磨漿過程輸出纖維長度隨機分布預測PDF 控制

李明杰 周平

磨漿過程主要為后續造紙過程提供滿足相應物理特性的紙漿纖維,同時也是保證紙品質量的前提.但由于磨機物理結構復雜性以及磨漿運行過程中受外界不確定因素的影響,導致纖維長度具有較強的隨機分布特性,而傳統的均值或者方差并不足以表征整個纖維長度隨機分布(Fiber length stochastic distribution,FLSD)特征,即具有非高斯分布特性[1].而事實上,FLSD 形狀作為衡量磨漿過程中最主要的生產指標之一,不僅影響到紙漿脫水效率和后續造紙過程的電耗,而且直接影響到整個制漿和造紙工業的能耗和最終的紙品質量[2?6].在這種情況下,就必須尋找一種能夠對磨漿過程輸出FLSD進行有效控制的方法.

雖然一些學者較早地意識到FLSD 在紙漿生產過程中的重要作用,但目前仍利用離線獲得的纖維長度的均值和方差作為衡量紙漿纖維質量的生產指標[3?9].如文獻[3?6]采用長纖維百分含量作為評價紙漿質量的工藝指標,而事實上,這種以統計纖維束長度的均值和方差并足以有效表征整個纖維長度的分布特征,甚至會導致FLSD 信息的缺失,這主要因為木片等富含纖維的紙漿原料經過盤磨機的橫向擠壓和縱向帚化后,雖然使得纖維束逐漸分解成單根纖維,然而,也導致纖維長度的分布形狀具有很強的隨機性和不確定性.此外,加之纖維長度分布在線檢測儀器缺失,使得通過離線纖維長度的均值和方差來調整過程操作變量,其檢測的滯后性難以使紙漿纖維質量穩定在工藝要求范圍內,致使長纖維百分含量的控制大多過度依賴操作人員的經驗,然而人工調整主觀性較強,常常造成工況波動大,嚴重影響磨漿過程生產指標的穩定性.

另一方面,現有針對隨機動態系統的最小方差控制、自校正控制、隨機線性二次型控制,均假設系統服從高斯分布,主要集中針對過程輸出隨機變量的均值和方差進行建模和控制,然而,針對輸出變量服從非高斯分布的有界動態隨機系統,1996 年王宏教授提出了直接設計控制器以使輸出PDF 形狀跟蹤期望PDF 形狀的控制策略,并系統地提出了多種建模和控制方法[10?18].這類控制策略包含了傳統以輸出均值和方差為目的隨機控制方法,具有更為廣泛的應用.近些年,隨機分布控制理論已成功應用于各類具有隨機分布動態特性的工業過程,如造紙過程的絮凝粒徑分布[10,12]、燃燒過程的火焰分布[18?19],聚合過程的分子量分布[20],銅粗選過程的泡沫尺寸分布[21]等,這些過程輸出隨機變量均不能滿足高斯分布特征,并且具有較強的隨機分布動態特性.

另外,在制漿和造紙工業領域,目前已有多種用于測量紙漿纖維各種形態參數的在線自動化檢測和分析儀器,這些檢測儀器常采用數碼CCD 攝像機獲取的纖維圖像經數字化后傳輸到計算機系統進行處理,通過實時二維圖像分析軟件將每根纖維從圖像信號中識別出來,逐一測量纖維的形態參數,能迅速準確地獲得纖維形態參數是測量結果.如加拿大Optest 公司FQA-360、芬蘭Kajaani 公司FS-300、丹麥Fiber-Visions 等[8?9],這些先進測量儀器為研究基于磨漿過程輸出FLSD 的建模及控制提供了技術支撐.

磨漿過程輸出FLSD 具有典型的非高斯分布動態特性,采用傳統纖維長度的均值和方差難以有效描述其分布特征,本文根據隨機分布相關控制理論[10],利用RBF 神經網絡逼近輸出FLSD 的PDF,為了改善傳統線性權值模型[14?19]精度不高、泛化能力不強等問題,采用隨機權神經網絡(Random vector functional-link networks,RVFLNs)[22?24]建立表征輸入變量和權值向量之間的非線性模型,基于磨漿過程輸出FLSD 模型提出了一種預測PDF 控制方法,實現了對輸出FLSD 形狀的跟蹤控制,基于工業數據實驗表明了所提方法的有效性.

1 磨漿過程描述

典型的磨漿過程工藝流程如圖1 所示,磨漿過程即是將植物原料經盤磨機反復研磨后,經汽漿分離后獲得造紙所需的紙漿纖維.其主要包括喂料系統,供水系統,液壓伺服系統和磨盤調速系統.當磨機運行時,首先將經過將被篩選木片在蒸煮倉里進行高溫預處理,經清除雜質后的木片在螺旋喂料器作用下送入磨室.磨機作為磨漿過程中的核心設備,主要有定盤、動盤、電液伺服裝置和主電機等組成.當預處理后木片和稀釋水注入磨區后,利用電液伺服裝置可以實時調節磨盤間隙,動盤在主電機帶動下通過機械摩擦、剪切、撕裂、切割等作用,最終將預處理后木片分解為單根纖維.然后,紙漿通過送入旋風分離器實現汽漿分離,最終獲得滿足造紙過程所需的紙漿纖維.可以看出,由于工藝流程長及現場環境惡劣等原因,若操作變量調節不當,即便通過磨機的反復研磨,也難以獲得滿意的FLSD 形狀,這樣不但導致紙漿質量無法滿足工藝要求,而且也極易造成原料浪費和過程能耗過大.

圖1 典型磨漿過程工藝流程圖Fig.1 Flowsheet of typical refining process

磨漿過程的主要操作變量包括磨盤間隙、稀釋水流量、動盤轉速和螺旋喂料量等.研究表明:長纖維百分含量作為衡量磨漿過程纖維長度均值的工藝指標,主要與注入磨區的稀釋水流量和磨盤間隙密切相關[3,5?6],由于磨漿過程主要目的是對纖維進行切斷、壓潰、吸水膨脹,最終使纖維束分離為單根纖維,所以,磨盤間隙直接影響紙漿纖維被切斷和壓潰強度.同時,為使植物纖維能夠較好地分離為單根纖維,需要讓纖維獲得足夠的水份進行膨脹,紙漿纖維的吸水膨脹程度主要取決于注入磨區的稀釋水流量.而植物纖維被切斷、壓潰強度以及吸水膨脹程度決定了最終獲得的纖維長度隨機分布形狀.另外,結合實際工程經驗,通常情況下分別通過改變喂料螺旋轉速和供水泵轉速來調節螺旋喂料量和稀釋水流量,根據工程實踐經驗,當產量一定的情況下,動盤轉速是固定不變的,螺旋喂料量也是恒定的.因此,稀釋水流量和磨盤間隙不但可以看作影響長纖維百分含量的主要變量,同樣也可以作為影響最終FLSD 形狀的關鍵變量,對整個制漿生產流程都起著極為關鍵的作用.因此,本文將稀釋水流量和磨盤間隙作為影響磨漿過程輸出FLSD 形狀的關鍵輸入變量.

2 控制策略

根據有界動態隨機分布控制相關理論[10]可知,隨機分布系統模型主要由隨機變量的PDF 輸出部分和權值與輸入變量之間的動態部分組成.為了表示輸入變量和輸出PDF 之間的動態關系,常引入一組基函數(如B 樣條基函數[16?17,20?21]、RBF 基函數[15,18?19])來逼近輸出隨機變量的PDF,通過調節基函數的權值來控制輸出PDF 形狀,這樣將隨機分布系統的輸出PDF 和輸入變量之間的動態關系轉化為權值向量和輸入變量之間的動態關系,最終通過對相對應權值的控制實現對輸出PDF 形狀的動態調節.為此,本文針對磨漿過程輸出FLSD 提出預測PDF 控制策略如圖2 所示,具體如下:

1)首先,需尋找一組合適的RBF 基函數來逼近輸出FLSD 的PDF.采用RBF 神經網絡逼近輸出PDF 的均方根,基于迭代學習方法實現RBF 基函數參數整定,并對實際輸出PDF 相應權值向量進行估計.

2)其次,針對常規線性權值向量模型精度不高,泛化能力不強等缺點,本文基于隨機權神經網絡[22?24]方法建立輸入變量和前n ?1 個權值向量之間的非線性模型,進而獲得磨漿過程輸出FLSD模型.

3)最后,基于輸出FLSD 模型設計預測PDF控制器,使得輸出PDF 獲得良好的目標跟蹤能力.

3 纖維長度隨機分布預測PDF 控制

3.1 隨機分布系統模型

隨著數據采集技術和檢測儀器的快速發展,對隨機變量的輸出PDF 等已經有了較為成熟的檢測方法.為了方便描述各種隨機過程,假設z(k)∈[a,ζ]為描述動態隨機系統輸出的一致有界隨機過程變量,u(k)∈Rm為k時刻控制隨機系統分布形狀的輸入向量,這表明在任一采樣時刻k,z(k)就可以通過其概率密度函數來描述,其定義式如下:

圖2 輸出纖維長度隨機分布預測PDF 控制策略圖Fig.2 Strategy diagram of the predictive PDF control for the output FLSD

式中,P(a

式中,l表示第l個網絡節點,n為網絡節點總數,μl和σl分別表示第l個網絡節點函數的中心值和寬度.根據RBF 神經網絡逼近原理,此時輸出PDFγ(y,u(k))的均方根可以表示為

式中,CCC(y)=[R1(y),R2(y),···,Rn?1(y)],VVV(k)=[ω1(k),ω2(k),···,ωn?1(k)]T,ωn(k)為第n個基函數相對應的權值,e0(y,k)為逼近誤差.此外,由于輸出PDF 需要滿足隱含條件

為便于分析忽略逼近誤差e0(y,k),則第n個權值ωn(k)可用權值向量VVV(k)的非線性函數h(VVV(k))表示為

從式(5)可以看出,若保證非線性函數h(VVV(k))存在,需滿足如下約束條件:

當實際工業過程中輸出隨機變量的PDF 可測量時,可通過如式(7)～(9)方法對相應的權值進行估計.結合式(3)和式(5)所示的輸出PDF 的均方根可以表示為

對式(7)兩邊左乘[CCC(y)Rn(y)]T,并對兩端在區間[a,b]上進行積分,由此可得到:

式(9)揭示了輸出隨機變量的PDF 與權值向量之間的關系,可以看出當RBF 基函數確定后,只要輸出PDF 可測量,便可很容易獲得相應的權值向量.通常情況下在獲得相應的權值向量之后,采用最小二乘法或子空間辨識法獲得權值和輸入變量之間的線性動態模型[15,18?20].從式(9)可以看出,在RBF 基函數已知的情況下,若要獲得理想的輸出FLSD 模型.首先,需要對不同時刻實際輸出PDF進行權值估計.其次,建立輸入變量和權值向量之間動態模型.然而,由于實際工業過程高度非線性、機理復雜等原因存在,采用常規線性模型難以有效描述權值向量的動態特性.為此,必須采用有效手段,獲取基于磨漿過程輸出FLSD 模型,以實現FLSD形狀的在線連續估計及控制.

另外,對于不能或者難以獲得機理模型的復雜工業過程,基于數據驅動建模方法通常被看作一種非常有效的替代手段.目前,常見的數據驅動建模方法主要有支持向量機方法[25]、模糊推理方法[26]、案例推理方法[27]以及隨機權神經網絡方法[22]等.其中,隨機權神經網絡作為一種簡單易用、有效的單隱層前饋神經網絡學習算法,在保證逼近任意連續函數的前提下,采用隨機給定神經元隱含層權值和偏置,通過計算隱含層輸出矩陣的廣義逆建立學習網絡,克服了傳統單隱層神經網絡的缺點,由于訓練速度快,模型結構簡單、易于實現以及泛化能力強等鮮明特點,在很多領域獲得廣泛應用[23?24].本文利用隨機權神經網絡方法建立輸出變量和前n ?1 個權值向量之間非線性預測模型.因此,最終磨漿過程輸出FLSD 模型可以表示為

式中,f(·)為表示過程輸入和權值之間的非線性表達式,可以看出在控制輸入和輸出PDF 可測量情況下,同時在RBF 基函數已知時,在利用式(9)獲得權值向量之后,通過隨機權神經網絡方法很容易獲得輸入變量和權值向量之間的非線性模型.

從式(10)明顯發現要獲得理想的輸出FLSD模型,首先需要選擇一組合適的RBF 基函數,若RBF 基函數的中心值和寬度選擇不當,不但影響PDF 輸出部分的近似精度,而且也難以獲得滿意的輸出FLSD 模型.因此,RBF 基函數的選擇對于磨漿過程輸出FLSD 的模建模精度顯得至關重要.

3.1.1 RBF 基函數參數整定

為了提高隨機分布模型輸出PDF 對實際輸出PDF 逼近精度,文獻[15]中提出了一種基于迭代學習控制原理的RBF 基函數參數更新算法,假設給出初始的RBF 基函數參數,結合實際輸出PDF 數據,通過式(9)可以獲得初始的權值向量,并將此初始向量乘以相應的初始RBF 基函數,便可獲得近似的輸出PDF.基于迭代學習控制原理,RBF 基函數的中心值和寬度要根據上一迭代學習周期的逼近誤差來調節,通過對RBF 基函數參數的反復調節,最終使得將近似輸出PDF 與實際輸出PDF 之間誤差最小.因此,所采用的性能指標主要考察近似輸出PDF 跟蹤期望的輸出PDF 能力,所以所用誤差來自迭代周期內的每一個采樣點,采用如下性能指標

式中,Jp(i)可以表示為第p個迭代周期后第i個采樣時刻RBF 神經網絡近似輸出PDF 的均方根與期望輸出PDFg(y)的均方根之間的逼近性能指標.同時,定義在第p個迭代周期后M個采樣點近似輸出PDF 分別與期望輸出PDF 之間構成性能指標向量可表示如下

為了實現式(10)所示的RBF 基函數參數整定,在相鄰的第p次和第(p+1)次迭代學習周期內采用如下P 型迭代學習控制率

式中,學習參數αμ和βσ分別定義如下

其中,λ和分別為學習元素,參數ζμ和ζσ分別為迭代學習率.從式(13)看出所有元素均為非負,這表明迭代學習率可以為正數也可以為負數,這就意味著RBF 基函數的中心值和寬度隨著迭代學習次數呈現出增加或者降低趨勢.

3.1.2 基于RVFLNs 權值模型

從式(10)可以看出當前時刻輸出PDF 不但與磨漿過程輸入變量有關,同時與前一時刻的輸出PDF 形狀也密切相關,而輸出PDF 通過調節RBF基函數中心值和寬度以及相應的權值,所以在獲得理想RBF 基函數參數之后,通過式(9)可以獲得所有時刻輸出PDF 相對應權值向量,然而由于權值向量之間相互耦合,因此,權值向量模型可以看作是一個多輸入多輸出的回歸建模問題.為此,采用基于RVFLNs[22?24]建立輸入變量與前n ?1 個權值向量之間的非線性模型.

假設分別有m個輸入變量與權值向量組成的的樣本集合 (ui,VVV i),其中ui=[ui1,ui2,···,uim]T∈Rm為磨漿過程的輸入變量,VVV i=[ωi1,ωi2,···,ωi(n?1)]T∈Rn?1表示n個權值中的前n ?1 個權值向量.對于一個有L個隱層節點,若以g(x)作為激活函數的RVFLNs 輸出可以表示為

式-中,ui為-磨-漿-過-程-的-輸-入-變-量,ωj=[ωj1,ωj2,···,ωjm]T為m個輸入節點連接第j個隱含層的輸入權重,βj=[βj1,βj2,···,βj(n?1)]T為第j個隱含層連接輸出節點的輸出權重,bj是第j個隱層單元的偏置,ωj ·uj表示ωj和ui的內積.

隨機權神經網絡和其他單隱層神經網絡學習目標一樣均是使得模型輸出fR(ui)與實際輸出VVV i之間誤差最小,即有當存在βj,ωj和bj,使得

此時,將式(15)可以矩陣表示為

式中,H為隱含層輸出矩陣,β為輸出權重,Y為預測模型的權值輸出.且有

從式(16)可以看出,當輸入權重ωj和隱層偏置bj被隨機確定后,只需調整輸出層權值就可以使網絡具有較好的逼近性能.為了能夠較好地訓練上述網絡,希望獲得最優的輸出權重,使得

此時隨機權神經網絡的學習問題就轉化為式(16)所示的線性系統Hβ=Y的最小二乘求解問題,為此隱層輸出矩陣H就能被唯一確定,此時可以獲得輸出權重β可以表示為

式中,H?是矩陣H的Moore-Penrose 廣義逆.可以看出此算法只需要設置網絡的隱層節點個數,便可以隨機初始化輸入權重和偏置并得到相應的輸出權重.所以該算法在執行過程中不需要調整網絡的輸入權值以及隱元的偏置,便可以獲得唯一的最優解.

為了更好地反映磨漿過程輸出FLSD 動態特性,將當前采樣時刻輸入變量u(k)=[u1(k),u2(k),···,um(k)],m為輸出變量個數以及當前時刻相對應的權值向量VVV(k)作為非線性模型綜合輸入,即建立的權值動態預測模型用于實現如下的非線性動態映射關系:

式中,VVVm(k+1)為模型輸出的前n?1 個權值向量.此時,在第k時刻預測輸出PDF 為

3.2 預測PDF 控制

由于實際工業過程中非線性、時變、模型失配和隨機擾動等不確定性因素的存在,模型輸出PDF難以與實際輸出PDF 完全一致,然而在滾動優化過程中,需要實際輸出PDF 與模型輸出PDF 保持一致,因此,通常采用反饋校正來降低過程的不確定性對系統性能的影響,提高系統的控制精度和魯棒性.假設模型在k時刻第j步預測輸出PDF 為

另外,在第k時刻實際輸出PDF 和預測輸出PDF 之間的誤差為

利用該誤差對第j步預測輸出 PDF進行反饋修正,補償后預測輸出PDF 為

式中,βj(0<βj <1)為校正系數.此時結合式(21)～(23)在k時刻第j步期望輸出PDF 和補償后的預測輸出PDF 之間誤差為

式中,γg(y,k+j)和γp(y,k+j)分別為k時刻第j步的期望輸出PDF 和預測輸出PDF.

此外,預測控制作為一種優化控制算法,常通過最小化系統的性能指標函數來確定未來的最優控制序列,使得未來預測輸出盡可能接近期望的目標輸出.在實際工業過程中,為了保證操作的可行性等要求,普遍存在著輸入變量帶約束的情形,同時對控制作用的大小加以約束,避免控制作用變化過于劇烈.本文設計預測PDF 控制器目的是盡可能地使輸出PDF 盡可能跟蹤期望輸出PDF,所以選取如下所示性能指標函數

式中,Np和Nu分別為預測時域和控制時域,λj為控制增量加權系數,umax和umin分別為輸入變量的上限和下限值,?umax和?umin分別為輸入變量變化率的上限和下限值.可以看出對輸出PDF 跟蹤控制最終轉化為對前n ?1 個權值跟蹤控制.

從式(25)明顯可以看出上述預測PDF 控制器的設計可以看作是一個帶有約束條件的非線性優化求解問題.針對上述求解問題通常采用遺傳算法、粒子群算法、序列二次規劃算法(Sequence quadratic program,SQP)等優化算法獲得非線性最優預測控制率,其中,SQP 算法作為一種求解約束非線性優化問題的有效方法之一,具有收斂性快、計算效率高、邊界搜索能力強,在實際中受到廣泛重視和應用.本文采用SQP 方法求解式(25)所示的帶約束的非線性規劃問題設計預測PDF 控制器,使得磨漿過程輸出PDF 具有良好的目標跟蹤能力.

4 工業數據驗證

本文利用某化機漿磨漿過程的稀釋水流量、磨盤間隙以及FLSD PDF 生產數據對所提方法進行數據驗證,具體如下:

4.1 RBF 基函數參數整定

為了獲得磨漿過程輸出FLSD 模型,首先,需要確定一組合適的RBF 基函數近似輸出PDF,采用基于迭代學習方法研究RBF 神經網絡對期望輸出PDF 的逼近效果,并將得到RBF 基函數作為本批次近似輸出PDF 的基函數,此外,通過大量FLSD 的PDF 數據分析獲得期望輸出PDF,本文選擇4 個RBF 基函數來驗證對期望輸出PDF 的近似效果,這里中心值和寬度參數迭代學習率分別為αμ=0.01,βσ=0.005,另外,假設中心值和寬度的初始值如下所示

基于式(26)所示的初始RBF 基函數,首先,可以通過式(9)獲得期望輸出PDF 權值估計,然后利用得到的估計權值與初始RBF 基函數相乘便得到對應的逼近值,以此利用迭代學習方法通過調整中心值和寬度,直到獲得理想的逼近效果.經過100 次迭代學習后,獲得中心值和寬度分別為

圖3 位置變化趨勢Fig.3 Variation tendency of position

圖4 性能指標變化趨勢Fig.4 Variation tendency of the performance index

另外,圖3 為在迭代學習50 次和100 次后的RBF 基函數位置變化趨勢圖,可以看出隨著迭代次數的增加,中心值和寬度逐漸向理想位置移動.圖4 為性能指標函數值隨迭代學習次數的變化趨勢,可以看出隨著迭代次數的增加,目標性能函數逐漸減小,并在迭代學習80 次時基本不再變化.中心值和寬度隨迭代次數變化趨勢分別如圖5 和圖6 所示,從圖5 和圖6 看出在迭代學習100 次后,中心值和寬度均趨于平穩.圖7 為在迭代學習100次后,近似輸出PDF 與期望輸出PDF 的逼近結果,可以看出本文方法對輸出PDF 具有滿意的逼近效果.同時,利用式(9)對期望輸出PDF 數據進行權值估計,此時獲得相對應的期望權值為VVVg=[1.5411 0.5080 0.141 0.166]T.

圖5 中心值變化趨勢Fig.5 Variation tendency of the center value

圖6 寬度變化趨勢Fig.6 Variation tendency of width

4.2 預測PDF 控制效果

在完成RBF 基函數參數整定同時利用式(4)對不同時刻輸出PDF 進行權值估計,然后利用RVFLNs 方法建立前三組權值的非線性預測模型,利用稀釋水流量、磨盤間隙和輸出PDF 數據,采用所提方法建立磨漿過程輸出FLSD 模型,并基于SQP 算法優化式(25)設計預測PDF 控制器.

圖7 輸出PDF 近似效果Fig.7 Approximation effect of the output PDF

本文取預測時域Np=3,控制時域Nu=2,控制增量加權系數λj=0.05,反饋校正系數βj=0.55.另外,根據實際操作經驗,輸入變量稀釋水流量(u1)和磨盤間隙(u2)分別滿足70 L/min

圖8 預測PDF 控制器下權值響應Fig.8 Weight response with the predictive PDF controller

圖8 和圖9 分別在預測PDF 控制器下預測權值輸出響應曲線、控制輸入的動態響應,從圖8 可以看出預測權值輸出能夠實現對期望權值的跟蹤,但權值動態模型由于非線性存在,在一定程度上影響到預測權值輸出對期望權值跟蹤控制性能.此外,圖9 所示輸入變量稀釋水流量和磨盤間隙均能較好地穩定在可操作區間內.圖10 和圖11 分別為輸出FLSD 的PDF3D 圖以及初始時刻、目標、最終時刻輸出PDF,從圖10 和圖11 明顯能夠看出在預測PDF 控制器作用下,實際輸出PDF 從初始輸出PDF 形狀具有很明顯逼近期望輸出PDF 趨勢,并最終實現對輸出PDF 跟蹤控制.

圖9 預測PDF 控制器下控制輸入Fig.9 Control input with the predictive PDF controller

圖10 預測PDF 控制器下輸出PDF 3D 響應Fig.10 3D responses of the output PDF with the predictive PDF controller

圖11 初始PDF、最終PDF 和期望PDFFig.11 Initial PDF,final PDF,and desired PDF

5 結論

本文從當前磨漿過程實際控制問題出發,針對具有典型非高斯分布特征的輸出FLSD 形狀提出了一種預測PDF 控制方法.采用迭代學習方法獲得理想的RBF 基函數基礎上對不同時刻輸出PDF 相對應的權值進行估計,針對權值之間強耦合、非線性強等特點,采用RVFLNs 建立表征輸出變量和權值向量之間關系的預測模型,最終將輸出PDF 的控制轉化為對權值向量的控制,基于工業數據實驗結果表明了所提方法的有效性.