基于RSM的外轉子永磁電機輔助槽參數優化

李建軍，黃開勝，武 寧，黃 渠

(廣東工業大學，廣州510006)

0 引 言

外轉子永磁同步電機具有定子在內側、轉子在外側的特殊結構，同時又具備永磁同步電機體積小、效率高、便于維護等顯著特點，因此在通風設備、壓縮制冷、風機等方面中有著廣泛的應用。在永磁電機中，永磁體與定子齒槽相互作用，產生齒槽轉矩。齒槽轉矩是一種附加的轉矩脈動，雖然對電機平均轉矩大小影響較小，但會引起轉矩波動、引發振動噪聲以及降低電機控制精度等，直接影響電機的運行性能。齒槽轉矩在大功率和高性能永磁電機中表現得尤為突出[1]。為削弱永磁同步電機齒槽轉矩，國內外專家學者進行了大量的研究，提出了許多方法。其中，在永磁同步電機定子齒冠上開輔助槽是削弱齒槽轉矩的較為簡單有效的方法之一。

ANSYS Maxwell的參數化分析方法是一種常用的電機優化設計方法，該方法通過將電機參數變量化，對不同參數下的電機模型進行掃描以獲取最佳參數。文獻[2-4]都使用該方法對電機的單一參數進行了掃描，實現了電機參數的優化。但若將本文中的3個參數取值范圍均分為5等份，需要進行125次仿真，若設置為20等份，則需要8 000次。因此，該方法雖然簡單準確，但當掃描的參數較多、取值范圍較大而又需要得到較好的優化效果時，參數變化步長就需設定為較小值，實驗次數將明顯增加，耗時增長。響應面法(以下簡稱RSM)以合理的實驗設計為基礎，得到一組實驗數據，利用多維二次模型擬合各因素以及響應值之間的函數關系，以求得最優值。RSM是一種簡單高效的全局最優方法，但是需要尋找各因素與響應值之間的定量規律。但RSM的實驗設計時實驗次數固定，當因素變化范圍過大，函數關系又較為復雜時，由于實驗點數過少，該方法存在因素與響應值之間難以擬合或者擬合精度較差導致響應預測值與實際仿真結果誤差超出可接受范圍等問題。

本文綜合考慮了ANSYS Maxwell參數化分析方法和RSM的優缺點，先利用ANSYS Maxwell 2D的參數化分析方法，分析各參數變化時齒槽轉矩的變化趨勢，作為RSM各因素取值范圍的依據，確定一個較小的取值范圍，后再應用RSM對輔助槽參數進行優化。以齒槽轉矩為優化目標，以輔助槽偏移角度、槽深、槽寬為優化變量，對輔助槽參數進行尋優，得到優化結果。最后，利用有限元仿真對優化結果進行驗證。

1 開輔助槽削弱齒槽轉矩的原理分析

本文基于能量法，對開輔助槽抑制永磁同步電機齒槽轉矩進行定性分析。首先做出如下假設：

1) 在沒有特殊說明的情況下，同一電機內的永磁體形狀、尺寸、性能相同且均勻分布[5]；

2) 不考慮飽和的情況；

3) 鐵心疊壓系數為1；

4) 永磁材料的磁導率與空氣相同。

5) 電樞鐵心的磁導率無窮大。

在不考慮斜槽時的齒槽轉矩表達式如下：

(1)

(2)

式中：θs0為用弧度表示的槽口寬度；δ為氣隙長度；hm為磁鋼充磁方向長度。

定子齒冠開輔助槽相當于增加了電樞槽數，改變了電機的極槽配合。在對輔助槽削弱齒槽轉矩進行研究，為簡化分析，假設輔助槽的寬度與電樞槽相同，槽深大小適合且均勻開槽，則可認為輔助槽與電樞槽影響是相同的。當定子齒上有k個槽時，k為偶數時，Gn的表達式如下：

當k為奇數時，Gn的表達式如下：

對比式(2)、式(3)、式(4)能發現，當每個齒上開k個輔助槽時，n為(k+1)的倍數時，Gn的值不為零，此時Gn的值會變為不開輔助槽時的(k+1)倍。反之，當n不為(k+1)的倍數時，Gn的值為零。即n為Np的倍數時，Gn會產生齒槽轉矩，反之則不會。因此，為了使齒槽轉矩得到削弱，Np需滿足條件：k+1≠mNp；當Np=1時，顯然無法滿足條件，當Np≠1時，本文以12槽10極電機為例，由于k+1≠mNp，Np=2，故k的取值為0，2，4，…，其中k=0為不開槽的情況。

本文從削弱齒槽轉矩、便于加工等方面因素考慮，在滿足k+1≠mNp的條件下輔助槽數應盡量小，因此選擇輔助槽數為2。文獻[7-8]利用有限元實驗分析了輔助槽的偏移角度、槽深、槽寬對削弱齒槽轉矩的效果的影響，并對矩形槽、半圓槽、角型槽3種不同的槽型對齒槽轉矩的抑制效果進行了對比分析。分析結果表明，定子齒頂開輔助槽抑制齒槽轉矩的效果與輔助槽的偏移角度、槽深、槽寬的取值有較大關系；若選擇不當，反而會增大齒槽轉矩。同時，有限元實驗證明了矩形槽削弱齒槽轉矩的效果最為顯著，本文選取的輔助槽為矩形槽，選取輔助槽偏移角度、槽深、槽寬作為優化參數。

2 取值范圍的確定

2.1 電機模型及優化參數的建立

本文采用12槽10極外轉子永磁同步電機，其基本設計參數如表1所示。

表1 12槽10極外轉子永磁同步電機參數

ANSYS Maxwell 2D電機仿真模型如圖1所示。

圖1 外轉子電機ANSYS Maxwell 2D仿真模型

上文分析已經確定輔助槽個數為2，槽型為矩形槽，輔助槽參數設置如圖2所示。圖2中，b代表槽寬，h代表槽深，θ代表偏移角度。為避免因偏移角度過小、槽寬過大，使得兩個輔助槽合并為一個，本文中θ表示槽口靠近定子齒中心線的一邊與中心線的夾角。

圖2 輔助槽參數設置

2.2 削弱齒槽轉矩的參數化分析

ANSYS Maxwell是將電機模型中需要優化的參數變量化，仿真軟件依照設置好的取值范圍和步長逐一仿真，在掃描出的所有結果中找出滿意的結果，再得到對應的優化參數。但是，該方法如果設置的變量過多、步長較小，實驗次數將明顯增多，在多變量、小步長的情況下不夠簡單高效。文獻[7-9]利用ANSYS Maxwel優化輔助槽3個參數時，仿真均采用單一參數逐一進行有限元仿真，得到齒槽轉矩的變化趨勢，選取各趨勢曲線中齒槽轉矩較小的點作為輔助槽的參數。這種方法并不能得到優化很好的參數組合，對齒槽轉矩的優化效果一般。本文利用參數化分析方法在單變量、大步長下較為簡單的特點，得到單一參數變化時齒槽轉矩的變化趨勢，進而確定一個較小的取值范圍。

本文選取參數的取值范圍：偏移角度1°～9°；槽寬0.2～3.4 mm；槽深0.2～1.4 mm。當一個參數變化時，另外兩個參數保持不變，參數設定：θ=4.5°，h=0.6 mm，b=1.7 mm。本文依據上述設定進行仿真實驗，為了便于分析各參數變化時齒槽轉矩的變化趨勢，將所得實驗數據用折線圖更直觀地表示，如圖3所示。

(a) 偏移角度θ

(b) 槽寬b

(c) 槽深h

由圖3分析可知，輔助槽偏移角度對齒槽轉矩的影響最大。隨著偏移角度的增大，齒槽轉矩先減小后增大；隨著槽寬增大，齒槽轉矩先減小后增大；隨著槽深的增大，齒槽轉矩先增大后減小，但在0.2～0.6 mm區間內變化不明顯且齒槽轉矩較小。根據以上齒槽轉矩的變化趨勢，新的取值范圍：槽偏移角度3.5°～5.5°；槽口寬度1.8～3 mm；槽口深度0.2～0.7 mm，將以上取值范圍作為RSM的取值范圍，進行響應面設計。

3 基于RSM的參數優化

RSM是一種利用某種特定實驗設計方法得到一組實驗數據，采用多維二次模型擬合響應與因素之間函數關系并求得最優解的全局優化方法。文獻[10]提出了利用RSM優化輔助槽尺寸，但是未說明因素的取值范圍具體如何確定，齒槽轉矩僅下降46%，優化效果一般。本文為避免當因素取值范圍較大且因素與響應的關系較復雜時，RSM會出現擬合的模型無意義或者優化結果與仿真結果差值較大這一問題，根據ANSYS Maxwell參數化分析方法得到較小的取值范圍，利用RSM求取全局最優解。

RSM設計方法常用的有Box-Behnken設計(以下簡稱BBD)和中心復合設計(以下簡稱CCD)，但是考慮到CCD設計表是在3水平全因子試驗設計的基礎上加上中心點和極值點構成的，而BBD所有試驗點都不超過立方體邊界。若使用CCD，則試驗中會出現參數的水平值對應的實際值為負的情況，這與電機仿真的實際不符，故本文采用BBD。

本文利用Design-Expert軟件和ANSYS Maxwell 2D，根據BBD模型的設計理論，得到各因素水平表如表2所示，BBD試驗安排及有限元仿真結果如表3所示。

表2 試驗因素水平表

表3 BBD試驗安排及仿真結果

利用Design-Expert軟件對有限元仿真數據采用二階響應模型對變量和響應值之間的函數關系進行擬合，得到二階回歸方程如下：

Tc=+7.48+2.82θ-10.24h-2.20b+

1.92θh+19.56θb-0.033hb+19.03θ2+6.92h2+10.08b2

(5)

式中：θ，h，b都是編碼變換后的數值，計算時應根據表2進行變換。為了對擬合函數進行評價，點擊Design-Expert中的方差分析(ANOVA)選項。方差分析對模型顯示，模型的P值<104，說明擬合度很好；決定因數R2為0.997，大于0.9，說明各因素與響應值有良好的函數關系并且得到了較好的擬合。為了分析各因素變量的交互作用，本文采用Design-Expert生成的等高線圖與3D圖，如圖4～圖6所示。

(a) 等高線圖

(b) 3D響應圖

(a) 等高線圖

(b) 3D響應圖

(a) 等高線圖

(b) 3D響應圖

由圖4～圖6可知，輔助槽偏移角度相對于槽深、槽寬，在變化時對齒槽轉矩的影響較大，與上文ANSYS Maxwell得到結果的大致相符。通過圖4～圖6可以觀測出，單一參數的最佳取值范圍，偏移角度為4°～4.5°；槽深為0.5～0.65 mm；槽寬為2.4～2.6 mm。本文利用Design-Expert軟件對二階回歸模型分析求解后，得到最優化參數(θ，h，b)=(4.13°，0.47 mm，2.50 mm)，響應值為6.75 mN·m。利用ANSYS Maxwell 2D對以上參數進行有限元仿真驗證，仿真得到的齒槽轉矩峰值為6.28 mN·m，相對于優化前的齒槽轉矩峰值51.89 mN·m，下降了87.9%。優化前后齒槽轉矩的對比圖如圖7所示。

圖7 開槽前后齒槽轉矩對比

4 結 語

本文采用定子齒開輔助槽的方法削弱一款12槽10極外轉子永磁同步電機的齒槽轉矩。為確定輔助槽尺寸的最佳參數，研究了結合ANSYS Maxwell 2D參數化分析方法和RSM相相結合的方法，既避免了ANSYS Maxwell 2D參數化分析方法在優化輔助槽參數時仿真實驗次數過多的缺點,又克服了RSM在變量取值范圍大、交互關系復雜時難以有效擬合的缺點。利用該方法，本文在仿真次數較少的情況下實現了對輔助槽參數的有效優化，仿真結果表明，齒槽轉矩下降了87.9%，證明了該方法的有效性。