加權Laguerre多項式的時域有限差分法高效模擬石墨烯電磁特性

陳偉軍 龍世瑜 梁啟文

摘要：本文提出了一種有效的基于加權Laguerre多項式的時域有限差分法（WLP-FDTD），并采用這種方法精確的模擬電磁波在石墨烯薄片中的傳播。本文提出的方法結合石墨烯表面電導率的帶內項并引入一種輔助差分方程技術，在電場強度和石墨烯中導體電流之間建立關系。一個數值實驗模擬計算了石墨烯中電磁波的傳播。相比傳統的FDTD，本文提出的方法具有更高的計算精確和效率。

關鍵詞：加權Laguerre多項式;時域有限差分法;石墨烯;電磁特性

中圖分類號：TP368 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2019）07-0101-02

0 引言

石墨烯是一種二維平面單層碳原子結構，其獨特的物理特性給科學研究者帶來了很大的興趣[1]。在許多應用中，電磁特性包括石墨烯的散射和傳播引起了學者的興趣[2]。由于石墨烯器件是多尺度結構和色散材料，數值仿真模擬石墨烯器件是一種有挑戰性的工作。最近，大多采用FDTD方法用來模擬電磁波在石墨烯層中的傳播[3-7]。在參考文獻[3]中，標準的FDTD使用復共軛色散材料模型和高密度采樣點去研究兩平行板石墨烯層。在參考文獻[4]中，亞網格FDTD和特定類型的完全匹配層被提出來模擬無窮薄的薄片。在參考文獻[5]中，采用FDTD結合表面邊界條件模擬石墨烯薄片。由于時間穩定性條件的限制，采用FDTD模擬計算極小結構時要求較大的內存和計算時間。在參考文獻[6]中，采用了一種無條件穩定的局部一維FDTD模擬計算石墨烯器件。然而，當局部一維FDTD的時間步增大時，色散誤差也跟著增大。

本文提出了一種無條件穩定的加權Laguerre多項式的FDTD，該方法結合了石墨烯表面電導率的帶內項，有效模擬電磁波在石墨烯薄片中的傳播。與參考文獻[7]中提出的線性卷積技術不同，輔助差分方程技術引入到加權Laguerre多項式的FDTD中，在電場強度和石墨烯導體電流之間建立關系。采用一個數值實驗證明了本文提出的方法。本文提出的方法的結算結果與理論解一致，比傳統的FDTD有更高的效率。

1 數學公式

其中，Td=1/（2fc），Tc=3Td和fc=5000GHz。我們選擇電磁波持續時間Tf=1.5×10-12s，時間尺度因子s=1.885×1014和步進階數N=80[10]。一個y方向的極化波從空氣中垂直入射到石墨烯中，如圖1所示。由于在計算區域中包含有薄層，一種細的網格1nm×1500nm應用到石墨烯層。漸變網格應用到剩余的計算區域，最大的網格為1500nm×1500nm。為了計算的方便，Mur一階吸收邊界被用來截斷計算區域。在這個算例中，石墨烯的厚度是10nm，μc=0.5eV，T=300K，和τ= 0.5×10-12s。圖2畫出了本文提出方法、基于輔助差分方程的時域有限差分法和理論方法計算的結果。與理論計算結果比較，本文提出方法的精度被證明。表1給出了計算時間的比較。我們的方法比基于輔助差分方程的時域有限差分法具有更高的計算效率。

3 結語

本文把石墨烯電子模型的帶內項引入到麥克斯韋方程中，并采用基于輔助差分方程和加權Laguerre多項式的FDTD有效模擬電磁波在石墨烯中的傳播。一個數值實驗證明本文提出的方法有效。

參考文獻

[1] K. S. Novoselov， V. I. Falko， L. Colombo， P. R. Gelllert， M. G. Schwab， and K. Kim. A roadmap for grapheme [J].Nature，2012，7419（490）：192-200.

[2] M.Tamagnone，J.S.Gomez-Diaz， J. R. Mosig， and J. Perruisseau-Carrier. Reconfigurable terahertz plasmonic antenna concept using a graphene stack[J].Applied Physics Letters，2012，214（101）：1-3.

[3] H.Lin，M.F.Pantoja，L. D. Angulo， etc. FDTD modeling of graphene devices using complex conjugate dispersion material model[J].IEEE Microwave and Wireless Component Letters，2012，12（22）：612-614.

[4] X. Yu， C. D. Sarris.A perfectly matched layer for subcell FDTD and applications to the modeling of graphene structures[J].TEEE Antennas and Wireless Propagation Letter，2012（11）：1080-1083.

[5] V. Nayyeri， M. Soleimani， and O. M. Ramahi. Modeling graphene in the finite-difference time-domain method using a surface boundary condition[J].TEEE Transaction on Antennas and Propagation，2013，61（8）：4176-4182.

[6] I. Ahmed， EngHuatKhoo， and Erping Li.Efficient modeling and simulation of graphene devices with the LOD-FDTD method[J]. IEEE Microwave and Wireless Component Letters，2013，23（6）：306-308.

[7] R. M. S. de Oliveira， N. R. N. M. Rodrigues， and V. Dmitriev. FDTD formulation for graphene modeling based on piecewise linear recursive convolution and thin material sheets techniques[J]. TEEE Antennas and Wireless Propagation Letters，2015（14）：767-770.

[8] G. W. Hanson. Dyadic Greens functions and guided surface waves for a surface conductivity model of grapheme[J]. Journal of Applied Physics，2008，103（064302）：1-9.

[9] Y. S. Chung， T. K. Sarkar， B. H. Jung， and M. Salazar-Palma. An unconditionally stable scheme for the finite-difference time-domain method[J].IEEE Transaction on Microwave Theory and Technology，2003，51（3）：697-704.

[10] W.-J. Chen， W. Shao， J.-L. Li， and B.-Z. Wang. Numerical dispersion analysis and key parameter selection in Laguerre-FDTD method[J]. IEEE Microwave and Wireless Component Letters，2013，23（12）：629-631.