“學(xué)霸”錯題集之“一元二次方程”篇

畢美秀

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，也是各地中考中的“常客”。為了讓同學(xué)們更好地掌握這部分知識，減少解題時的失誤，讓我們一起來看看“學(xué)霸們”整理的錯題集吧！

類型1 理解定義不到位，忽略“a≠0”

例1 （2019 ·棗莊）已知關(guān)于x的方程ax2+2x-3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是。

【錯解】有的同學(xué)一看到有兩個不相等的實數(shù)根，立刻想到b2-4ac>0，于是b2-4ac=22-4·a·（-3）=4+12a>0，解得a>[-13]。

【剖析】題目中雖然沒有直接說這是一個一元二次方程，但是從“有兩個不相等的實數(shù)根”可以判斷出它不是一元一次方程。對于形如ax2+bx+c=0的一元二次方程，a≠0很容易被忽視，所以當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù)含有字母時，一定要考慮其值不能為0。

【正解】因為有兩個不相等的實數(shù)根，所以b2-4ac>0，即a>[-13]，又因為a≠0，所以a的取值范圍是a>[-13]且a≠0。

例2 若關(guān)于x的方程（m-1）xm2+1-4x+1=0是一元二次方程，則m的值為。

【錯解】因為是一元二次方程，所以含有x的項的最高次數(shù)應(yīng)該是2，即m2+1=2，解得m=±1。

【剖析】二次項系數(shù)是m-1，當(dāng)m=1時，m-1=0，即此方程變成一元一次方程-4x+1=0，顯然不符合題意，所以m=1應(yīng)舍去。

【正解】根據(jù)題意得m2+1=2，解得m=±1，又因為m-1≠0，即m≠1，所以m的值為-1。

類型2 求未知系數(shù)值，忽略“b2-4ac≥0”

例3 關(guān)于x的一元二次方程x2+（a2-2a）x+a-1=0的兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，則a的值為（）。

A.2B.0

C.2或0 D.1

【錯解】設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，根據(jù)題意有x1+x2=0，因為x1+x2=-（a2-2a）=0，解得a=2或0，所以選C。

【剖析】上述解答中只考慮到兩個實數(shù)根互為相反數(shù)這一條件，卻忽視了實數(shù)根是否存在。實際上當(dāng)a=2時，原方程為x2+1=0，其沒有實數(shù)根，應(yīng)舍去。所以利用根與系數(shù)關(guān)系求值后，需要將值代回原方程中驗證方程是否有實數(shù)根，或者代入判別式b2-4ac計算，確認(rèn)是否滿足“b2-4ac≥0”。

【正解】因為兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，則有x1+x2=0。根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，x1+x2=-（a2+2a）=0，解得a=2或0。

當(dāng)a=2時，原方程為x2+1=0，x2=-1<0或者判別式=-4<0，原方程沒有實數(shù)根，所以a=2應(yīng)舍去;

當(dāng)a=0時，原方程為x2-1=0，解得x=±1，兩個實數(shù)根互為相反數(shù)，符合題意。

所以正確答案應(yīng)為B。

類型3 方程步驟不明晰，忽略條件而丟根

例4 解下列方程：

（1）（x-1）2=9;（2）（2x+3）2=（3x-2）2。

【錯解】（1）x-1=3，x=4;

（2）2x+3=3x-2，x=5。

【剖析】形如x2=a（a≥0）的一元二次方程可以使用直接開平方法計算，但是根據(jù)平方根的定義，x=[±a]而不是x=[a]。

【正解】（1）x-1=±3，x-1=3或x-1=-3，即x1=4，x2=-2;

（2）2x+3=±（3x-2），2x+3=3x-2或2x+3=-（3x-2），即x1=5，x2=[-15]。

例5 （2019 ·揚州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是。

【錯解】兩邊同時除以（x-2），得x=1。

【剖析】因為（x-2）是含有未知數(shù)的式子，有可能為0，而等式的性質(zhì)2中明確說明“等號兩邊同時乘或除以一個不為0的數(shù)，等式依然成立”。所以這道題是不能利用兩邊同時除以（x-2）來求解的，這樣會丟根。

【正解】移項得x（x-2）-（x-2）=0，提公因式得（x-1）（x-2）=0，x-1=0或x-2=0，解得x1=1，x2=2。

類型4 實際意義理解不到位，求解忘取舍

例6 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊c=[5]，兩條直角邊長分別為關(guān)于x的方程x2-（m+1）x+m=0的兩個實數(shù)根，求m的值。

【錯解】解方程x2-（m+1）x+m=0，得x1=m，x2=1，即Rt△ABC的兩條直角邊長分別為m，1。又知斜邊c=[5]，由勾股定理，得m2+1=（[5]）2，解得m=±2。

【剖析】由題意可知x1=m，是直角三角形的直角邊長，應(yīng)是正數(shù)，所以m=-2不合題意，應(yīng)舍去。

【正解】解方程x2-（m+1）x+m=0，得x1=m，x2=1，即Rt△ABC的兩條直角邊長分別為m，1。又知斜邊c=[5]，由勾股定理，得m2+1=（[5]）2，解得m=±2。當(dāng)m=-2時不合題意，舍去，所以m的值是2。

例7 某商店進了一批服裝，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件;如果按每件再提價5元出售，其銷售量就減少100件。如果商店銷售這批服裝要獲得利潤12000元，同時要使顧客得到實惠，那么這種服裝售價應(yīng)定為多少元？該商店應(yīng)進這種服裝多少件？

【錯解】設(shè)這種服裝售價應(yīng)定為x元，由題意得（x-50）[800-[1005]（x-60）]=12000，整理得x2-150x+5600=0。解這個方程，得x1=70，x2=80。當(dāng)x=70時，800-[1005]·（70-60）=600;當(dāng)x=80時，800-[1005]·（80-60）=400。

答：每件服裝售價為70元時，該商店應(yīng)進這種服裝600件;每件服裝的售價為80元時，該商店應(yīng)進這種服裝400件。

【剖析】利潤問題離不開公式：總利潤=單件利潤×件數(shù)。該題除了考慮“如果按每件再提價5元出售，其銷售量就減少100件”轉(zhuǎn)化為每提價1元，平均每天少售出[1005]件，還要關(guān)注“使顧客得到實惠”。上述解法中因為漏看了“同時要使顧客得到實惠”這個條件而沒有對兩個解進行取舍。

【正解】設(shè)這種服裝售價應(yīng)定為x元，由題意得：（x-50）[800-[1005]（x-60）]=12000，整理得x2-150x+5600=0。解這個方程，得x1=70，x2=80。當(dāng)x=70時，800-[1005]·（70-60）=600;當(dāng)x=80時，800-[1005]·（80-60）=400。

因為商店要使顧客得到實惠，所以售價每件80元不合題意，應(yīng)舍去。

答：每件服裝售價應(yīng)定為70元，此時該商店應(yīng)進這種服裝600件。

（作者單位：江蘇省南京市中華中學(xué)初中部）