k-冪零矩陣Jordan標準形的計數

陳建達 王萍 張璐

摘 要：冪零矩陣作為一種特殊矩陣，具有很好的性質，這些性質使得冪零矩陣在密碼學、構造認證碼及安全性等方面應用非常廣泛。首先針對n階4-冪零矩陣的Jordan標準形的計數問題進行研究，通過對整數n的有序拆分方法，得到n階4-冪零矩陣Jordan標準形的計數公式;其次討論了當秩給定時的所有4-冪零矩陣，給出它的Jordan標準形的計數公式。最后針對k-冪零矩陣Jordan標準形的計數問題進行了研究，通過迭代的方法給出了n階k-冪零矩陣的Jordan標準形的計數公式。

關鍵詞：冪零矩陣;Jordan標準形;有序分拆

DOI：10.15938/j.jhust.2019.04.023

中圖分類號： O151.21

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2019）04-0139-04

Abstract：As a kind of special matrices， the nilpotent matrices has good properties. In this paper， we mainly discuss the enumeration problem of the Jordan′s normal form of 4-nilpotent matrix. We get conclusions including the calculation formulas of the Jordan′s normal form of 4-nilpotent matrix and calculation formulas of the Jordan′s normal form of 4-nilpotent matrix with constant is presented. Then， We have the calculation formulas of Jordan′s normal form of n×n k-nilpotent matrix by iteration.

Keywords：Nilpotent matrix; Jordan′s normal form; ordered partitions

0 引言

自從1964年Give′on引入格上的冪零矩陣以來，就有大量的文獻在不同的代數結構研究了冪零矩陣的性質[1]。1982年，Hashimoto[2]研究了冪零模糊矩陣（即Fuzzy代數上的冪零矩陣）簡化的一些性質。2001年Zhang[3]給出D01-格矩陣A為零冪矩陣的必要且充分的條件。2005年，Tan[4]又將這些性質推廣到分配格上，并且證明了分配格上任意一個冪零矩陣A的簡化的傳遞閉包等于A本身的傳遞閉包。而Han等[5]在2005年又將Tan中的結論推廣到斜坡上，得到了incline上n階冪零矩陣的冪零指標為n的一個充分且必要條件。2008年周驚雷和李慶國探討了incline上n階冪零矩陣冪零指標的特征，得到了incline上n階冪零矩陣的冪零指標為n的一個充分必要條件[6]。2009年官明友和譚宜家考慮一般加法冪等交換半環上冪零矩陣的傳遞閉包與簡化，并將文[5]的結果推廣到一般加法冪等交換半環上[7]。2001年李殿龍和隋思漣證明了一般數域上的2-冪零矩陣秩的取值范圍，同時也證明了2-冪零矩陣存在Jordan標準形，并給出了2-冪零矩陣Jordan標準形的明確表示[8]。2006年林榮珍和江飛在李殿龍和隋思漣研究的基礎上，討論了一般數域上的3-冪零矩陣的相似等價類的個數問題，得到了它的計算公式和秩一定時的計算公式以及n階3-冪零矩陣秩的范圍[9]。2013年曾月迪和林麗芳利用不同于林榮珍和江飛的方法得到了n階3-冪零矩陣的秩的取值范圍，并給出了幾種表示方法和秩一定時的3-冪零矩陣Jordan標準形的個數[10]。冪零矩陣Jordan標準形問題在理論密碼學、認證碼理論[11-13]及安全性、子群的結構[14-16]等問題中有廣泛的應用。

參 考 文 獻：

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（編輯：王 萍）