一種歸一化的代理模型精度指標(biāo)

2019-11-05 02:32:00張碧輝岳良明王軍

航空工程進(jìn)展 2019年5期

關(guān)鍵詞：方法模型

張碧輝，岳良明，王軍

(1.中國航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院彩虹無人機(jī)科技有限公司，北京 100074) (2.中國航天空氣動(dòng)力技術(shù)研究院第二研究所，北京 100074)

0 引言

代理模型(Surrogate Model或Metamodel)是指通過有限數(shù)據(jù)，逆向定義一個(gè)關(guān)于一系列設(shè)計(jì)變量的連續(xù)函數(shù)[1]。以代理模型代替原數(shù)值分析模型或物理試驗(yàn)，具有使計(jì)算量大幅減小但又保證準(zhǔn)確度的特點(diǎn)，適用于任何“改變輸入反復(fù)調(diào)用計(jì)算模型”的領(lǐng)域[2]。

代理模型種類眾多，常見的包括：多項(xiàng)式插值(Polynomial Regression)、徑向基函數(shù)(Radial Basis Functions)、支持向量機(jī)(Support Vector Machine)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Neural Network)、克里金法(Kriging)等。Wang Liping等[3]和Jin Ruichen等[4]對以上各種代理模型方法進(jìn)行了較全面的介紹。

作為一種低成本近似技術(shù)，代理模型應(yīng)具有足夠的精度，因此如何衡量代理模型精度成為一項(xiàng)必要的研究工作。常見的代理模型精度檢驗(yàn)指標(biāo)名目繁多，不同文獻(xiàn)所采用的指標(biāo)各異。常見指標(biāo)有：標(biāo)準(zhǔn)殘差值SR[5]、誤差平方R2[4]、均方根誤差RMSE[6-7]、正則化均方根誤差NRMSE[8]、相對最大絕對誤差RMAE[6-9]、相對平均絕對誤差RAAE[6]、代理模型接受率MAS[9]、平均百分比誤差A(yù)PE[10]等。

總結(jié)以上各種指標(biāo)，計(jì)算過程中普遍采用：

(1) 函數(shù)真值與模型預(yù)測值之差的絕對值；

(2) 先求出函數(shù)真值與模型預(yù)測值的差值，再計(jì)算該差值與函數(shù)真值的比值；

(3) 先求出函數(shù)真值與模型預(yù)測值的差值，再計(jì)算該差值與函數(shù)真值標(biāo)準(zhǔn)差的比值。

在代理模型的應(yīng)用中，通常在選定一種模型后，對多種數(shù)據(jù)分別進(jìn)行擬合。例如，飛行器氣動(dòng)參數(shù)的研究，需要對升阻力系數(shù)、俯仰力矩系數(shù)等一系列氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行建模，但是對于具有不同單位制、不同數(shù)值的兩種數(shù)據(jù)，以上代理模型精度指標(biāo)無法將二者進(jìn)行橫向比較：

(1) 飛行器的阻力系數(shù)數(shù)值都小于1，而力矩系數(shù)數(shù)值可能達(dá)到上百，第一類方法顯然不可取；

(2) 某些氣動(dòng)參數(shù)數(shù)值分布在0的附近，會(huì)導(dǎo)致第二類方法得到的指標(biāo)值失真；

(3) 采用第三種方法，模型精度會(huì)受到函數(shù)真值分布情況的影響。一般情況下，樣本點(diǎn)越分散越能夠包含更多函數(shù)信息，則模型越準(zhǔn)確。但是認(rèn)為模型準(zhǔn)確度與樣本點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差成反比是不合理的。

為了解決以上問題，實(shí)現(xiàn)對代理模型不同種類擬合數(shù)據(jù)的橫向?qū)Ρ龋疚奶岢鰵w一化絕對誤差均值(Mean Normalized Absolute Error,簡稱MNAE)來表征模型準(zhǔn)確度，并通過某飛行器算例的計(jì)算結(jié)果，以證明該指標(biāo)的有效性。

1 歸一化絕對誤差均值

(1)

根據(jù)代理模型預(yù)測數(shù)據(jù)的性質(zhì)，當(dāng)真實(shí)函數(shù)值同時(shí)為正或同時(shí)為負(fù)時(shí)，取：

(2)

當(dāng)真實(shí)函數(shù)值既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)時(shí)(即跨越0時(shí))，取：

(3)

于是，任意函數(shù)真實(shí)值的歸一化為

(4)

任意函數(shù)模型預(yù)測值的歸一化為

(5)

代理模型的準(zhǔn)確度，定義為歸一化后真實(shí)值與歸一化預(yù)測值差值的絕對值的均值：

(6)

MNAE值越小，說明代理模型預(yù)測精度越高。MNAE值的定義，重點(diǎn)在于歸一化計(jì)算的上下界如何確定。對于樣本函數(shù)值“同時(shí)在零點(diǎn)一側(cè)”和“分布區(qū)間跨越零點(diǎn)”兩種情況，分別選擇不同的方法計(jì)算上下界。本文將上下界的區(qū)間設(shè)定的足夠大，以使得所有樣本點(diǎn)函數(shù)值歸一化之后都落在(0,1)區(qū)間。

2 算例

本節(jié)算例為某型戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈。導(dǎo)彈彈體為圓柱形，彈頭為圓錐型，彈翼采用常規(guī)式縱向布局、“X”型周向布局，主翼、尾翼均采用雙弧型對稱翼型，尾翼為全動(dòng)舵面。其主要尺寸如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈主要幾何尺寸示意圖Fig.1 Dimensions of the missile example

導(dǎo)彈的外形設(shè)計(jì)參數(shù)確定后，調(diào)用Missile Datcom[11]計(jì)算不同飛行狀態(tài)下的氣動(dòng)數(shù)據(jù)，得到代理模型樣本點(diǎn)。

表征不同飛行狀態(tài)的代理模型設(shè)計(jì)變量包括：攻角、側(cè)滑角、速度、高度、飛行器重心位置，其取值范圍如表1所示。

表1 設(shè)計(jì)變量及取值范圍Table 1 Design variables and range

根據(jù)飛行器仿真程序的需求，氣動(dòng)數(shù)據(jù)共有11種，如表2所示。

表2 氣動(dòng)數(shù)據(jù)明細(xì)Table 2 Explanations of aerodynamic coefficients

3 Kriging模型及相關(guān)方法

Kriging模型的思想[12]是由南非工程師D.G.Krige于1951年提出的，之后發(fā)展成為一種地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)插值方法。1989年，J.Sacks等[13]將Kriging理論進(jìn)一步推廣到確定性計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)領(lǐng)域，并給出了一種較實(shí)用的Kriging算法。此后該方法在眾多研究領(lǐng)域得到發(fā)展和應(yīng)用。Kriging模型的基本思路詳見文獻(xiàn)[14]。Kriging模型在各種代理模型方法中建模工作相對復(fù)雜，但其擬合能力較強(qiáng)，在飛行器氣動(dòng)參數(shù)擬合領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[15-17]。

實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是建立代理模型的必要準(zhǔn)備工作，它的主要內(nèi)容是:在設(shè)計(jì)變量空間內(nèi)合理地布置有限的樣本點(diǎn)，使其能夠獲得盡可能多的函數(shù)信息。常見的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法包括：拉丁超立方(Latin Hypercube)、正交表(Orthogonal Array)、蒙特卡洛法(Monte Carlo)等[18]。

對于飛行器氣動(dòng)性能這類復(fù)雜問題，響應(yīng)函數(shù)在設(shè)計(jì)空間上的分布特性通常難以把握。本文在初次建立代理模型時(shí)選擇較少樣本數(shù)量，建立氣動(dòng)函數(shù)的粗略分布規(guī)律；基于初始樣本得到的代理模型，通過一系列加點(diǎn)方法加入新的樣本點(diǎn)，進(jìn)而迭代修正代理模型。

根據(jù)文獻(xiàn)[19]，本文Kriging模型建模過程中每次添加：函數(shù)極小值點(diǎn)，與現(xiàn)有樣本距離之和最大點(diǎn)，預(yù)測方差最大點(diǎn)，改進(jìn)期望值取不同系數(shù)所得到的5個(gè)最大值點(diǎn)。共計(jì)8個(gè)樣本點(diǎn)。

以上各極值求解均選用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解。

根據(jù)文獻(xiàn)[20]，氣動(dòng)數(shù)據(jù)代理模型中總存在著一些“奇異點(diǎn)”，它們的真實(shí)值與代理模型預(yù)測值之間的誤差很大，且不會(huì)隨著樣本點(diǎn)的增加而有所改善。剔除與“主流”數(shù)據(jù)點(diǎn)響應(yīng)趨勢不相符的“奇異點(diǎn)”能顯著改善模型精度。本文在每一輪加點(diǎn)的同時(shí)，同樣采用遺傳算法求解出模型檢驗(yàn)指標(biāo)最差的3個(gè)點(diǎn)，將其從樣本點(diǎn)中剔除。

綜上，先增加8個(gè)樣本點(diǎn)再刪除3個(gè)樣本點(diǎn)，一次樣本更新后樣本點(diǎn)數(shù)增加5個(gè)。

除了確定模型精度指標(biāo)之外，計(jì)算模型精度的策略主要分兩種：加點(diǎn)驗(yàn)證方法和交叉驗(yàn)證方法。加點(diǎn)驗(yàn)證方法簡單直觀，但卻不能充分利用全部樣本點(diǎn)來構(gòu)建代理模型。交叉驗(yàn)證方法的基本思想可以簡單描述如下：首先將樣本點(diǎn)集S隨機(jī)分成樣本數(shù)目大致相等的m個(gè)樣本點(diǎn)子集，在驗(yàn)證代理模型精度時(shí)，將其中的任一個(gè)樣本點(diǎn)子集作為待驗(yàn)證的數(shù)據(jù)，其余的m-1個(gè)用于構(gòu)建接受檢驗(yàn)的代理模型，這樣可以得到該子集對應(yīng)的驗(yàn)證誤差；當(dāng)遍歷m次，所有樣本點(diǎn)子集都充當(dāng)了驗(yàn)證數(shù)據(jù)后，就可以得到所有子集的精度指標(biāo)。本文采用交叉驗(yàn)證方法進(jìn)行代理模型精度檢驗(yàn)。

綜上所述，本文Kriging代理模型的建模、加點(diǎn)、檢驗(yàn)方法流程如圖2所示。

圖2 代理模型建模流程Fig.2 Modelling process of the surrogate

4 計(jì)算結(jié)果

為了驗(yàn)證代理模型精度指標(biāo)的準(zhǔn)確性，將MNAE值與相關(guān)性圖進(jìn)行比較。

相關(guān)性圖以最直觀的方式表達(dá)代理模型的準(zhǔn)確度：它的橫坐標(biāo)為一組輸入數(shù)據(jù)的真實(shí)函數(shù)值，縱坐標(biāo)為相同數(shù)據(jù)經(jīng)過代理模型得到的預(yù)測值。相關(guān)性圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布越接近y=x這條直線，說明代理模型預(yù)測得越準(zhǔn)確。相關(guān)性圖的局限性在于其分布情況只能通過目視觀察，而不能給出定量的指標(biāo)。

根據(jù)第3節(jié)所述方法，得到各氣動(dòng)參數(shù)70樣本點(diǎn)Kriging模型的相關(guān)性圖，如圖3～圖13所示。根據(jù)使用經(jīng)驗(yàn)，阻力系數(shù)CD的Kriging模型選擇二階回歸項(xiàng)與Gauss相關(guān)函數(shù)，其他氣動(dòng)參數(shù)統(tǒng)一選擇一階回歸項(xiàng)與Exp相關(guān)函數(shù)。考慮個(gè)別氣動(dòng)系數(shù)集中分布在距離零點(diǎn)較遠(yuǎn)處，為了準(zhǔn)確表達(dá)Kriging模型預(yù)測精度，各參數(shù)相關(guān)性圖均包含零點(diǎn)。