靈活選解法　方程巧計(jì)算

焦倩玉

親愛(ài)的同學(xué)們，你們知道嗎，人類認(rèn)識(shí)一元二次方程的歷史相當(dāng)久遠(yuǎn)。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米在他的著作《代數(shù)學(xué)》里第一次承認(rèn)了一元二次方程有兩個(gè)根，還用幾何學(xué)方法得出一般的求根公式，極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。我們都知道解一元二次方程常見的方法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，下面我們一起來(lái)結(jié)合具體題目，合理選擇解一元二次方程的方法，以方便我們的計(jì)算。

一、直接開平方法

例1 解方程：（x+1）2-1=3。

【解析】把x+1看作一個(gè)整體，將方程兩邊同時(shí)加1，變形為（x+1）2=4，再直接開平方，計(jì)算即可。

解：（x+1）2-1=3。

（x+1）2=4。

x+1=±2。

x=-1±2。

∴x1=1，x2=-3。

【點(diǎn)評(píng)】形如（x+h）2=k（h、k為常數(shù)，k≥0）的方程通常使用直接開平方法。需要注意的是，若k=0，則答案需寫作x1=x2=-h的形式，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。

二、配方法

例2 解方程：x2-10x+22=0。

【解析】觀察這個(gè)一元二次方程，我們發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，此時(shí)考慮選擇使用配方法。

解：x2-10x=-22。

x2-10x+52=-22+52。

（x-5）2=3。

x-5=[±3]。

x=5±[3]。

∴x1=5+[3]，x2=5-[3]。

【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0），當(dāng)a=1，b為偶數(shù)時(shí)通常使用配方法。先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方。將方程轉(zhuǎn)化為（x+h）2=k的形式，進(jìn)而求解。當(dāng)一元二次方程的一次項(xiàng)系數(shù)不是偶數(shù)時(shí)，配方容易出錯(cuò)，同學(xué)們應(yīng)引起注意。

三、公式法

例3 解方程：2x2+x-1=0。

【解析】觀察這個(gè)一元二次方程，我們發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)不為1，一次項(xiàng)系數(shù)為奇數(shù)，此時(shí)應(yīng)選擇使用公式法。

解：∵a=2，b=1，c=-1，

b2-4ac=12-4×2×（-1）=9。

∴x=[-1±32×2]。

∴x1=[12]，x2=-1。

【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0），當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根是x=[-b±b2-4ac2a]。同學(xué)們對(duì)一元二次方程的求根公式需要熟練掌握，把各項(xiàng)系數(shù)的值直接代入公式，進(jìn)而求解。特別對(duì)于a≠1，b為奇數(shù)的情況，公式法通常較為簡(jiǎn)便。

四、因式分解法

例4 解方程：x（2x-1）=3（1-2x）。

【解析】觀察這個(gè)一元二次方程，我們發(fā)現(xiàn)2x-1與1-2x互為相反數(shù)，移項(xiàng)后可提公因式，因此應(yīng)選擇使用因式分解法。

解：x（2x-1）-3（1-2x）=0。

x（2x-1）+3（2x-1）=0。

（2x-1）（x+3）=0。

∴2x-1=0或x+3=0。

∴x1=[12]，x2=-3。

【點(diǎn)評(píng)】開始動(dòng)筆做題之前，同學(xué)們一定要養(yǎng)成認(rèn)真讀題的好習(xí)慣。這道題可通過(guò)移項(xiàng)，將方程右邊化為0，方程左邊經(jīng)提公因式之后可分解為兩個(gè)一次因式的乘積。把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，從而得出結(jié)果。

例5 解方程：（3x-1）2-4x2=0。

【解析】將4x2看作2x整體的平方，我們可以利用平方差公式將這個(gè)一元二次方程的左邊進(jìn)行因式分解，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)一次因式的乘積。

解：（3x-1）2-（2x）2=0。

（3x-1+2x）（3x-1-2x）=0。

（5x-1）（x-1）=0。

∴5x-1=0或x-1=0。

∴x1=[15]，x2=1。

【點(diǎn)評(píng)】形如x2-ax=0和x2-a2=0的一元二次方程通常可以使用因式分解法快速地解決。

一般地，在一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）中，如果b2-4ac≥0時(shí)，那么它的兩個(gè)根為x1=[-b+b2-4ac2a]、x2=[-b-b2-4ac2a]，這兩個(gè)根滿足x1+x2=[-ba]，x1·x2=[ca]。這個(gè)結(jié)論也可以幫助我們更加便捷地解決一些問(wèn)題。

例6 已知關(guān)于x的方程2x2+mx+50=0的一個(gè)根是10，求它的另一個(gè)根。

【解析】已知一元二次方程的一個(gè)根，可以將此根代入方程求出參數(shù)的值，再通過(guò)解這個(gè)方程得到它的另一個(gè)根。或者根據(jù)題目條件，利用根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行求解。

解法一：把x=10代入，得2×102+10m+50=0。

解得m=-25。

把m=-25代入，得2x2-25x+50=0。

∵a=2，b=-25，c=50，

b2-4ac=（-25）2-4×2×50=225。

∴x=[25±2252×2]=[25±154]。

∴x1=10，x2=[52]。

∴方程的另一個(gè)根是[52]。

解法二：∵a=2，c=50，

∴x1·x2=[ca]=[502]=25。

∵x1=10，

∴x2=[2510]=[52]。

∴方程的另一個(gè)根是[52]。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)比本題的這兩種解法，我們可以明顯看出方法2更為便捷。已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）中a和b的值，可以利用x1+x2=[-ba]進(jìn)行求解;已知a和c的值，則可以利用x1·x2=[ca]進(jìn)行求解。

例7 已知關(guān)于x的方程x2+bx+c=0的兩根分別是[2]+1、[2]-1，求b、c的值。

【解析】已知一元二次方程的兩個(gè)根，那么我們可以直接代入，聯(lián)立得到關(guān)于b和c的二元一次方程組，進(jìn)而求解。經(jīng)過(guò)計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)這種方法并不方便。我們可以逆向使用根與系數(shù)的關(guān)系，直接得到b和c的值。

解：∵x1+x2=-b，

∴（[2]+1）+（[2]-1）=-b，

∴b=[-22]。

∵x1·x2=c，

∴（[2]+1）·（[2]-1）=c，

∴c=1。

【點(diǎn)評(píng)】此處為根與系數(shù)的關(guān)系的直接應(yīng)用，同學(xué)們要注意歸納總結(jié)。另外需要注意的是，x1+x2=[-ba]中，負(fù)號(hào)不要漏寫。

（作者單位：江蘇省南京市第一中學(xué)初中部）