板中Lamb波激勵響應計算方法*

許西寧， 余祖俊,2， 邢 博， 朱力強,2

(1.北京交通大學機械與電子控制工程學院 北京，100044) (2.北京交通大學載運工具先進制造與測控技術教育部重點實驗室 北京，100044)

引 言

傳播超聲導波[1-3]的波導介質一般具有以下特點，縱向長度很長、橫截面形狀一致，如薄板、桿、管道和鋼軌等[4-6]。超聲導波在波導介質中傳播時可以覆蓋整個介質的橫截面，且傳播距離遠，因此超聲導波是一種非常有前景的監測手段。基于超聲導波，可以有效定位結構損傷的位置、程度[7-8]和類型。

在平板中傳播的Lamb波[9-11]是導波的一種，近年來被廣泛應用于復合材料結構[12-13]的無損檢測[14-17]中。頻散、多模態是導波的基本特性，在同一頻率下有多個可傳播的導波模態，在采用Lamb波檢測薄板材料內部缺陷時，需要研究各個模態的激勵方法及傳播規律。采用計算機仿真研究方法可以節省大量的時間和資源，三維有限元仿真是最常用的方法，且有比較成熟的商業軟件，如ANSYS等。激勵響應計算方法是研究Lamb波傳播特性的另一途徑，基于半解析有限元方法[18-19]，對于薄板介質，在橫截面作一維有限元離散，當仿真較遠距離、三維離散單元非常密集時，采用激勵響應計算方法可以節省大量的計算量、時間和內存。

在激勵響應計算時，首先基于半解析有限元方法建立薄板中Lamb波的一般均質波動方程，通過求解標準特征值問題提取薄板中導波的模態數據，建立系統函數模型。通過傅里葉變換得到施加激勵信號的頻域值，將頻域值代入系統函數模型，進行加權求和，計算得到頻率-波數域中的激勵響應。應用傅里葉逆變換，將系統頻率響應從頻域轉換成時域，得到遠離波源位置處的瞬態響應結果。激勵響應計算方法可以求解任意橫截面波導介質的時間瞬態響應，該方法可推廣用于計算導波在鋼軌或管道中的傳播過程，具有較好的通用性。

1 模型定義

在計算薄板中Lamb波的激勵響應時，首先要建立薄板的系統函數模型，這里定義薄板的橫截面為y-z坐標平面，Lamb波傳播方向為x方向，如圖1所示。

圖1 薄板中Lamb波傳播的半解析有限元模型Fig.1 Semi-analytical finite element model of Lamb wave propagation in a plate

用式(1)來表示薄板的系統函數模型[4]

(1)

(2)

(3)

其中：K1,K3,M為Lamb波一般均質波動方程中的剛度矩陣。

對激勵信號F(t)作傅里葉變換

(4)

經卷積計算，可以得到V(y,z,f)為

(5)

對V(y,z,f)作傅里葉反變換，可以得到激勵信號的響應結果。

2 建立系統函數模型

薄板中Lamb波激勵響應的時域波形是通過頻域計算結果的反傅里葉變換獲得的，在計算頻域的激勵響應結果時，首先要建立薄板的系統函數模型。該模型是由所有在薄板中可傳播的Lamb模態組合構建的，如式(1)所示，其中主要用到了波動方程的剛度矩陣和各模態的振型數據。通過半解析有限元方法可以建立薄板中Lamb波的一般均質波動方程，獲得剛度矩陣，求解波動方程可以進一步得到Lamb波各傳播模態的振型數據，由剛度矩陣和振型數據可以建立薄板的系統函數模型。

半解析有限元方法可用于建立任意橫截面波導介質中導波的傳播模型，對于薄板結構而言，只需在橫截面作一維有限元離散，沿Lamb波傳播方向質點的位移則用簡諧波指數方程的形式表示，通過標準的數學運算，可以獲得板中Lamb波的一般均質方程。

圖1為無限寬自由薄板的模型，導波沿x方向傳播，每個質點的位移用u表示，應力和應變分別用σ，ε表示。

(6)

應變與位移的關系可用式(7)表示為

(7)

其中

薄板中坐標為(x,y,z)的任意質點，其隨時間變化的位移值，可以用簡諧波時空域的函數表示[6]為

(8)

其中：eiξx為空間域的值；ξ為波數；eiωt為時間域的值；ω為頻率。

在有限元離散時，將薄板的橫截面等效為無限寬，僅在z方向作一維有限元離散，如圖2所示。3個節點組成一個單元，每個節點包含x,y,z三個自由度。

圖2 節點單元Fig.2 Node element

對于離散后的單元，其內部任意一點的位移可以表示[6]為

N(y,z)q(e)ei(ξx-ωt)

(9)

其中：N(y,z)為形函數矩陣；q(e)為節點位移矢量。

經數學運算和推導，最終可得到以下一般均質波動方程[20]為

[K1+iξK2+ξ2K3-ω2M]MU=0

(10)

其中：下標M代表系統的自由度數；U為振型矢量；K1,K3,M為剛度矩陣。

求解式(10)可以得到波數ξ、頻率ω的值，從而繪制Lamb波相速度頻散曲線，如圖3所示。橫軸為頻厚積，縱軸為相速度。頻厚積即頻率與平板厚度的乘積，Lamb波在不同頻厚積平板中的傳播特性是不同的。

圖3 相速度頻散曲線Fig.3 Phase velocity dispersion curves

由式(11) 可求出Lamb波群速度值，并繪制頻散曲線，如圖4所示。

(11)

圖4 群速度頻散曲線Fig.4 Group velocity dispersion curves

求解式(10)，可得到振型矢量U，以及剛度矩陣K1,K3,M，代入式(3)中，可得到B矩陣，將U,B代入式(1)中，可得到系統函數模型H。

3 激勵響應求解

以2.5 mm厚鋁板為例，求解激勵響應結果。在鋁板左側中心點沿x方向施加激勵信號，分別計算距離施加點100和200 mm位置的響應信號，如圖5所示。

圖5 激勵響應計算布置圖Fig.5 Layout of excitation response calculation

激勵源為三角波信號，如圖6所示。三角波信號頻譜較寬，通過分析響應信號可以得到多個頻率點的群速度，進而和群速度頻散曲線進行比對驗證。

圖6 激勵信號Fig.6 Exciting signal

首先對該激勵信號進行傅里葉變換，得到三角波信號的頻譜，如圖7所示。

圖7 三角波信號頻譜Fig.7 Spectrum of triangular wave

圖8 激勵信號響應計算結果Fig.8 Response of exciting signal

由圖可見，Lamb波在傳播過程中波包變寬，出現了頻散現象。以上求解采用半解析有限元方法，共耗時約175 s。采用有限元分析軟件同樣可以進行激勵響應分析，如用ANSYS軟件，針對300 mm長，200 mm寬，厚度為2.5 mm的鋁板，網格大小設為0.125 mm×0.125 mm×10 mm，求解過程需耗時28 h 17 min。由此可見，采用半解析有限元方法可以大大節約計算時間。

對圖8中的激勵響應結果進行小波分析，得到小波時頻圖，如圖9所示。

圖9 小波分析結果及峰值點Fig.9 Wavelet analysis results and peak points

圖9(a)，(b)分別是0.1，0.2 m處激勵響應信號的小波分析結果，在圖中用星號標注了不同頻率的峰值點，根據圖9(a)，(b)中峰值點的時刻，可以計算出不同頻率下的Lamb波群速度值，計算結果如表1所示。

表1 不同頻率下的群速度值

激勵響應計算共求解得到11個群速度值，在Lamb波群速度頻散曲線上疊加繪制了這11個群速度值，在圖10中用圓圈繪出。從圖中可以看出，11個群速度值均在S0模態的群速度頻散曲線附近，在2.5 mm厚鋁板中心施加三角波激勵信號，可以激勵出對稱模態的Lamb波。

圖10 激勵響應計算得到的群速度值Fig.10 Group velocities calculated by excitation response

4 實驗分析

下面將通過實驗進一步驗證激勵響應計算結果。實驗時選用2.5 mm厚的1060工業純鋁板，鋁含量為99.6%，采用汕頭超聲公司的1 MHz超聲波斜探頭作為Lamb波的發射、接收探頭，探頭入射角為45°，型號為1P13*13 K1。探頭采用耦合劑粘在鋁板上，探頭布置如圖11所示。

圖11 實驗布置圖Fig.11 Experimental layout

在發射探頭T1施加高壓脈沖信號，激勵Lamb波在鋁板中傳播，接收探頭R1,R2采集的波形如圖12所示。上圖為距離T1發射探頭40 mm位置處，探頭R1接收到的波形，下圖為探頭R2接收的波形圖，R2距離T1發射探頭80 mm。

圖12 接收信號波形Fig.12 Receive signal waveform

對接收信號做小波變化，可以得到R1，R2探頭接收信號的時頻圖，其信號峰值的時刻分別為17.64，40.04 μs，接收探頭間距40 mm，群速度值為1 785.7 m/s。

下面進行激勵響應計算分析，在鋁板表面，平行鋁板方向施加激勵信號，鋁板厚度為2.5 mm，激勵信號中心頻率為1 MHz，如圖13所示。

圖13 激勵信號Fig.13 Exciting signal

激勵響應結果的計算點分別距離激勵點位置80，120 mm，如圖14所示。

圖14 激勵響應計算布置圖Fig.14 Layout of excitation response calculation

激勵信號頻譜如圖15所示。

圖15 激勵信號頻譜Fig.15 Spectrum of exciting signal

圖16 激勵信號響應計算結果Fig.16 Response of excitation signal

將圖16中激勵響應計算獲取的波形，進行小波分析，結果如圖17所示，圖17(a)，(b)分別為圖16(a)，(b)信號的小波分析結果。

圖17 小波分析結果Fig.17 Wavelet analysis results

由圖17所示，距離激勵位置0.08，0.12 mm處的響應波形的峰值點時間分別為47.85，70.1 μs，信號采樣點間距0.04 m，時間差22.25 μs，可求得群速度為1 797 m/s。將此群速度值和群速度頻散曲線對比，如圖18所示。在圖中頻厚積為2.5 MHz·mm位置查找群速度頻散曲線，與響應結果最相近的群速度值為1 776 m/s，為對稱模態的Lamb波。

圖18 激勵響應計算得到的群速度值Fig.18 Group velocities calculated by excitation response

實驗測量群速度值為1 785.7 m/s，激勵響應計算群速度為1 797 m/s。實驗和激勵響應計算結果一致性較好，采用1 MHz斜探頭，在2.5 mm厚的鋁板上可以激勵出S0對稱模態的Lamb波信號。

5 結束語

通過半解析有限元方法求解薄板中Lamb波的一般均質方程，進而建立求解激勵響應的系統函數模型，基于頻譜疊加原理，可以計算薄板中Lamb波激勵響應結果。經實驗驗證，激勵響應計算與實驗結果有很好的一致性，兩種方法獲取的數據，模態分析結論一致。激勵響應計算方法是仿真分析波導介質中導波傳播規律的一種數值計算方法，可以取代反復的實驗環節，節省硬件成本，提高效率。該方法還可以仿真計算任意截面波導介質中導波的傳播過程，具有較好的通用性。