任意階梯型截面Timoshenko 梁的彎曲

楊 驍,錢 程,錢雪薇

(上海大學土木工程系,上海200444)

在梁彎曲變形的研究中,通常將其邊界約束視為簡支或固支等理想邊界條件.雖然這種處理方式具有一定的合理性,并可簡化計算分析,但對于梁邊界的某些特殊連接形式,如木結構的榫卯連接、PC(prestressed concrete)結構中的結點等,應用理想邊界條件分析梁彎曲可能會產生較大的誤差；另外,階梯型截面梁構件已廣泛應用于機械和建筑結構等工程領域中,因此邊界彈性支承下階梯型截面梁的彎曲研究及其應用具有重要的理論意義和廣泛的應用背景.

階梯型截面梁彎曲分析的經典解析方法是以截面變化位置為分界點,將梁分為若干等截面子梁段,并對每一子梁段應用等截面梁彎曲的控制方程求其變形通解,而后根據梁的邊界條件以及子梁段連接處的連續性條件,確定子梁段變形通解中的待定常數[1],或利用傳遞矩陣法進行求解[2-5],從而得到以分段函數形式表示的階梯型截面梁的彎曲解.然而,隨著梁變截面個數的增加,其連續性條件或傳遞矩陣數目增加,導致確定待定常數的線性方程組階數增加或矩陣計算量增大,求解繁瑣,難以給出形式簡單的解析閉合解.為此,眾多學者試圖尋找適用于整個梁跨的形式簡單的解析閉合解.

階梯型截面梁彎曲分析的另一種方法是基于廣義函數理論中Heaviside函數性質[6],在整個梁跨上給出包含不連續信息的微分控制方程,從而減少計算,簡化分析.Falsone[7]給出了包含載荷、撓度、轉角以及曲率不連續等信息的Euler-Bernoulli梁彎曲控制方程；而Yavari等[8-10]針對Euler-Bernoulli梁撓度、轉角和曲率的不連續跳躍,通過構造一個事先滿足跳躍條件的新撓度函數,在整個梁跨上給出了梁彎曲的控制方程,并提出了輔助梁分析方法；Biondi等[11]針對單階梯型截面梁或梁中存在一個內部扭轉彈簧的梁彎曲問題,在梁抗彎剛度中分別引入廣義Heaviside函數和Dirac's Delta函數,給出了Euler-Bernoulli梁彎曲的控制方程以及適用于整個梁跨的解析閉合解；Biondi等[12]還將文獻[11]的結果推廣至多階梯型截面梁以及內部多扭轉彈簧梁的彎曲分析中,并研究了梁柱軸向位移的不連續性問題,但其抗彎剛度的物理描述并不十分完善；Cheng等[13]利用廣義函數給出了階梯型截面梁的靜動力分析方法,并利用得到的解析閉合解進行了相關的參數敏感性問題分析.同時,廣義函數亦應用于非均勻梁彎曲分析及無損檢測等方面[14-21].

目前,在階梯型截面Timoshenko梁彎曲研究中廣義函數的應用相對較少,本工作應用Heaviside函數研究了邊界彈性支承階梯型截面Timoshenko梁的彎曲.首先,利用Heaviside函數,給出了任意階梯型截面Timoshenko梁的抗彎和抗剪剛度,進而得到了任意載荷作用下階梯型截面Timoshenko梁彎曲的解析通解；然后,利用邊界彈性支承條件,確定通解中的待定常數,從而得到階梯型截面Timoshenko梁彎曲變形的解析閉合解；最后,并利用SAP2000有限元軟件驗證了解析閉合解的正確性.在此基礎上,本工作還數值分析了固支和懸臂階梯型截面Timoshenko梁的彎曲,考察了變截面位置、截面大小、梁高跨比以及邊界支承剛度等對Timoshenko梁彎曲變形的影響.

1 任意階梯型截面Timoshenko梁的彎曲變形

如圖1所示,設承受橫向載荷q(x)作用的階梯型截面Timoshenko梁由N段矩形等截面子梁構成,其總長為L,且在x=xi(i=1,2,···,N-1)處發生截面變化.記第i段子梁橫截面的高和寬分別為hi和bi,而其抗彎剛度和抗剪剛度分別為(EI)i和(GA)i；假定梁兩端為彈性支承,其豎向彈簧剛度分別為Kd1和Kd2,而橫截面扭轉彈簧剛度分別為Kr1和Kr2.

利用Heaviside函數[6]以及文獻[11]的方法,可得到此階梯型截面Timoshenko梁沿梁跨的抗彎剛度(EI)(x)和抗剪剛度(GA)(x)分別表示為

圖1 階梯型截面Timoshenko梁Fig.1 Timoshenko beam with stepped cross-section

式中,H(x)為Heaviside函數,γi和βi分別為抗彎剛度和抗剪剛度的折減參數,定義為

如果記階梯型截面Timoshenko梁的橫向撓度和截面轉角分別為w(x)和φ(x),則任意載荷q(x)作用下階梯型截面Timoshenko梁彎曲變形的邊值問題[1]為

引入如下無量綱量和參數

可得如下階梯型截面Timoshenko梁彎曲的無量綱邊值問題

式中,m=ML/(EI)1和fs=FsL2/(EI)1分別為Timoshenko梁的無量綱彎矩和剪力,且

對方程式(6)的第一個方程兩邊積分,可得

式中,C1為待定系數,且

將式(8)代入式(6)的第2個方程,兩邊積分得

式中,C2為待定系數,且

于是,有

式中,C3為待定系數.

將式(12)代入式(8),兩邊積分得

式中,C4為待定系數,且

于是,無量綱彎矩和剪力可表示為

由式(6)中邊界條件得到確定待定系數Ci(i=1,2,3,4)的線性代數方程組,可得

式中,

當γi=βi=0時,階梯型截面梁退化為等截面梁.如果令Q(x)=Q,kri=kdi=∞(i=1,2),則問題變為均布載荷作用下兩端固支等截面Timoshenko梁的彎曲,此時式(12)和(13)變為

如果令kr1=kd1=∞和kr2=kd2=0,則問題變為均布載荷作用下懸臂等截面Timoshenko梁的彎曲,而此時式(12)和(13)變為

式(18)和(19)與文獻[1]中的公式一致,從一個方面說明本工作推導的正確性.

2 算例分析

2.1 均布荷載下單階梯型截面固支Timoshenko梁的彎曲

考慮長L=2 m的單階梯型截面Timoshenko梁,即N=2,截面在x1=1 m處發生變化,且截面高度分別為h1=0.6 m和h2=0.3 m,寬度b=b1=b2=0.25 m,因此取梁彈性模量E=2×1011N·m-2,泊松比ν=0.3,剪切修正系數κ=10(1+ν)/(12+11ν)=0.85,均布荷載q(x)=q0=10 kN·m-1,且kd1=kd2=kr1=kr2=100.圖2為在此工況下單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布.同時,圖中亦給出了SAP2000有限元軟件[22]的計算結果,可見,本工作的解析解與有限元解吻合得較好,從而驗證了本工作理論公式的正確性.

圖2 單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布Fig.2 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of Timoshenko beam with single stepped cross-section

仍取上述單階梯型截面Timoshenko梁的材料、幾何和載荷參數,以及kd1=kd2=100.圖3顯示了此時邊界支承無量綱扭轉彈簧剛度kr=kr1=kr2對單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布的影響.可見,隨著邊界扭轉彈性支承剛度kr的減小,梁撓度和轉角增大,且在變截面ξ1=0.5處轉角斜率發生明顯跳躍.

圖3 不同kr時單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布Fig.3 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of Timoshenko beam withsingle stepped cross-section for different kr

取kd1=kd2=kr1=kr2=1010(相當于兩端固支梁),除截面變化位置x1外,其他參數不變.圖4為無量綱截面變化位置ξ1對固支單階梯型截面Timoshenko梁撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布的影響.可見,梁的撓度分布光滑,但其截面轉角在截面變化ξ=ξ1處非光滑,這是由于在截面變化ξ=ξ1處梁彎矩連續,但抗彎剛度發生跳躍,從而導致截面轉角φ(ξ)的斜率,即彎曲曲率發生跳躍.由于γ2=7/8＜1和β2=1/2＜1,即子梁2的抗彎剛度和抗剪剛度小于子梁1的抗彎剛度和抗剪剛度,因此隨著截面變化位置ξ1的增大,梁的整體剛度增大,從而導致隨著截面變化位置ξ1的增大,撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)減小.當ξ1=1.0時,梁退化為等截面Timoshenko梁,此時撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分別關于梁跨中是對稱和反對稱分布,且截面轉角φ(ξ)的斜率不發生跳躍.

圖4 不同ξ1時,單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布Fig.4 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of Timoshenko beam with single stepped cross-section for different ξ1

仍取kd1=kd2=kr1=kr2=1010,除h2外其他參數不變.圖5顯示了子梁2高度h2對單階梯型截面固支Timoshenko梁撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布的影響.當h2/h1=1/3,1/2和2/3時,固支單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)與固支等截面Timoshenko梁(h2/h1=1)撓度有較大的差異.隨著h2/h1接近于1,即趨于等截面Timoshenko梁,其撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)趨于等截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ).類似地,可分析邊界彈性支承條件下階梯型截面Timoshenko梁的彎曲.

圖5 不同h2時單階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布Fig.5 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of Timoshenko beam with single stepped cross-section for different h2

2.2 均布荷載下懸臂單階梯型截面Timoshenko梁的彎曲

為考察懸臂單階梯型截面Timoshenko梁的彎曲變形,分別取kd1=kr1=1010和kd2=kr2=10-10,其他參數不變.圖6顯示了無量綱截面變化位置ξ1對懸臂單階梯型截面Timoshenko梁撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布的影響.可見,截面變化位置ξ1對懸臂單階梯型截面Timoshenko梁撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)的影響與固支階梯型截面Timoshenko梁的相同.另外,靠近自由端的子梁截面變化并不影響固支端附近子梁的變形,即當ξ＜ξ1時其變形并不依賴于ξ＞ξ1的子梁截面的改變.

圖6 不同ξ1時單變截面懸臂Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布Fig.6 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of cantilever Timoshenko beam with one stepped cross-section for different ξ1

2.3 均布荷載作用下固支雙階梯型截面Timoshenko梁的彎曲

考察由3個子梁組成的固支雙階梯型截面Timoshenko梁,即N=3,且取kd1=kd2=kr1=kr2=1010,材料常數不變.幾何參數分別為：梁長L=1.80 m,變截面位置ξ1=1/6,ξ2=5/6,各子梁截面寬度分別為b1=0.30 m,b2=0.20 m和b3=0.25 m；一組截面高度分別為h1=0.60 m,h2=0.40 m和h3=0.5 m,記為Beam-Ⅰ,而另一組截面高度分別為 h′1=0.30 m,h′2=0.20 m 和 h′3=0.25 m,記為 Beam-Ⅱ. 圖 7 分別顯示了固支雙階梯型截面Timoshenko梁Beam-Ⅰ和Beam-Ⅱ的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)的分布.可見,隨著高跨比的減小,梁的撓度和轉角值增大.

圖7 固支雙階梯型截面Timoshenko梁的撓度W(ξ)和轉角φ(ξ)分布Fig.7 Distributions of deflection W(ξ)and rotational angle φ(ξ)of clamped Timoshenko beam with double stepped cross-sections

3 結 論

本工作研究了邊界彈性支承下任意階梯型截面Timoshenko梁的彎曲變形.首先,利用Heaviside廣義函數,給出了階梯型截面Timoshenko梁沿梁跨的抗彎剛度和抗剪剛度；其次,由Timoshenko梁的彎曲控制方程和邊界彈性支承條件,得到了階梯型截面Timoshenko梁撓度和轉角的解析閉合解.在此基礎上,數值分析了固支和懸臂階梯型截面Timoshenko梁的彎曲,考察了變截面位置、截面大小以及梁高跨比等對Timoshenko梁彎曲的影響,得到如下結論：

(1)利用Heaviside函數給出的階梯型截面Timoshenko梁抗彎和抗剪剛度公式,避免出現經典階梯型截面Timoshenko梁分析方法中變截面處的連續性條件,簡化了計算,并給出了整個梁跨上彎曲撓度和轉角的統一標準解析閉合解；

(2)階梯型截面Timoshenko梁的撓度和轉角分布與等截面Timoshenko梁的撓度和轉角分布有較大的差異,在截面變化位置處階梯型截面Timoshenko梁轉角斜率存在明顯的突變跳躍,且截面尺寸變化越大,轉角跳躍越明顯；

(3)對于懸臂單階梯型截面Timoshenko梁,靠近自由端的梁截面變化不影響固支端附近梁的變形.