. Probabilistic Analysis of Underground Rock Excavations Using Response Surface Method and SORM [J]. Computers and Geotechnics，2011， 38（8）： 1008.

[4] KARTAL M E， BASAGA H B， BAYRAKTAR A. Probabilistic Nonlinear Analysis of CFR Dams by MCS Using Response Surface Method [J]. Applied Mathematical Modeling， 2011， 35（6）： 2752.

[5] 劉志全. 航天器機械可靠性特征量裕度的概率設計方法[J]. 中國空間科學技術，2007（4）：34.

[6] FITZPATRICK C K， BALDWIN M A， RULLKOETTER P J， et al. Combined Probabilistic and Principal Component Analysis Approach for Multivariate Sensitivity Evaluation and Application to Implanted Patellofemoral Mechanics[J]. Journal of Biomechanics， 2011，44（1）：13.

[7] ALESSANDRO Z， MICHELE B， ANDREA D A， et al. Probabilistic Analysis for Design Assessment of Continuous Steel-concrete Composite Griders[J]. Journal of Constructional Steel Research， 2010， 66（7）：897.

[8] NAKAMURA T， FUJII K. Probabilistic Transient Thermal Analysis of an Atmospheric Reentry Vehicle Structure[J]. Aerospace Science and Technology， 2006， 10（4）：346.

[9] TAN Xiaohui， BI Weihua， HOU Xiaoliang， et al. Reliability Analysis Using Radial Basis Function Networks and Support Vector Machines [J]. Computer and Geotechnics， 2011， 38（2）：178.

[10]CHO S E. Probabilistic Stability Analyses of Slopes Using the ANN-based Response Surface[J]. Computers and Geotechnics， 2009， 36（5）：787.

[11]EOM Y S， YOO K S， PARK J Y， et al. Reliability-based Topology Optimization Using a Standard Response Surface Method for Three-dimensional Structures [J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2011， 43（2）287.

[12]李昌，韓興.基于響應面法齒輪嚙合傳動可靠性靈敏度分析[J]. 航空動力學報，2011，2 6（3）：711.

[13]潘鋒，朱平. 面向約束優化的改進響應面法在車身輕量化設計中的應用[J]. 機械工程學報，2013，49（9）： 55.

[14]費城巍，白廣忱. 航空發動機渦輪葉片徑向變形的概率分析[J]. 航空發動機，2012，38（1）： 17.

[15]ZHANG C Y， BAI G C. Extremum Response Surface Method of Reliability Analysis on Two-link Flexible Robot Manipulator[J]. Journal of Central South University of Technology， 2012， 19：101.

[16]呂震宙，孫頡，徐友良. 機械機構系統模糊可靠性分析的數字計算方法[J]. 機械工程學報. 2005， 41（9）： 19.

[17]董玉革，趙征權. 模糊可靠性分析的一次二階矩法[J]. 合肥工業大學學報（自然科學版）， 2005，28（9）： 980.

[18]宋軍，呂震宙. 考慮狀態模糊性時廣義失效概率計算的矩方法[J]. 工程力學，2008， 25（2）： 71.

[19]陳磊，呂震宙. 基于子集抽樣的模糊失效概率分析新方法[J]. 機械強度，2008， 30（1）：58.

[20]張春宜，路成，費成巍. 航空發動機葉片的極值響應面法可靠性分析[J]. 哈爾濱理工大學學報，2015，20（2）： 1.

[21]CHAKRABORTY S， SAM P C. Probabilistic Safety Analysis of Structures under Hybrid Uncertainty [J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering， 2007， 70（4）： 405.

[22]肖盛燮，王平義，呂恩琳. 模糊數學在土木與水利工程中的應用[M]. 北京：人民交通出版社，2004：42.

[23]譚曉慧，胡曉軍，吳坤銘. 極限狀態模糊性的邊坡模糊隨機有限元可靠度分析[J]. 巖石力學與工程學報，2009， 2（28）：3953.

（編輯：溫澤宇）