控制受限欠驅(qū)動橋吊系統(tǒng)改性終端滑?？刂?/h1>
2019-11-07 07:35:56強(qiáng)寶民何禎鑫杜文正
兵器裝備工程學(xué)報(bào) 2019年10期
王 杰，強(qiáng)寶民，何禎鑫，杜文正
(火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院， 西安 710025)
橋吊作為一種常見的欠驅(qū)動設(shè)備，在工業(yè)生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。直觀地講，所謂欠驅(qū)動系統(tǒng)，是指系統(tǒng)的控制輸入變量個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)自由度的一類非線性系統(tǒng)，在生產(chǎn)實(shí)踐中很多設(shè)備都具有欠驅(qū)動的形式，由于去掉系統(tǒng)部分驅(qū)動器，增加了系統(tǒng)自由度，提高了系統(tǒng)靈活性，使得欠驅(qū)動系統(tǒng)在節(jié)約能源、降低價(jià)格、增強(qiáng)系統(tǒng)適應(yīng)性等方面都比全驅(qū)動系統(tǒng)優(yōu)越。在橋吊系統(tǒng)中，由于非直接控制的擺動自由度的存在，使得其動力學(xué)特性與耦合性相比全驅(qū)動系統(tǒng)更為復(fù)雜，給系統(tǒng)的穩(wěn)定控制帶來了難度。因此對欠驅(qū)動非線性橋吊系統(tǒng)的防擺研究，不論對于控制理論的完善，還是實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)都有極為重要的意義。
近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對橋吊系統(tǒng)的控制問題開展了很多研究工作，主要控制模式分為開環(huán)和閉環(huán)控制。具體而言，主要控制方法有輸入整形[1]、LQR[2]、PID[3]、部分反饋線性化[4]、最優(yōu)控制[5]、能量方法[6]、分級控制[7]以及智能控制[8]等等。這些控制方法在理想條件下均能夠取得很好的控制效果，但是在工業(yè)生產(chǎn)中，由于大量的外界擾動、參數(shù)攝動以及風(fēng)載荷、摩擦力的存在，采用傳統(tǒng)的控制方法無法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及對干擾的魯棒性，滑?？刂齐`屬于變結(jié)構(gòu)控制(Variable Structure Control，VSC)，本質(zhì)上是一種特殊的非線性控制，其非線性表現(xiàn)在控制的高頻切換性(即抖振)。滑?？刂婆c其他控制方法最大的區(qū)別在于其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有時(shí)變的特點(diǎn)，處于動態(tài)過程的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，根據(jù)當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)(如誤差，誤差變化率等)有目的地進(jìn)行變化，迫使系統(tǒng)按照設(shè)計(jì)的“滑動模態(tài)”狀態(tài)軌跡運(yùn)動。由于滑動模態(tài)可以根據(jù)控制目的進(jìn)行設(shè)計(jì)且與對象參數(shù)以及外界擾動無關(guān)，使得滑模控制在系統(tǒng)穩(wěn)定性、對干擾的魯棒性、無需在線辨識以及快速動態(tài)響應(yīng)等方面有獨(dú)特的優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)以及不確定系統(tǒng)的控制研究。在橋吊控制領(lǐng)域，相比傳統(tǒng)的控制方法，滑模變結(jié)構(gòu)控制能夠滿足橋吊系統(tǒng)準(zhǔn)確定位、快速消擺的控制要求，特別在有強(qiáng)干擾、強(qiáng)風(fēng)載存在的環(huán)境下，能夠保持良好的控制品質(zhì)。
與傳統(tǒng)線性滑模(Line Sliding Mode，LSM)不同，終端滑模(Terminal Sliding Mode，TSM)以其動態(tài)響應(yīng)快、有限時(shí)間收斂、穩(wěn)態(tài)跟蹤精度高等優(yōu)點(diǎn)，得到了科研人員的廣泛關(guān)注。終端滑模通過吸引子函數(shù)構(gòu)造非線性滑模面，能夠使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)，但在系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，狀態(tài)收斂速度會遠(yuǎn)低于線性滑模，為了解決這一問題，在文獻(xiàn)[9]中Keleher通過優(yōu)化吸引子函數(shù)提出了快速終端滑模(Fast Terminal Sliding Mode，F(xiàn)TSM)控制，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)快速、準(zhǔn)確收斂到平衡狀態(tài)。
在運(yùn)動控制領(lǐng)域，執(zhí)行器往往會發(fā)生飽和現(xiàn)象，如船舶的偏航擺舵系統(tǒng)，舵機(jī)的最大偏角限制等。這使得過大的控制律難以實(shí)現(xiàn)，該問題在某種程度上會影響系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性，甚至?xí)鹣到y(tǒng)失穩(wěn)。作者通過定義自適應(yīng)輔助分析系統(tǒng)，采用輸入飽和誤差動態(tài)放大的方法，實(shí)現(xiàn)了一種基于控制輸入抗飽和的滑模控制方法，解決了橋吊系統(tǒng)的控制受限問題。
基于以上分析，本文針對橋吊系統(tǒng)的控制受限問題，設(shè)計(jì)了一種控制受限改性終端滑?？刂?Control Limited Improved Terminal Sliding Mode，CLITSM)方法，其設(shè)計(jì)過程分為4個(gè)部分：1)通過綜合TSM與FTSM終端吸引子的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種改性終端滑模控制，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)較快速終端滑模有更快的收斂速度；2)針對執(zhí)行器的飽和現(xiàn)象，在系統(tǒng)輸入端添加穩(wěn)定的自適應(yīng)抗飽和補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)了控制輸入限幅；3)采用分層滑?？刂疲謩e針對位移子系統(tǒng)和擺角子系統(tǒng)設(shè)計(jì)第一層改性終端滑模面，保證子系統(tǒng)有限時(shí)間收斂，之后線性組合為第二層滑模面。通過Lyapunov法分別求取等效控制量和切換控制量，并進(jìn)行穩(wěn)定性分析；4)在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種非線性趨近律，應(yīng)用于橋吊系統(tǒng)的防擺控制，大幅削弱了控制抖振問題。將本文的方法應(yīng)用于橋吊系統(tǒng)控制，仿真結(jié)果表明，橋吊系統(tǒng)能夠在輸入受限情況下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂，對外界干擾具有強(qiáng)魯棒性能。
1 問題描述
對于常見的二維定繩長橋吊系統(tǒng)，定義M，m分別為臺車和負(fù)載的質(zhì)量，l為吊繩長度，u(t)為控制輸入，x為臺車相對原點(diǎn)的位移，θ為負(fù)載相對鉛垂方向的偏角，fr為軌道摩擦力，采用歐拉-拉格朗日方法建模如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
對于橋吊系統(tǒng)而言，控制器的控制目標(biāo)進(jìn)而可以明確為：
存在有限時(shí)間tr，使得任意t≥tr均滿足
(5)
2 改性終端滑模收斂性分析
采用分層滑模控制方法，將欠驅(qū)動橋吊系統(tǒng)分為兩個(gè)帶干擾二階非線性子系統(tǒng)A和B：
(6)
(7)
考慮LSM、TSM和FTSM的一階方程形式：
(8)
其中p當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，(8)所示滑模面終端子函數(shù)為：
(9)
由式(9)可見，終端滑模較線性滑模有更快的收斂速度，快速終端滑模控制方法在當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近平衡點(diǎn)時(shí)終端子函數(shù)主要由e決定，較終端滑模改善并提高了系統(tǒng)誤差接近零點(diǎn)時(shí)的收斂速度。通過優(yōu)化快速終端滑模終端子函數(shù)構(gòu)成，并提高橋吊兩子系統(tǒng)的耦合性，本文設(shè)計(jì)了一種新型改性終端滑?？刂?Improved Terminal Sliding Mode，ITSM)：
(10)
其中γ,λ為正實(shí)數(shù)，τ>1。
利用文獻(xiàn)[11]引理，推導(dǎo)ITSM有限時(shí)間收斂性：
引理1：如果連續(xù)函數(shù)V是正定的且滿足如下條件：
(11)
其中Δ為正系數(shù)，0<χ<1。則函數(shù)V能在任意給定t0到達(dá)原點(diǎn)，且收斂時(shí)間滿足：
tR≤t0+V1-χ(t0)/Δ(1-χ)
(12)
引理2：針對橋吊系統(tǒng)改性終端滑?？刂?，終端吸引子滿足：
(13)
3 改性終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
分層滑?？刂屏鞒毯唸D如圖1，通過事先設(shè)定控制目標(biāo)利用雙層滑模對位移、擺角子系統(tǒng)以及總滑模面進(jìn)行穩(wěn)定控制。
根據(jù)式(10)所示滑模面，利用等效控制求取等效控制量：
(14)
(15)
圖1 分層ITSM控制流程簡圖
為了保證包含兩個(gè)子系統(tǒng)的總系統(tǒng)穩(wěn)定，需要設(shè)計(jì)構(gòu)造第二層滑模面：
S=α1s1+α2s2
(16)
其中α1,α2為嚴(yán)格正實(shí)數(shù)。為保證子系統(tǒng)能夠到達(dá)第一層滑模面，利用Lyapunov函數(shù)和準(zhǔn)滑動模態(tài)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)系統(tǒng)總輸入為：
u=ueq1+ueq2+usw
(17)
為了獲得整個(gè)系統(tǒng)的控制輸入量，需要確定切換控制部分。對基于分層滑?？刂品椒ǖ淖兘Y(jié)構(gòu)控制器而言，系統(tǒng)第二級滑動面的穩(wěn)定性保證了變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性，因此切換控制量的選取應(yīng)使如下所示的滑模到達(dá)條件成立：
(18)
采用等速趨近律求解滑?？刂破鞯那袚Q控制量:
(19)
其中，κ為嚴(yán)格正實(shí)數(shù)，且κ=l+ψ，ψ>0。
由式(14)-式(19)可得改性終端滑?？刂破髑袚Q控制量：
(20)
則采用等速趨近律的橋吊系統(tǒng)控制輸入為：
u=ueq1+ueq2+usw=
(21)
由式(20)所示，整個(gè)起重機(jī)系統(tǒng)的控制輸入量中含有符號函數(shù)這一不連續(xù)項(xiàng)，該不連續(xù)項(xiàng)的存在將導(dǎo)致變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)出現(xiàn)高頻抖振現(xiàn)象，且系統(tǒng)的抖振程度取決于系統(tǒng)參數(shù)的大小。為獲得較短的穩(wěn)定時(shí)間和魯棒性，需要選擇較大的控制器增益，這會導(dǎo)致系統(tǒng)的大幅高頻抖振，為解決系統(tǒng)抖振與控制效益的矛盾，本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上提出了式(22)所示非線性趨近律:
(22)
(23)
其中
(24)
4 輸入受限改性終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
假定被控對象為式(6)所示的子系統(tǒng)A，取最大輸入值umax，umax>0，Δu=u-υ，u=sat(υ)，則此時(shí)飽和控制輸入表示為：
(25)
通過定義輔助分析系統(tǒng)，采用飽和誤差動態(tài)放大的方法，可實(shí)現(xiàn)一種基于控制輸入飽和的滑模控制，閉環(huán)系統(tǒng)示意圖如圖2。
圖2 控制受限閉環(huán)控制系統(tǒng)示意圖
通過設(shè)計(jì)穩(wěn)定的自適應(yīng)輔助系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)控制飽和的補(bǔ)償[12]：
(26)
寫成矩陣形式：
(27)
重新定義誤差函數(shù)：
e1(t)=x1-x1d-ρ1
e3(t)=x3-x3d-ρ1
(28)
則有：
(29)
將式(28)，式(29)代入改性終端滑?？刂剖?10)并求導(dǎo)得：
(30)
(31)
(32)
采用(24)所示切換控制量，得到輸入受限改性終端滑?？刂坡桑?/p>
(33)
5 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析
穩(wěn)定性定理一:對于二維定繩長橋吊系統(tǒng)，若采用式(10)所示設(shè)計(jì)子系統(tǒng)滑模面，式(16)所示總滑模面，并采用式(33)所示總滑模控制量，則整個(gè)橋式起重機(jī)系統(tǒng)的滑模面S是漸進(jìn)穩(wěn)定的。
證明：構(gòu)造Lyapunov能量函數(shù)
(34)
(35)
κ<κ/Q(S)<κ/p
(36)
由式(35)，式(36)可得
(37)
對式(37)進(jìn)行積分運(yùn)算，進(jìn)一步有
(38)
進(jìn)而
(39)
(40)
穩(wěn)定性定理二:對于二維定繩長橋吊系統(tǒng)，若采用式(10)所示設(shè)計(jì)子系統(tǒng)滑模面，式(16)所示總滑模面，并采用式(33)所示總滑模控制量，則各子滑模面S也漸進(jìn)穩(wěn)定。
證明：由式(38)得到：
(41)
即總滑模面為絕對可積，構(gòu)造兩個(gè)滑模面：
(42)
(43)
進(jìn)而有
(44)
由式(40)，式(43)可知
(45)
從而得出：
(46)
有限時(shí)間收斂定理：對于表示二維定繩長橋吊系統(tǒng)模型的式(3)，若采用式(10)所示設(shè)計(jì)子系統(tǒng)滑模面，采用式(14)，式(15)所示等效控制量，則系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到達(dá)滑模狀態(tài)。
證明：為了計(jì)算簡便，以下證明過程中趨近律均采用式(19)等速趨近律，對于式(22)非線性趨近律證明類似，此處不多贅述。
由式(37)得到式(3)描述的欠驅(qū)動橋吊系統(tǒng)滿足滑模到達(dá)條件，即滑模面S是漸進(jìn)穩(wěn)定的，因此式(3)滿足式(13)終端滑模子函數(shù)條件，即式(3)欠驅(qū)動系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為式(13)所示簡化系統(tǒng)處理。
根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)與分層滑?？刂魄娴年P(guān)系將收斂過程劃分為兩階段，即到達(dá)階段和滑動階段，根據(jù)引理2，計(jì)算總收斂時(shí)間為：
(47)
6 仿真分析
為了進(jìn)一步分析本文提出控制方法的有效性與可行性，本文采用Matlab/Simulink進(jìn)行數(shù)值仿真試驗(yàn)驗(yàn)證。橋吊系統(tǒng)動力學(xué)模型基本參數(shù)值見表1，仿真實(shí)驗(yàn)分為3個(gè)部分。① 采用CLITSM控制方法進(jìn)行系統(tǒng)仿真分析，檢驗(yàn)控制效果；② 分別采用LSM、TSM、ITSM以及PID控制方法，對比驗(yàn)證本文提出的控制受限改性終端滑模控制方法的有效性、優(yōu)越性以及存在的問題；③ 在原有系統(tǒng)中加入不同形式的隨機(jī)干擾以模擬工業(yè)生產(chǎn)中可能會出現(xiàn)的風(fēng)阻和啃軌運(yùn)行阻力，檢驗(yàn)控制系統(tǒng)的魯棒性；④ 對LSM、TSM、ITSM和CLITSM滑模面進(jìn)行對比，檢驗(yàn)本文設(shè)計(jì)的控制受限改性終端滑模控制方法收斂速度的快速性。
表1 橋吊系統(tǒng)基本參數(shù)值
圖3 系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)曲線
圖4 分層滑模面曲線
從仿真結(jié)果看，橋吊系統(tǒng)在輸入受限的情況下能夠在2.1S完成負(fù)載轉(zhuǎn)運(yùn)，系統(tǒng)擺角在2.93S達(dá)到θ∈[-5°,5°]誤差允許范圍。對比相關(guān)文獻(xiàn)，本文所提出的輸入受限終端滑?？刂颇軌驖M足欠驅(qū)動橋吊系統(tǒng)精確定位、快速消擺的控制目標(biāo)。
橋吊控制系統(tǒng)在輸入不受限、受限并采用等速趨近律、以及受限并采用非線性趨近律3種情況的控制輸入，仿真結(jié)果如圖5所示。在沒有輸入受限的系統(tǒng)中，如圖5(a)，控制輸入處于[-10,50]區(qū)間，無法滿足工程中控制信號幅值有限的現(xiàn)實(shí)狀況；采用等速趨近律的輸入受限控制器能夠降低對控制信號強(qiáng)度的要求，但系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面兩側(cè)高頻切換會產(chǎn)生抖振如圖5(b)所示；為此在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，改進(jìn)得到了非線性趨近律，能夠有效降低抖振現(xiàn)象，此時(shí)系統(tǒng)的控制輸入仿真結(jié)果如圖5(c)所示。
為了進(jìn)一步驗(yàn)證提出的控制方法的有效性，本文采用PID，線性滑模(LSM)，終端滑模(TSM)，改性終端滑模(ITSM)作為對比控制方法，采用表2，表4控制器參數(shù)，表3趨近律。
仿真得到系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)圖如圖6，狀態(tài)相圖如圖7。
圖5 系統(tǒng)控制量圖
表2 PID控制器參數(shù)
表3 等速趨近律與非線性趨近律參數(shù)
圖6 系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)圖
圖7 系統(tǒng)狀態(tài)相圖
通過圖6(a)看出本文提出的改性終端滑?？刂?ITSM)，有最短的位置響應(yīng)時(shí)間，在輸入受限情況下，系統(tǒng)位置響應(yīng)時(shí)間有所延長，但遠(yuǎn)小于終端滑?？刂?TSM)的響應(yīng)時(shí)間；系統(tǒng)擺角控制如圖6(b)所示，ITSM由于位置響應(yīng)快，造成了大幅度負(fù)載擺動，本文提出的CLITSM控制方法改良了擺角響應(yīng)；在相圖7(a)中分析得到，在負(fù)載剛開始移動和結(jié)束移動的情況下，CLITSM控制方法有更大的加速度，能夠達(dá)到快速定位的要求，LSM，TSM有稍長的響應(yīng)時(shí)間，但運(yùn)動更為平穩(wěn)；在相圖7(b)中由于快速的位置響應(yīng)造成了大幅擺動，這也在圖6(b)有所體現(xiàn)。
表4 自適應(yīng)與滑?？刂破鲄?shù)
各滑?？刂品椒ǖ目偦Ｃ鎴D如圖8，能夠看出ITSM，CLITSM在1 s左右達(dá)到滑模狀態(tài)，相比其他滑模面趨近時(shí)間過長，但滑模面最接近于零點(diǎn)，因此系統(tǒng)狀態(tài)更穩(wěn)定。
圖8 各控制方法的總滑模面圖
為了檢驗(yàn)控制系統(tǒng)對干擾的魯棒性，本文采用高斯噪聲對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行干擾，為盡可能模擬橋吊系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行狀況，在1 s和6 s分別設(shè)置干擾信號如下：
(48)
(49)
仿真試驗(yàn)取噪聲信號幅值A(chǔ)1=2，A2=3參數(shù)ci1=1，ci2=6bi1=bi2=0.3，得到系統(tǒng)控制輸入和狀態(tài)響應(yīng)如圖6所示，滑模面函數(shù)如圖8所示。
從圖9仿真結(jié)果可以看出，基于CLITSM滑?？刂品椒▽ν饨绺蓴_和系統(tǒng)不確定性具有很強(qiáng)好的控制品質(zhì)，能夠快速消除外界干擾和系統(tǒng)不確定性的影響，受擾后能夠快速進(jìn)入滑模狀態(tài)，因此具有較強(qiáng)的魯棒性能。
圖9 干擾下系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)
7 結(jié)論
1) 提出了一種改性終端滑?？刂?，能夠大幅縮短系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到平衡點(diǎn)的收斂時(shí)間；
2) 針對工程中控制信號有限的現(xiàn)實(shí)狀況，采用自適應(yīng)動態(tài)誤差放大器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)輸入受限的要求；
3) 針對滑模控制的高頻抖振問題，采用非線性趨近律動態(tài)調(diào)節(jié)切換增益，大幅削弱了抖振幅度與幅值；
4) 系統(tǒng)魯棒性分析測試得到橋吊系統(tǒng)在快速消擺和準(zhǔn)確定位控制目的的同時(shí)，不論系統(tǒng)是否進(jìn)入滑模狀態(tài)，其對外界干擾都具有極強(qiáng)的抗擾性能。
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王 杰，強(qiáng)寶民，何禎鑫，杜文正
(火箭軍工程大學(xué) 導(dǎo)彈工程學(xué)院， 西安 710025)
橋吊作為一種常見的欠驅(qū)動設(shè)備，在工業(yè)生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。直觀地講，所謂欠驅(qū)動系統(tǒng)，是指系統(tǒng)的控制輸入變量個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)自由度的一類非線性系統(tǒng)，在生產(chǎn)實(shí)踐中很多設(shè)備都具有欠驅(qū)動的形式，由于去掉系統(tǒng)部分驅(qū)動器，增加了系統(tǒng)自由度，提高了系統(tǒng)靈活性，使得欠驅(qū)動系統(tǒng)在節(jié)約能源、降低價(jià)格、增強(qiáng)系統(tǒng)適應(yīng)性等方面都比全驅(qū)動系統(tǒng)優(yōu)越。在橋吊系統(tǒng)中，由于非直接控制的擺動自由度的存在，使得其動力學(xué)特性與耦合性相比全驅(qū)動系統(tǒng)更為復(fù)雜，給系統(tǒng)的穩(wěn)定控制帶來了難度。因此對欠驅(qū)動非線性橋吊系統(tǒng)的防擺研究，不論對于控制理論的完善，還是實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)都有極為重要的意義。
近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對橋吊系統(tǒng)的控制問題開展了很多研究工作，主要控制模式分為開環(huán)和閉環(huán)控制。具體而言，主要控制方法有輸入整形[1]、LQR[2]、PID[3]、部分反饋線性化[4]、最優(yōu)控制[5]、能量方法[6]、分級控制[7]以及智能控制[8]等等。這些控制方法在理想條件下均能夠取得很好的控制效果，但是在工業(yè)生產(chǎn)中，由于大量的外界擾動、參數(shù)攝動以及風(fēng)載荷、摩擦力的存在，采用傳統(tǒng)的控制方法無法保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及對干擾的魯棒性，滑?？刂齐`屬于變結(jié)構(gòu)控制(Variable Structure Control，VSC)，本質(zhì)上是一種特殊的非線性控制，其非線性表現(xiàn)在控制的高頻切換性(即抖振)。滑?？刂婆c其他控制方法最大的區(qū)別在于其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有時(shí)變的特點(diǎn)，處于動態(tài)過程的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，根據(jù)當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)(如誤差，誤差變化率等)有目的地進(jìn)行變化，迫使系統(tǒng)按照設(shè)計(jì)的“滑動模態(tài)”狀態(tài)軌跡運(yùn)動。由于滑動模態(tài)可以根據(jù)控制目的進(jìn)行設(shè)計(jì)且與對象參數(shù)以及外界擾動無關(guān)，使得滑模控制在系統(tǒng)穩(wěn)定性、對干擾的魯棒性、無需在線辨識以及快速動態(tài)響應(yīng)等方面有獨(dú)特的優(yōu)勢，廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)以及不確定系統(tǒng)的控制研究。在橋吊控制領(lǐng)域，相比傳統(tǒng)的控制方法，滑模變結(jié)構(gòu)控制能夠滿足橋吊系統(tǒng)準(zhǔn)確定位、快速消擺的控制要求，特別在有強(qiáng)干擾、強(qiáng)風(fēng)載存在的環(huán)境下，能夠保持良好的控制品質(zhì)。
與傳統(tǒng)線性滑模(Line Sliding Mode，LSM)不同，終端滑模(Terminal Sliding Mode，TSM)以其動態(tài)響應(yīng)快、有限時(shí)間收斂、穩(wěn)態(tài)跟蹤精度高等優(yōu)點(diǎn)，得到了科研人員的廣泛關(guān)注。終端滑模通過吸引子函數(shù)構(gòu)造非線性滑模面，能夠使得系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)，但在系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，狀態(tài)收斂速度會遠(yuǎn)低于線性滑模，為了解決這一問題，在文獻(xiàn)[9]中Keleher通過優(yōu)化吸引子函數(shù)提出了快速終端滑模(Fast Terminal Sliding Mode，F(xiàn)TSM)控制，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)快速、準(zhǔn)確收斂到平衡狀態(tài)。
在運(yùn)動控制領(lǐng)域，執(zhí)行器往往會發(fā)生飽和現(xiàn)象，如船舶的偏航擺舵系統(tǒng)，舵機(jī)的最大偏角限制等。這使得過大的控制律難以實(shí)現(xiàn)，該問題在某種程度上會影響系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性，甚至?xí)鹣到y(tǒng)失穩(wěn)。作者通過定義自適應(yīng)輔助分析系統(tǒng)，采用輸入飽和誤差動態(tài)放大的方法，實(shí)現(xiàn)了一種基于控制輸入抗飽和的滑模控制方法，解決了橋吊系統(tǒng)的控制受限問題。
基于以上分析，本文針對橋吊系統(tǒng)的控制受限問題，設(shè)計(jì)了一種控制受限改性終端滑?？刂?Control Limited Improved Terminal Sliding Mode，CLITSM)方法，其設(shè)計(jì)過程分為4個(gè)部分：1)通過綜合TSM與FTSM終端吸引子的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)了一種改性終端滑模控制，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)狀態(tài)較快速終端滑模有更快的收斂速度；2)針對執(zhí)行器的飽和現(xiàn)象，在系統(tǒng)輸入端添加穩(wěn)定的自適應(yīng)抗飽和補(bǔ)償器，實(shí)現(xiàn)了控制輸入限幅；3)采用分層滑?？刂疲謩e針對位移子系統(tǒng)和擺角子系統(tǒng)設(shè)計(jì)第一層改性終端滑模面，保證子系統(tǒng)有限時(shí)間收斂，之后線性組合為第二層滑模面。通過Lyapunov法分別求取等效控制量和切換控制量，并進(jìn)行穩(wěn)定性分析；4)在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了一種非線性趨近律，應(yīng)用于橋吊系統(tǒng)的防擺控制，大幅削弱了控制抖振問題。將本文的方法應(yīng)用于橋吊系統(tǒng)控制，仿真結(jié)果表明，橋吊系統(tǒng)能夠在輸入受限情況下實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)快速收斂，對外界干擾具有強(qiáng)魯棒性能。
1 問題描述
對于常見的二維定繩長橋吊系統(tǒng)，定義M，m分別為臺車和負(fù)載的質(zhì)量，l為吊繩長度，u(t)為控制輸入，x為臺車相對原點(diǎn)的位移，θ為負(fù)載相對鉛垂方向的偏角，fr為軌道摩擦力，采用歐拉-拉格朗日方法建模如下：
(1)
(2)
(3)
(4)
對于橋吊系統(tǒng)而言，控制器的控制目標(biāo)進(jìn)而可以明確為：
存在有限時(shí)間tr，使得任意t≥tr均滿足
(5)
2 改性終端滑模收斂性分析
采用分層滑模控制方法，將欠驅(qū)動橋吊系統(tǒng)分為兩個(gè)帶干擾二階非線性子系統(tǒng)A和B：
(6)
(7)
考慮LSM、TSM和FTSM的一階方程形式：
(8)
其中p 當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，(8)所示滑模面終端子函數(shù)為： (9) 由式(9)可見，終端滑模較線性滑模有更快的收斂速度，快速終端滑模控制方法在當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近平衡點(diǎn)時(shí)終端子函數(shù)主要由e決定，較終端滑模改善并提高了系統(tǒng)誤差接近零點(diǎn)時(shí)的收斂速度。通過優(yōu)化快速終端滑模終端子函數(shù)構(gòu)成，并提高橋吊兩子系統(tǒng)的耦合性，本文設(shè)計(jì)了一種新型改性終端滑?？刂?Improved Terminal Sliding Mode，ITSM)： (10) 其中γ,λ為正實(shí)數(shù)，τ>1。 利用文獻(xiàn)[11]引理，推導(dǎo)ITSM有限時(shí)間收斂性： 引理1：如果連續(xù)函數(shù)V是正定的且滿足如下條件： (11) 其中Δ為正系數(shù)，0<χ<1。則函數(shù)V能在任意給定t0到達(dá)原點(diǎn)，且收斂時(shí)間滿足： tR≤t0+V1-χ(t0)/Δ(1-χ) (12) 引理2：針對橋吊系統(tǒng)改性終端滑?？刂?，終端吸引子滿足： (13) 分層滑?？刂屏鞒毯唸D如圖1，通過事先設(shè)定控制目標(biāo)利用雙層滑模對位移、擺角子系統(tǒng)以及總滑模面進(jìn)行穩(wěn)定控制。 根據(jù)式(10)所示滑模面，利用等效控制求取等效控制量： (14) (15) 圖1 分層ITSM控制流程簡圖 為了保證包含兩個(gè)子系統(tǒng)的總系統(tǒng)穩(wěn)定，需要設(shè)計(jì)構(gòu)造第二層滑模面： S=α1s1+α2s2 (16) 其中α1,α2為嚴(yán)格正實(shí)數(shù)。為保證子系統(tǒng)能夠到達(dá)第一層滑模面，利用Lyapunov函數(shù)和準(zhǔn)滑動模態(tài)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)系統(tǒng)總輸入為： u=ueq1+ueq2+usw (17) 為了獲得整個(gè)系統(tǒng)的控制輸入量，需要確定切換控制部分。對基于分層滑?？刂品椒ǖ淖兘Y(jié)構(gòu)控制器而言，系統(tǒng)第二級滑動面的穩(wěn)定性保證了變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的整體穩(wěn)定性，因此切換控制量的選取應(yīng)使如下所示的滑模到達(dá)條件成立： (18) 采用等速趨近律求解滑?？刂破鞯那袚Q控制量: (19) 其中，κ為嚴(yán)格正實(shí)數(shù)，且κ=l+ψ，ψ>0。 由式(14)-式(19)可得改性終端滑?？刂破髑袚Q控制量： (20) 則采用等速趨近律的橋吊系統(tǒng)控制輸入為： u=ueq1+ueq2+usw= (21) 由式(20)所示，整個(gè)起重機(jī)系統(tǒng)的控制輸入量中含有符號函數(shù)這一不連續(xù)項(xiàng)，該不連續(xù)項(xiàng)的存在將導(dǎo)致變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)出現(xiàn)高頻抖振現(xiàn)象，且系統(tǒng)的抖振程度取決于系統(tǒng)參數(shù)的大小。為獲得較短的穩(wěn)定時(shí)間和魯棒性，需要選擇較大的控制器增益，這會導(dǎo)致系統(tǒng)的大幅高頻抖振，為解決系統(tǒng)抖振與控制效益的矛盾，本文在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上提出了式(22)所示非線性趨近律: (22) (23) 其中 (24) 假定被控對象為式(6)所示的子系統(tǒng)A，取最大輸入值umax，umax>0，Δu=u-υ，u=sat(υ)，則此時(shí)飽和控制輸入表示為： (25) 通過定義輔助分析系統(tǒng)，采用飽和誤差動態(tài)放大的方法，可實(shí)現(xiàn)一種基于控制輸入飽和的滑模控制，閉環(huán)系統(tǒng)示意圖如圖2。 圖2 控制受限閉環(huán)控制系統(tǒng)示意圖 通過設(shè)計(jì)穩(wěn)定的自適應(yīng)輔助系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)控制飽和的補(bǔ)償[12]： (26) 寫成矩陣形式： (27) 重新定義誤差函數(shù)： e1(t)=x1-x1d-ρ1 e3(t)=x3-x3d-ρ1 (28) 則有： (29) 將式(28)，式(29)代入改性終端滑?？刂剖?10)并求導(dǎo)得： (30) (31) (32) 采用(24)所示切換控制量，得到輸入受限改性終端滑?？刂坡桑?/p> (33) 穩(wěn)定性定理一:對于二維定繩長橋吊系統(tǒng)，若采用式(10)所示設(shè)計(jì)子系統(tǒng)滑模面，式(16)所示總滑模面，并采用式(33)所示總滑模控制量，則整個(gè)橋式起重機(jī)系統(tǒng)的滑模面S是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 證明：構(gòu)造Lyapunov能量函數(shù) (34) (35) κ<κ/Q(S)<κ/p (36) 由式(35)，式(36)可得 (37) 對式(37)進(jìn)行積分運(yùn)算，進(jìn)一步有 (38) 進(jìn)而 (39) (40) 穩(wěn)定性定理二:對于二維定繩長橋吊系統(tǒng)，若采用式(10)所示設(shè)計(jì)子系統(tǒng)滑模面，式(16)所示總滑模面，并采用式(33)所示總滑模控制量，則各子滑模面S也漸進(jìn)穩(wěn)定。 證明：由式(38)得到： (41) 即總滑模面為絕對可積，構(gòu)造兩個(gè)滑模面： (42) (43) 進(jìn)而有 (44) 由式(40)，式(43)可知 (45) 從而得出： (46) 有限時(shí)間收斂定理：對于表示二維定繩長橋吊系統(tǒng)模型的式(3)，若采用式(10)所示設(shè)計(jì)子系統(tǒng)滑模面，采用式(14)，式(15)所示等效控制量，則系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂到達(dá)滑模狀態(tài)。 證明：為了計(jì)算簡便，以下證明過程中趨近律均采用式(19)等速趨近律，對于式(22)非線性趨近律證明類似，此處不多贅述。 由式(37)得到式(3)描述的欠驅(qū)動橋吊系統(tǒng)滿足滑模到達(dá)條件，即滑模面S是漸進(jìn)穩(wěn)定的，因此式(3)滿足式(13)終端滑模子函數(shù)條件，即式(3)欠驅(qū)動系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為式(13)所示簡化系統(tǒng)處理。 根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)與分層滑?？刂魄娴年P(guān)系將收斂過程劃分為兩階段，即到達(dá)階段和滑動階段，根據(jù)引理2，計(jì)算總收斂時(shí)間為： (47) 為了進(jìn)一步分析本文提出控制方法的有效性與可行性，本文采用Matlab/Simulink進(jìn)行數(shù)值仿真試驗(yàn)驗(yàn)證。橋吊系統(tǒng)動力學(xué)模型基本參數(shù)值見表1，仿真實(shí)驗(yàn)分為3個(gè)部分。① 采用CLITSM控制方法進(jìn)行系統(tǒng)仿真分析，檢驗(yàn)控制效果；② 分別采用LSM、TSM、ITSM以及PID控制方法，對比驗(yàn)證本文提出的控制受限改性終端滑模控制方法的有效性、優(yōu)越性以及存在的問題；③ 在原有系統(tǒng)中加入不同形式的隨機(jī)干擾以模擬工業(yè)生產(chǎn)中可能會出現(xiàn)的風(fēng)阻和啃軌運(yùn)行阻力，檢驗(yàn)控制系統(tǒng)的魯棒性；④ 對LSM、TSM、ITSM和CLITSM滑模面進(jìn)行對比，檢驗(yàn)本文設(shè)計(jì)的控制受限改性終端滑模控制方法收斂速度的快速性。 表1 橋吊系統(tǒng)基本參數(shù)值 圖3 系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)曲線 圖4 分層滑模面曲線 從仿真結(jié)果看，橋吊系統(tǒng)在輸入受限的情況下能夠在2.1S完成負(fù)載轉(zhuǎn)運(yùn)，系統(tǒng)擺角在2.93S達(dá)到θ∈[-5°,5°]誤差允許范圍。對比相關(guān)文獻(xiàn)，本文所提出的輸入受限終端滑?？刂颇軌驖M足欠驅(qū)動橋吊系統(tǒng)精確定位、快速消擺的控制目標(biāo)。 橋吊控制系統(tǒng)在輸入不受限、受限并采用等速趨近律、以及受限并采用非線性趨近律3種情況的控制輸入，仿真結(jié)果如圖5所示。在沒有輸入受限的系統(tǒng)中，如圖5(a)，控制輸入處于[-10,50]區(qū)間，無法滿足工程中控制信號幅值有限的現(xiàn)實(shí)狀況；采用等速趨近律的輸入受限控制器能夠降低對控制信號強(qiáng)度的要求，但系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面兩側(cè)高頻切換會產(chǎn)生抖振如圖5(b)所示；為此在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上，改進(jìn)得到了非線性趨近律，能夠有效降低抖振現(xiàn)象，此時(shí)系統(tǒng)的控制輸入仿真結(jié)果如圖5(c)所示。 為了進(jìn)一步驗(yàn)證提出的控制方法的有效性，本文采用PID，線性滑模(LSM)，終端滑模(TSM)，改性終端滑模(ITSM)作為對比控制方法，采用表2，表4控制器參數(shù)，表3趨近律。 仿真得到系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)圖如圖6，狀態(tài)相圖如圖7。 圖5 系統(tǒng)控制量圖 表2 PID控制器參數(shù) 表3 等速趨近律與非線性趨近律參數(shù) 圖6 系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)圖 圖7 系統(tǒng)狀態(tài)相圖 通過圖6(a)看出本文提出的改性終端滑?？刂?ITSM)，有最短的位置響應(yīng)時(shí)間，在輸入受限情況下，系統(tǒng)位置響應(yīng)時(shí)間有所延長，但遠(yuǎn)小于終端滑?？刂?TSM)的響應(yīng)時(shí)間；系統(tǒng)擺角控制如圖6(b)所示，ITSM由于位置響應(yīng)快，造成了大幅度負(fù)載擺動，本文提出的CLITSM控制方法改良了擺角響應(yīng)；在相圖7(a)中分析得到，在負(fù)載剛開始移動和結(jié)束移動的情況下，CLITSM控制方法有更大的加速度，能夠達(dá)到快速定位的要求，LSM，TSM有稍長的響應(yīng)時(shí)間，但運(yùn)動更為平穩(wěn)；在相圖7(b)中由于快速的位置響應(yīng)造成了大幅擺動，這也在圖6(b)有所體現(xiàn)。 表4 自適應(yīng)與滑?？刂破鲄?shù) 各滑?？刂品椒ǖ目偦Ｃ鎴D如圖8，能夠看出ITSM，CLITSM在1 s左右達(dá)到滑模狀態(tài)，相比其他滑模面趨近時(shí)間過長，但滑模面最接近于零點(diǎn)，因此系統(tǒng)狀態(tài)更穩(wěn)定。 圖8 各控制方法的總滑模面圖 為了檢驗(yàn)控制系統(tǒng)對干擾的魯棒性，本文采用高斯噪聲對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行干擾，為盡可能模擬橋吊系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)行狀況，在1 s和6 s分別設(shè)置干擾信號如下： (48) (49) 仿真試驗(yàn)取噪聲信號幅值A(chǔ)1=2，A2=3參數(shù)ci1=1，ci2=6bi1=bi2=0.3，得到系統(tǒng)控制輸入和狀態(tài)響應(yīng)如圖6所示，滑模面函數(shù)如圖8所示。 從圖9仿真結(jié)果可以看出，基于CLITSM滑?？刂品椒▽ν饨绺蓴_和系統(tǒng)不確定性具有很強(qiáng)好的控制品質(zhì)，能夠快速消除外界干擾和系統(tǒng)不確定性的影響，受擾后能夠快速進(jìn)入滑模狀態(tài)，因此具有較強(qiáng)的魯棒性能。 圖9 干擾下系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng) 1) 提出了一種改性終端滑?？刂?，能夠大幅縮短系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到平衡點(diǎn)的收斂時(shí)間； 2) 針對工程中控制信號有限的現(xiàn)實(shí)狀況，采用自適應(yīng)動態(tài)誤差放大器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)輸入受限的要求； 3) 針對滑模控制的高頻抖振問題，采用非線性趨近律動態(tài)調(diào)節(jié)切換增益，大幅削弱了抖振幅度與幅值； 4) 系統(tǒng)魯棒性分析測試得到橋吊系統(tǒng)在快速消擺和準(zhǔn)確定位控制目的的同時(shí)，不論系統(tǒng)是否進(jìn)入滑模狀態(tài)，其對外界干擾都具有極強(qiáng)的抗擾性能。3 改性終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
4 輸入受限改性終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
5 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析
6 仿真分析
7 結(jié)論
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