機翼結構布局優化的并行子空間方法

王毅，姚衛星，劉夢

(1.南京航空航天大學 飛行器先進設計技術國防重點學科實驗室，南京 210016) (2.南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016) (3.成都飛機工業(集團)有限責任公司 技術中心，成都 610041)

0 引 言

機翼是飛機結構最重要的部件之一，其結構質量占全機結構質量的30%～50%[1]。在機翼結構設計中，如何設計出既滿足性能要求又使質量盡可能輕的結構是設計人員追求的目標。機翼內部構件的布局優劣在很大程度上影響著機翼結構質量，對其進行布局優化設計顯得尤為重要。

機翼結構布局優化涉及多種類型的設計變量，例如梁和肋的數目與位置屬于布局變量，壁板筋條形狀屬于形狀變量，各個區域內部件的厚度屬于尺寸變量，而且布局、形狀和尺寸變量屬于不同的層級，變量之間存在耦合，優化難度較大。對于這類優化問題，工程上多采用分級優化方法進行求解，即將不同類型的變量分別置于上下多個層級內優化，從而降低求解難度。鄧揚晨等[2]、劉波等[3]、G.Schuhmacher等[4]采用分級優化對機翼結構進行了布局優化設計，但分級優化無法避免計算量大的缺陷，且最終的優化結果很可能是局部最優解。何林濤等[5]、王偉等[6]利用改進的遺傳算法將布局變量和尺寸變量編制成一個遺傳代碼實現機翼的布局優化設計，這種將多種類型統一在一個基因序列內進行優化的方法實施過程比較繁瑣，優化結果依賴于種群數目，優化迭代次數較多。并行子空間優化法(Concurrent Subspace Optimization，簡稱CSSO)是由J.Sobieszczanski-Sobieski[7]提出的一種多學科優化設計方法，后來R.S.Sellar等[8]提出了基于響應面的并行子空間優化方法(CSSO-RS)，該方法有別于分級優化的串行優化思路，將原優化問題分解成多個并行的子問題進行優化，具有收斂性高和實用性強的特點，因此在多學科優化設計領域得到廣泛應用。S.Parashar等[9]將CSSO方法擴展到求解多目標的優化問題中，并將之應用到高溫航空發動機部件的優化設計中。K.A.James等[10]將氣動力計算和拓撲優化集成于CSSO框架之中，獲得了很好的機翼拓撲優化結果。Z.P.Mohammad等[11]在已有的多學科優化方法的基礎上提出一種求解衛星系統的并行優化方法。S.Ghosh[12]將CSSO等多學科優化方法擴展到不確定分析中。Zhang D等[13]、Zou J等[14]、Wang X等[15]和M.I.Alam等[16]均采用CSSO法進行了多學科優化設計。國內外將CSSO法應用于多學科優化問題的文獻較多，而將CSSO法應用于結構優化尤其是結構的布局優化的研究卻非常少，一方面的原因是結構優化目標單一，通常為結構質量最輕，而多學科優化中每個子學科均有獨立的設計目標，便于設置多個子空間優化問題；另一方面的原因是結構優化的設計變量難以分出共享變量和局部變量。Yao W X等[17]提出了一種求解結構優化問題的并行子空間策略，馮玉龍等[18]給出復合材料加筋板的布局優化子空間協同方法，他們的研究成果表明該方法在結構布局優化設計領域具有較大的應用價值，但其優化策略的收斂性無法保證。

本文針對機翼結構的布局優化問題，基于CSSO法提出一種求解機翼結構布局優化的并行子空間方法，策略簡單，也可保證優化收斂。并通過一個復合材料無人機機翼的結構布局優化算例對該方法進行了驗證，最終在較少的迭代步數下獲得了較好的設計結果。

1 并行子空間方法原理

1.1 問題描述

對于機翼結構布局優化問題，其設計變量通常包括梁的位置L、壁板筋條數目N、蒙皮壁板筋條形狀S以及各區域蒙皮、梁和肋的厚度T等。其中，梁的位置對結構傳力、盒段容積以及桁條的布置都有很大影響，因此將其作為設計變量進行優化。設計目標為整個機翼結構質量W最輕，約束包括靜強度、剛度和穩定性約束。優化問題的數學模型如下：

設計目標：minW(X)

s.t.σ(X)≤[σ]

ε(X)≤[ε]

δ(X)≤δ*

λ(X)≤λ*

XL≤X≤XU

(1)

式中：X=(L,N,S,T)為設計變量；σ、ε和δ分別為結構應力、應變和變形；[σ]和[ε]為材料應力和應變許用值；δ*分別為結構變形及其臨界值；λ和λ*分別為屈曲因子及其臨界值；XL和XU分別為各自變量的上下限。

1.2 子空間優化

對于上述優化問題，分別設置梁站位優化、桁條優化和厚度優化三個子空間，在每個子空間內部，只優化該空間內的設計變量，其余子空間的設計變量作為狀態變量在該子空間內保持不變。

在梁站位優化子空間內，設計變量為不同梁的位置L，以雙梁式機翼為例，設計變量為前梁和后梁的站位L1和L2，分別表示前梁和后梁在弦向上的百分比。設計約束包含材料強度、翼尖撓度和主盒段穩定性等，設計目標為結構質量最輕。

在桁條優化子空間內部，設計變量D包含桁條截面形狀S和桁條數目N。6種常見的桁條截面形狀如圖1所示。

(a) L型 (b) T型

(c) 工型 (d) Z型

(e) 帽型1 (f) 帽型2

圖1 6種常見桁條截面形狀

Fig.1 Six normal stringer section types

由于組合數目不大，且是離散變量，所以優化方法采用枚舉法，直接計算整個變量空間的組合情況，對所有變量組合的有限元模型進行分析計算。在所有滿足約束條件的計算結果中，取質量最小的結果為最優解。

需要說明的是，桁條的截面尺寸變量bw和bf不直接參與優化，而是通過與蒙皮截面尺寸成特定的比例關系來實現其截面尺寸的優化。文獻[19]給出了復合材料加筋結構加筋比(Sstr∶bt)與筋條支持系數(Kf)的關系圖(如圖2所示)，可以看出：當筋條截面積Sstr與蒙皮面積bt的比值為0.7時，筋條支持系數Kf最大，結構穩定性最好。因此在優化時，保證Sstr∶bt=0.7，同時設定bf∶bw=1∶2，就可將優化桁條截面尺寸轉化為優化蒙皮尺寸，達到減少設計變量的目的。

圖2 復合材料加筋結構的加筋比與支持系數的關系Fig.2 Relation between rib ratio and support factor in composite stiffened panel

在厚度優化子空間內部，設計變量T包含各個區域內蒙皮、梁和肋的鋪層厚度ti，設計約束包含材料強度、翼尖撓度和主盒段穩定性等，設計目標同樣為結構質量最輕。

子空間優化分解及優化變量傳遞在圖3的優化流程中給出。

圖3 機翼布局優化流程圖Fig.3 Flow chart of wing layout optimization

1.3 系統級協調

系統級協調的基本思路為：系統級在獲得3個子空間傳遞來的優化結果后，選取最小結構質量的子空間的解作為該次設計的最優值，即該空間的設計變量在下一次迭代時保持不變，而對其他子空間的設計變量進行協調處理。下面對系統級協調過程進行詳細闡述。

(1) 確定最小質量的子空間

設第k次迭代子空間A經過優化后得到的結構質量在3個子空間中最小，即

(2)

(2) 協調其余子空間變量

采用近似一維搜索中的進退法對優化變量進行協調。進退法的基本思想是從初始點開始以特定步長向前或向后探索目標函數的變化趨勢，若變化趨勢減小，向前搜索，若變化趨勢增大，向后搜索，從而找到包含目標函數最小值的閉區間。本文方法參考進退法的搜索思路，尋找設計變量的最優解。

(3)

(4)

(5)

整個協調過程如式(6)所示。

(6)

在實際優化中，利用式(6)對變量進行協調處理時，若變量超過設計邊界，則取其邊界值；若變量為離散變量，則采用四舍五入的方法近似處理。

該方法在系統級進行上述協調處理具有如下優點：①與傳統的CSSO法不同的是，本方法在系統級變量協調過程中不涉及變量的優化，沒有調用目標函數反復計算，只有變量的代數運算，這大大減少了整個系統單次迭代的分析時間；②系統級選取目標函數最小的子空間的優化結果作為下一輪迭代各個子空間的初始值，因此下一輪優化后目標函數值必定比上一輪的更小，收斂性能得到保證。

1.4 收斂條件

3個子空間優化結束后，得到各自最優的新的設計變量和最小質量，計算3個子空間的最優質量的方差，如果小于收斂精度，整個優化結束，即滿足式(7)時，優化結束。

(7)

1.5 優化流程實施

整個優化流程如圖3所示。計算過程借助iSIGHT多學科優化平臺搭建而成，機翼的結構有限元模型通過Patran二次開發PCL程序自動參數化實現。

在厚度優化子空間內，本文采用Nastran軟件集成的序列二次規劃算法求解各部件的鋪層厚度。Nastran軟件是一款廣泛應用于機械設計、航空航天等領域的有限元分析軟件，其對結構的尺寸優化分析結果已經得到廣泛認可。該優化求解器內部集成了諸如序列二次規劃法、修正可行方向法和序列無約束極小化法等優化算法，結構設計者可直接借助該軟件優化得到滿意的結果。對于復合材料，優化后的結果需圓整為單層厚度的整數倍。

在桁條優化子空間內，設計變量為桁條截面形狀和桁條數目，均為離散變量，為了便于優化實施，對6種不同截面型式分別編號，然后借助iSIGHT實現枚舉優化。

在梁站位優化子空間內，本文采用iSIGHT軟件中集成的可行方向法，借助該軟件不斷地修改梁的位置并調用Patran構建有限元模型，然后提交Nastran計算分析找到滿足設計要求的最優解。

2 算 例

雙梁結構的無人機機翼平面尺寸以及蒙皮分區圖如圖4所示。機翼沿展向共布置如圖所示的12根肋。翼型選用NACA0012對稱翼型。機翼壁板、梁和肋采用碳纖維層合板，坐標軸Y向為0°鋪層方向，材料的屬性如表1所示。桁條在前后梁之間沿弦向均勻布置，其截面形狀如圖1所示。機翼上的氣動載荷簡化為一個沿展向的橢圓分布和沿弦向梯形分布的載荷(如圖5所示)，具體簡化細節見文獻[20]。機翼上的總載荷為9 750 kg。

圖4 機翼平面尺寸以及蒙皮分區圖Fig.4 Geometry dimension and skin partition

(a) 橢圓分布

(b) 梯形分布圖5 機翼展向和弦向的氣動分布Fig.5 Spanwise and chordwise aerodynamic load distribution

參 數數 值參 數數 值E11/GPa125μ0.33E22/GPa7.2ρ/(kg·mm-3)1.5×10-6G12/GPa4.7單層厚度/mm0.125

2.1 設計變量

機翼上下蒙皮沿展向共設置5個區(1#～2#肋區間為1區，2#～4#肋區間為2區，4#～6#肋區間為3區，6#～9#肋區間為4區，9#～12#肋區間為5區)如圖4所示，沿弦向設置3個區(機翼前緣至前梁之間為1區，前梁至后梁之間為2區，后梁至后緣區間為3區)，因此上下蒙皮各15個區，每個分區包含3個層合板厚度設計變量。A11～A53為上蒙皮各個分區的編號。前后梁分別沿展向同樣設置5個設計變量。翼肋厚度方面，根肋設置為一個厚度，其余肋設置為同一個厚度。為了方便優化實施，對6種桁條截面型式分別編號。最終優化模型共包含2個站位優化變量、2個桁條優化變量和126個厚度優化變量。各個設計變量的取值范圍如表2所示。

表2 設計變量取值范圍Table 2 Ranges of variables

2.2 設計約束

此算例中，優化約束包括翼尖的撓度和扭轉角，以及結構的強度和屈曲約束，具體約束設置如下：

(1) 翼尖撓度δtip≤15%Lspan；

(2) 翼尖扭轉角θtip≤2°；

(3) 碳纖維應變約束極限值[ε+]=3 500 με，[ε-]=-3 000 με，[γ+]=4 500 με；

(4) 機翼主盒段屈曲因子λ≥1。

2.3 優化結果

為了驗證設計結果，采用文獻[21]中的二級優化方法對本算例進行了優化設計，其中第一級優化的設計變量為梁站位、桁條截面形狀和數目，第二級優化的設計變量為各區域內鋪層厚度，選取100個初始樣本點的數據構建Kriging代理模型，優化流程如圖6所示。

圖6 二級優化流程Fig.6 Flow chart of two-level optimization

最終的優化結果如表3所示。

表3 初始值與優化結果Table 3 Initial value and optimization result

從表3可以看出：二級優化法和本文方法得到的結構質量分別為164.8和171.0 kg，本文方法的優化結果僅比二級優化法提高3.8%；本文方法的結構分析次數為1 410次，遠遠少于二級優化法的7 865次。

本文方法經過10次迭代收斂，系統級質量變化歷程如圖7所示。本文方法獲得最優解的上蒙皮厚度分布圖如圖8所示，可以看出，優化后的蒙皮厚度沿展向從翼根到翼尖呈遞減的階梯式分布，這與載荷從翼根到翼尖依次遞減的分布情況是吻合的，而弦向上主盒段蒙皮厚度最大，前緣次之，后緣厚度最小，翼剖面的剛度分配合理。蒙皮0°鋪層方向的應變云圖如圖9所示，可以看出：應變值從翼根到翼尖呈遞減分布，應變分布合理，還可以清晰地看到內部的骨架分布情況。圖8和圖9的云圖也表明了本方法優化結果的合理性。

圖7 系統級質量變化歷程Fig.7 Iteration history of system-level weight

圖8 上蒙皮厚度分布圖Fig.8 Thickness distribution of upper skin

圖9 蒙皮0°鋪層應變云圖Fig.9 Strain contour of 0° layer in the skin

3 結 論

(1) 大展現比機翼優化算例結果顯示，結構分析次數由二級優化方法的7 865次下降為1 410次，優化質量增加3.8%。采用本文提出的求解結構布局優化的并行子空間方法可大大提高優化效率，且優化結果靠近二級優化方法的結果。

(2) 采用本文方法通過10次迭代便可得到結構質量的最優解，且翼剖面的剛度分配和應變分布合理，具有實際工程應用價值。