基于Thomas 簇過程的異構蜂窩網能量效率分析

金明錄，郭楠

（大連理工大學信息與通信工程學院，遼寧 大連 116024）

1 引言

近年來，人們對蜂窩數據的需求迅速增長，未來移動網絡必將朝著異構的方向發展，即支持密集低功率小小區和低密度高功率基站共存。以用戶為中心的小小區部署正在成為未來無線架構的重要組成部分[1]。隨著世界經濟的飛速發展，全球氣候變暖和能源消耗不斷加劇，節能減排綠色發展已經成為全球性的重要議題，通信基站節能是通信企業節能減排的重要前沿陣地。在異構蜂窩網（HCN,heterogeneous cellular network）基站部署階段需要更多地考慮能量消耗的問題，因此為了減少功率消耗，最近的很多研究都基于泊松點過程（PPP,poisson point process）空間模型來設計基站休眠算法[2]和參數優化方法[3-4]。

常見的分析蜂窩網絡的數學工具是隨機幾何理論，使用PPP 隨機且獨立地建模基站和用戶設備的位置。文獻[5]在PPP 模型下，結合偏置接收功率的小區擴展的關聯策略，推導出下行信道的中斷概率和平均吞吐量。文獻[6]考慮超密集部署小基站，在最大平均接收功率的連接策略下，得出基站部署的各個參數與能量效率的關系。然而，上述方法假設基站和用戶設備的位置是完全獨立的，這并不十分準確。實際中，在住宅區、商務辦公區、重大活動中心等位置，用戶很容易出現聚簇，導致基站和用戶之間有相關性。無線網絡中，一些用戶通常會聚集的特定區域被稱為用戶熱點區域。針對移動用戶的聚簇分布問題，可以使用泊松簇過程（PCP,poisson cluster process）來建模，這樣更加接近真實通信場景。因為PCP 可以捕獲鄰近點之間的吸引力，所以也被擴展在很多其他的應用場景中，如毫米波通信[7]和D2D（device to device）通信[8]。文獻[9]分別推導了用戶服從Thomas 簇過程和Matern 簇過程的覆蓋概率，但是沒有考慮小區擴展可以給網絡能量效率帶來增益。不同于用戶分布模型PCP[7,9]，文獻[10-11]將小基站建模為 PCP，在一個三層HCN[10]中，建模每一層基站為Neyman-Scott 簇過程，基于最大瞬時信號干擾噪聲比的小區選擇機制得到中斷概率的表達式。小基站服從Matern 簇過程，文獻[11]得到中斷概率及數據速率的表達式。

在近年的研究工作中，文獻[12-14]受3GPP 啟發，開發了PCP 和PPP 建模用戶-基站的統一框架。與其相似，本文也給出了用戶-基站耦合的模型框架，不同之處在于本文是基于最大平均偏置接收功率（max-BRP,max mean bias received signal power）的關聯策略，而文獻[12]考慮最大信號干擾比（SIR,signal to interference ratio）關聯，文獻[13]考慮最大功率關聯。在max-SIR 關聯中，不必考慮用戶到服務基站的距離分布。本文提供了典型用戶覆蓋概率的易于計算的表達式和精確分析，即在覆蓋概率的完整表達式上做出了貢獻。文獻[15]假設宏基站模型為PPP，小基站和用戶根據不同的函數成簇分布。與文獻[15]設置不同的是，本文認為未來5G 網絡中，小基站的密集部署不僅是在人員密集的場所，在宏小區的邊緣同樣需要部署更多的小基站來提高小區的覆蓋性能和邊緣用戶的通信質量，增加網絡的容量。小基站具有靈活性，可在任意地方部署，因此，小基站的分布近似于均勻PPP，由此可知本文的設置是合理的，也是易于分析的。同時，本文的模型可以擴展到基于最近基站關聯策略[14]的網絡中，得到此時的關聯概率和覆蓋概率。本文給出了網絡能量效率的定義，并在仿真分析部分與最近基站關聯策略進行比較。從結果上看，max-BRP 關聯策略在提高能量效率上有一定的優勢。本文的創新點如下。

1)本文給出了以用戶為中心的用戶熱點模型框架，利用Thomas 簇過程建模小基站內的用戶位置，應用max-BRP 關聯策略均衡宏基站和小基站的負載，該策略鼓勵宏基站用戶與負載較輕的小基站相關聯，減少功率消耗，增加網絡容量。

2)本文利用隨機幾何理論和概率論推導出典型用戶的關聯概率、覆蓋概率和整個網絡的能量效率。本文的數學推導具有一般性，可以擴展到基于最近基站的關聯策略上。

3)本文給出了K層HCN 基于PCP 模型的詳細數值分析。為了驗證分析，將數值計算結果與蒙特卡洛仿真結果進行了比較，證明了本文分析是正確的。同時，比較了max-BRP 關聯策略和最近基站關聯策略下的能量效率，結果表明max-BRP 關聯策略在提高能量效率上有一定的優勢。

2 系統模型

考慮一個K層的下行HCN，每一層基站的分布都是獨立同分布的PPP，第k層基站的部署依據密度為λk的均勻PPPΦk進行建模。假設用戶以一個特定的小小區基站為中心成簇分布，用戶的位置是該基站的一個子點過程，建模為Thomas 簇過程Φu，在第κ(κ=1,…,K)層網絡中，假設每個小小區基站周圍有n個用戶，且服從方差為的高斯分布。用戶位置用向量z表示，則向量z的概率密度函數（PDF，probability density function）為

為了分析方便，假設典型用戶處于原點，用戶所在的小小區基站標記為第0 層，記K={0,1,…,K}，k∈K，平面上所有基站的集合表示為信號經歷大尺度路徑損耗和小尺度瑞利衰落信道，在典型用戶的位置上，來自服務基站的接收功率為BkPkhk||x||-α。其中，Bk表示第k層偏置因子，偏置因子的設置影響著用戶更愿意接入哪一層網絡中，當Bk=1 時，當前網絡無偏置，當Bk＞1 時，小區覆蓋范圍得到擴展；Pk為第k層基站的信號傳輸功率；hk為小尺度衰落系數；x為基站的坐標，||x||為典型用戶與服務基站之間的歐氏距離；α(α＞2)為路徑損耗指數。在瑞利衰落下，hk～ exp(1)。典型用戶根據max-BRP來選擇關聯的基站，則服務基站的位置x*表示為

值得注意的是，在沒有小尺度衰落的情況下，就歐幾里得距離而言，在第k層網絡中，候選服務基站將是最接近典型用戶的基站。用戶在平面上與基站的距離是通信的關鍵影響因素，假設典型用戶與第k層候選服務基站之間的歐氏距離為rk。r0服從瑞利分布，其PDF 和互補累積分布函數（CCDF,complementary cumulative distribution function）分別為

考慮干擾受限網絡，忽略噪聲影響。假設典型用戶與服務基站的距離為Rk，則認為此變量是用戶在關聯到第k層的條件下的服務距離，典型用戶接收到的第k層服務基站xk的SIR 為

其中，j表示第j層網絡，i表示第i個基站，Yji表示典型用戶到第j層第i個基站的歐氏距離。

3 覆蓋概率

本節重點關注網絡異構拓撲下的覆蓋概率。網絡中覆蓋概率的定義為用戶成功解碼基站下行信號的概率，數學上可表示為Pr(SIR＞β)，其中β為SIR 的閾值門限。覆蓋概率是衡量網絡性能的一個重要通信指標，對覆蓋概率取對數可以得到平均數據速率，此時覆蓋概率可以解釋為平均數據速率γ(β)=lb(1+β)可達的概率。首先，推導典型用戶被第k層基站服務的關聯概率；然后，推導關聯第k層的條件下，典型用戶與服務基站之間距離的PDF；最后，得到選定關聯層和此關聯層基站成功解碼用戶數據的聯合概率，定義網絡總覆蓋概率為所有層的聯合概率之和，據此推導出覆蓋概率的精確表達式。

定理1在K層HCN 用戶熱點地區中，第k層網絡的關聯概率為

分別考慮k=0 和k≠0 這2 種情況。當k=0 時，有

其中，步驟(a)進行變量代換，ζ=r2。

當k≠0 時，有

其中，步驟(b)同樣進行了變量代換ζ=r2。

證畢。

從定理1 可以看出，用戶選擇的關聯基站與其所處的平面拓撲結構強相關。用戶分布方差、基站密度、信號發送功率、偏置因子和路徑損耗程度都影響著用戶的基站選擇。

引理1典型用戶與其服務基站之間距離Rk的PDF 為

證明Rk被認為是用戶在關聯到第k層的條件下的服務距離，所以，Pr(Rk＞y)=Pr(rk＞y|{Ak})=，其中，{Ak}記為用戶關聯第k層的事件。聯合概率為

分別考慮k=0 和k≠0 這2 種情況。當k=0 時，有

由式(13)和A0可以推導出R0的CCDF，對其求導得到的PDF 表達式為

當k≠0 時，有

同理，可以得到Rk(k≠0)的 PDF 為

結合2 種情況，整理可得引理1。

證畢。

定理2在K層HCN 中，用戶建模為小基站的子點過程，且用戶與提供最大平均偏置接收功率的基站相關聯，每層網絡的覆蓋概率和網絡總覆蓋概率Pcov(β)的精確表達式為

證明引入隨機變量Ik表示第k層網絡的干擾信號，則各層的覆蓋概率為

其中，步驟(c)的依據是hk服從均值為1的指數分布，LI(s)是在s處評估的隨機變量I的拉普拉斯變換，定義式為LI(s)=E[e-sI]。當k=0 時，令，則有

其中，步驟(d)是根據概率生成函數（PGFL,probability generating functional）得到的，第j層最近的干擾源的距離至少是；步驟(e)中進行了變量代換，干擾的拉普拉斯變換整理為

將式(19)和式(11)代入式(17)，得到一個簡單的表達式。當k≠0 時，令，有

服務基站位于第k層，所以第0 層的基站變成了干擾源，干擾距離大于，結合式(3)和式(4)，有，其中，

式(22)的推導過程與式(18)相同，進一步整理得到

最后，將式(23)與式(11)代入式(17)，即可證得每層網絡的覆蓋概率。根據網絡的總覆蓋概率定義式，可以很容易地得到式(16)。

證畢。

4 能量效率

對于任何通信系統，信道容量都是非常重要的度量指標。本節將重點研究典型用戶在K層HCN中可實現的遍歷速率和覆蓋下的平均數據速率，并通過信道容量得到能量效率這一衡量指標。

1)遍歷速率（平均數據速率）

遍歷速率表示所有信道狀態的平均數據速率，具體用在快衰落信道中。本文假設使用了容量可實現編碼，因此香農容量可達。香農公式為γk=lb(1+SIRk(xk))，單位為bit/(s·Hz)，記χ=SIRk(xk)為第k層服務基站提供的SIR，可以通過求期望得出遍歷速率為

因此，求χ的CCDF 是推導遍歷速率的關鍵。

2)覆蓋下的平均數據速率

在已經獲取覆蓋或中斷信息的前提下，運營商希望知道可以向覆蓋范圍內的用戶提供的平均數據速率。根據香農公式，用戶覆蓋下的平均數據速率定義為單位為bit/(s·Hz)，其中，表示用戶處于第k層覆蓋范圍內（用戶可以成功解碼下行數據）的事件。

命題1在K層HCN 中，第k層遍歷速率（平均數據速率）為

證明遍歷速率是在已知與第k層網絡關聯的條件下求香農公式，所以有

從式(28)可以看出，將式(17)中變量β替換為2t-1，根據類似的推導過程，可直接得到干擾的拉普拉斯變換為

將式(29)代入式(27)即可證得命題1。

證畢。

命題2在K層HCN 中，已知用戶處于第k層覆蓋范圍內，則平均數據速率為

證明根據平均數據速率的定義式，有

對式(25)進行分段積分，即可得到式(30)。

證畢。

在異構蜂窩網絡中，第k層基站的功率消耗模型由兩部分組成，分別是靜態功率消耗P0k和發射功率消耗Pk，其中，靜態功率消耗包括基站的信號處理進程、電池備份和設備冷卻等，發射功率消耗與靜態功率消耗是互相獨立的兩部分。根據系統模型，每個基站的總功率消耗可以表示為Pk=P0k+ξkPk，其中，ξk代表與基站的流量負載正相關的功耗系數，所以有ξk=。全網平均網絡吞吐量定義為，能量效率被定義為平均網絡吞吐量與平均網絡功耗之比，如式(32)所示，單位是bit/(J·Hz)。

5 仿真分析

本節對系統模型及推導的表達式分別采用蒙特卡洛及數值積分的方法進行仿真分析，使用的仿真工具是Matlab。宏基站為第一層，其他層為微基站、微微基站和毫微微基站等小基站。仿真區域是半徑為3 000 m 的圓形區域，蒙特卡洛次數為4 000 次。沒有特殊說明時，仿真參數如下：小基站用戶數n=10，路徑損耗指數α=3，基站密度（單位為m-2）λ1=4×10-6m-2，λ0=λ2=5×10-5m-2，基站靜態功率P00=P02=6 W，P01=130 W，各層偏置因子為1。

圖1 為用戶關聯概率與用戶分布標準差（代表簇的大小）的關系，仿真參數為K=κ=2，P1=226.4 W，P0=P2=12.22 W，仿真結果和數值結果的重合驗證了推導的關聯概率式是精確的。可以看出，隨著簇越來越大，用戶越來越分散，第0 層基站服務用戶的概率越來越小，當σu大于75 時，關聯概率變為最小。而第2 層基站服務用戶的概率一直大于第1 層，這是因為小小區基站密集部署于用戶周圍，宏基站距離用戶很遠，小基站的信號經歷的大尺度衰落遠比宏基站的小，所以用戶有更大的概率選擇關聯小基站。當σu→∞時，可以認為簇大小趨于無窮，在整個平面上呈現高斯分布（近似PPP 分布），相當于用戶沒有集群分布，此時關聯概率趨于一個常數。

圖1 用戶分布標準差對各層關聯概率的影響

圖2 為不同簇大小對覆蓋概率的影響，仿真參數為K=κ=2，P1=226.4 W，P0=P2=12.22 W，β=1。同樣可以看出，仿真結果緊密地貼合數值結果，證明了覆蓋概率式的正確性。圖2 中第0 層的覆蓋概率最大，其他層的覆蓋概率理論曲線相重疊，說明了基站PPP 模型下的覆蓋概率與k和基站密度無關。全網的覆蓋概率Pcov在σu很小時趨向于第0層；當σu逐漸增大時，由于第0 層關聯概率減小，全網覆蓋概率趨向于非0 層；當σu→∞時，全網覆蓋概率則與非0 層覆蓋概率一致，該結論可參考文獻[5]的推論2。

圖2 用戶分布標準差對覆蓋概率的影響

圖3 給出了不同α對網絡關聯概率和覆蓋概率的影響。圖 3(a)中的仿真參數為K=κ=3，，λ2=5λ1，λ0=λ3=10λ1，P1=200 W，P2=2 W，P0=P3=0.2 W，σu=50。第0 層的關聯概率隨著α的增大迅速提高，第2、3 層的關聯概率也小幅度地相應增加，而第1 層關聯概率快速減小。根據定理1 分析可知，具有最大發送功率的宏基站層隨著α增大，關聯概率會大幅度減小，而具有最小發送功率的第0 層和第K層的關聯概率會隨著α的增大而有所提高。圖3(b)中的仿真參數為K=κ=2，σu=50，P1=226.4 W，P0=P2=12.22 W。首先，可以看出第0 層覆蓋概率高于其他層，非0 層覆蓋概率重疊在一起，原因是每一層基站都服從PPP 分布，隨機用戶有相同的SIR 分布。其次，圖3(b)中比較了max-BRP 和最近基站2 種關聯模型下的覆蓋概率，可以看出當β＜10 dB 時，max-BRP 的全網覆蓋概率更高，隨著β變大，最近基站關聯下的覆蓋概率逼近本文所用模型下的覆蓋概率。最后可以看出，網絡的整體覆蓋概率隨著α的增大而增加，這是因為當大尺度衰落變大時，用戶在平面中受到來自非服務基站的干擾會大幅減小，有用信號的損失小于干擾減小，所以在高樓林立、樹木蔥郁且地形復雜的城市中，熱點地區的網絡性能最終會得以提高。

圖3 不同α 對關聯概率和覆蓋概率的影響

圖4 對兩層HCN 能量效率的影響

6 結束語

本文在以用戶為中心的HCN 中，主要研究了熱點地區的覆蓋概率和能量效率。假設用戶服從Thomas簇過程，隨機選取一個用戶，采用max-BRP 進行通信，推導出該用戶的關聯概率、覆蓋概率，以及整個網絡的能量效率表達式。然后通過數值仿真分析，驗證了表達式的準確性，說明了本文的推導工作可以給未來的網絡部署提供理論指導。最后仿真結果表明，與最近基站關聯相比，設置合適的偏置因子，可以使用戶更多地接入低功率小基站，提高無線資源利用率，進而大大提高網絡的能量效率，達到綠色通信的目的。