一題多變 突破遺傳學計算難題

安徽 陳永輝

關于遺傳學概率計算很多同學在學習過程中感覺困難，其主要原因是分不清各種交配方式的計算方法、看不出不同問題的異同、理解不了致死和不育的區別。針對這些問題，筆者在教學中通過一道簡單的遺傳試題及其多個變式的講解，幫助學生解決上述難點。

【例1】小麥的抗銹對感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續自交，F5播種后長出的植株中抗銹病純合體占（ ）

A.31/33 B.31/32 C.31/64 D.31/66

【參考答案】C

【類推法】

親本雜合子Aa 自交，學生根據分離定律能直接得出F1中AA、Aa、aa 的概率分別為1/4、1/2、1/4。那么F1個體自交，F2中AA、Aa、aa 的概率怎樣計算呢?

F1中AA 自交、Aa 自交產生的F2中會出現AA，其概率是AA=1/4×1×1+1/2×1×1/4=3/8。

同理，可以計算出F2中Aa、aa 的概率是Aa=1/2×1×1/2=1/4，aa=1/4×1×1+1/2×1×1/4=3/8，根據題意“長出的植株中抗銹病純合體占”的比例可得出數學表達式：A A=，結合前面的計算方法可以算出F5：AA==31/64，Aa=1/32，故選C。

用類推法解決這類題目可訓練學生對自交計算的掌握程度，同時筆者要求學生在審題時看清問題的數學含義，然后進行計算，這樣解題思路清晰、方法得當。

【公式法】

此題還可以用公式法計算。

根據已知公式Aa=（1/2）n，AA=aa=；可以計算出F5中AA==31/64，得出結果。

此方法要求學生熟練記憶關于雜合子連續自交的公式，并能準確地加以應用，同時知道所求數據代表的數學含義。

1.自交的計算

【變式1】小麥的抗銹對感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續自交，F5播種后淘汰感銹病類型的小麥，則長出的抗銹病植株中純合體占 （ ）

A.31/33 B.31/32 C.31/64 D.31/66

【參考答案】A

根據題意可知，aa（感銹病類型）被淘汰，所以“抗銹病植株中純合體占”的比例用數學表達式表示為AA=，根據前面例1 中計算結果可得AA==31/33，故選A。

同理，筆者要求學生先根據問題構建合適的數學表達式，利用例1 中的公式計算出結果，然后根據數學表達式帶入數據，得出正確結果。

在變式1 中這兩種解法的主要目的是為了通過與例1 中問題的比較，幫助學生在審題時看清問題，學會運用數學表達式來準確表示問題，將問題數學化。

2.自由交配的計算

【變式2】小麥的抗銹對感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續自由交配，F5播種后淘汰感銹病類型的小麥，則長出的抗銹病植株中純合體占 （ ）

A.1/3 B.1/4 C.31/33 D.31/64

【參考答案】A

2.1 類推法

以F2中AA 的計算為例，雌雄個體中AA、Aa、aa 的概率分別為1/4、1/2、1/4；由于是自由交配，所以可以用棋盤法進行計算分析，F1中AA、Aa 與aa 相互交配得到的F2中AA 的計算如下：

F2中：AA=1/4×1/4×1+1/4×1/2×1/2+1/4×1/2×1/2+1/2×1/2×1/4=1/4，Aa=1/4×1/2×1/2+1/4×1/4×1+1/4×1/2×1/2+1/2×1/2×1/2+1/4×1/2×1/2+1/4×1/4×1+1/4×1/2×1/2=1/2，aa=1/2×1/2×1/4+1/2×1/4×1/2+1/4×1/2×1/2+1/4×1/4×1=1/4。同理，可以計算出自由交配情況下F5中AA=1/4，Aa=1/2，aa=1/4。由于淘汰了感銹病類型，即aa，所以“抗銹病植株中純合體”的數學表達式為=1/3，故選A。

在變式2 中的類推法主要是訓練學生關于自由交配的計算，并通過與例1 的對比體會自交和自由交配在計算方法上的區別，同時進一步培養學生看清問題，并形成將問題數學化的意識。

2.2 理想種群法

由于個體間是自由交配且沒有致死現象，所以可按照理想種群用遺傳平衡規律進行分析計算。過程如下：由于是理想種群，每一代基因頻率不變，基因型頻率從F2開始保持不變，所以只要計算出F2的基因型頻率就可以了。

根據題意可以求出A、a 的基因頻率都是1/2，F2中AA=aa=p2（或q2）=（1/2）2=1/4，Aa=2pq=2×1/2×1/2=1/2，即F5中AA=aa=1/4，Aa=1/2。根據題意，結合“抗銹病植株中純合體占”的比例的數學表達式可求出結果。

理想種群法主要是幫助學生掌握遺傳平衡規律在自由交配題目計算中的應用。

3.aa 致死或淘汰情況下的計算

【變式3】小麥的抗銹對感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續自交，且基因型為aa 的小麥致死，則F5長出的抗銹病植株中純合體占 （ ）

A.31/33 B.31/32 C.31/64 D.31/66

【參考答案】A

3.1 類推法

雜合子連續自交但aa 致死或逐代淘汰的情況下，親本自交得到F1時，F1中AA、Aa 的概率學生根據經驗可以直接得出AA=1/3，Aa=2/3。那么F1自交得到F2中AA、Aa 的概率又怎樣計算呢？

在計算時有兩種方法。第一種方法：因為aa 致死導致AA 占1/3，Aa 占2/3，所以得出Aa=2/3×1×2/3=4/9，AA 的計算同理。第二種方法：先按照aa 正常生長計算出AA、Aa、aa 的概率，然后重組比值，計算出aa 死亡的情況下AA=3/5、Aa=2/5。

經比較可知第一種方法錯誤，因為aa 死亡，導致AA 自交產生后代的數量與Aa 自交產生后代的數量不同，而在概率計算中要求所有個體的繁殖能力相同。所以要按照第二種方法先計算出AA、Aa、aa 的比例，然后構建數學表達式AA=，重組比值，計算出aa 死亡的情況下AA、Aa 的概率。以此類推，計算出F5中AA==31/33，故選A。

在變式3 中通過類推法對兩種計算方法進行比較，幫助學生理解aa 致死情況下的計算方法。讓學生知道一定要先計算出aa 正常情況下的數據，然后結合問題建構數學表達式重組比值，得出結果。

3.2 公式法

學生可以根據已知公式Aa=2/（2n+1），在aa 致死或逐代淘汰的情況下進行計算Aa=2/（2n+1）=2/33，因此AA=31/33。

在變式3 中公式法與例1 中公式法的作用相同，主要是幫助學生熟練記憶關于aa 致死情況下雜合子連續自交的公式，并能準確地加以應用，同時知道所求數據代表的數學含義。

3.3 規律法

圖1

圖2

表1

通過圖1 和圖2 比較可以得出表1 所示結果，即在aa 致死與aa 正常情況下，AA/Aa 的比值不變。原因是aa 自交既不能產生AA 也不能產生Aa，所以aa 是否致死不會影響AA/Aa 的比值。結合這一規律，就可以利用前面aa 正常情況下得出的公式進行aa 致死情況下的計算。以計算aa 致死情況下F5的AA、Aa 的概率為例：先利用公式計算出aa 正常情況下AA、Aa 的概率AA==31/ 64，Aa=（1/ 2）n=1/32，然后得出AA/Aa=31/2，結合前面得出的規律可知，aa 致死情況下AA/Aa 也等于31/2，再結合數學表達式AA=，重組比值可得出aa 致死情況下AA=31/33，Aa=2/33。

在變式3 中，筆者通過規律法比較aa 正常情況下和aa 致死情況下的數據，總結出規律，并能解釋原因。再根據發現的規律進行計算，得出結果。該方法的優點主要是不需要學生記憶太多的公式，學生只要記住aa 正常情況下雜合子連續自交的公式，計算出數據，再根據規律就可解答這類問題了。

4.aa 不育情況下的計算

【變式4】小麥的抗銹對感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續自交，但感銹病類型的小麥不育，則F5長出的植株中抗銹病純合體占 （ ）

A.31/33 B.31/34 C.31/64 D.31/66

【參考答案】B

4.1 類推法

在aa 不育的情況下雜合子連續自交時，親本自交得到F1時，F1中AA、Aa 的概率根據經驗可以直接得出AA=1/4，Aa=1/2，aa=1/4，F1自交得到F2時學生的計算會出現兩種情況。第一種計算方法：F1自交產生AA 時，因為AA 占1/4，Aa 占1/2，所 以AA=1/4×1×1+1/2×1×1/4=3/8；Aa、aa 的計算同理。第二種方法：F1中aa 不育，所以F1具有繁殖能力的個體中AA 占1/3，Aa 占2/3，而F2是由具有繁殖能力的AA、Aa 繁殖的，所以在計算F2時AA 用1/3，Aa 用2/3。

經分析可知第一種方法是錯誤的，當aa 不育時，要先重新計算出親代中AA、Aa 的概率，然后根據新概率再分別計算出aa 不育情況下子代AA、Aa、aa 的概率。按照正確方法可以計算出F5中AA=31/34，Aa=1/17，aa=1/34。根據題意“長出的植株中抗銹病純合體占”的比例的數學表達式為AA=，所以AA的概率為31/34，故選B。

在變式4 中通過類推法對兩種計算方法進行比較，可幫助學生正確理解aa不育情況下的計算方法。由于aa不育，每一代個體在作為親本計算下一代時，都要將aa 排除出去，重組比值，利用重組后的數值再進行計算。

4.2 規律法

圖3

圖4

表2

通過對圖3 和圖4 比較可以得出如表2 所示結果，即aa 不育與aa 正常情況下，AA/Aa 的比值相同。原因是aa 自交既不能產生AA 也不能產生Aa，所以AA/Aa 的比值不變。同時在aa 不育的情況下每一代aa 的概率始終占一份，即每一代AA∶Aa∶aa 都是M∶N∶1。結合以上規律，就可以利用aa 正常情況下得出的公式進行aa 不育情況下的計算。以計算F5中aa 不育情況下AA、Aa 的概率為例：首先利用公式計算出aa 正常情 況 下AA==31/64，Aa=（1/ 2）n=1/32，然后得出aa 正常情況下AA/Aa=31/2，結合上面得出的規律可知，aa 不育情況下AA/Aa 也等于31/2，且每一代aa 始終占一份。所以進一步可以得出AA∶Aa∶aa=31∶2∶1，根據數學表達式重組比值可得出在aa 不育的情況下AA=31/34，Aa=2/34=1/17，aa=1/34，結合題意“長出的植株中抗銹病純合體占”的比例構建數學表達式AA=，可得結果。

在變式4 中，通過規律法比較aa 正常和aa 不育情況下的數據，總結出規律，并解釋原因。再根據發現的規律進行計算，得出結果。該方法的優點同樣是不需要學生記憶太多的公式。

5.應用

【例2】小麥的抗銹對感銹為顯性。讓雜合抗銹病小麥連續自交并逐代淘汰感銹病類型的小麥，F5播種后長出的抗銹病植株中純合植株所占比例為 （ ）

A.31/33 B.31/34

C.31/64 D.31/66

【參考答案】A

【解析】題目中“逐代淘汰感銹病類型aa”，實際上相當于aa 致死，并且問題是F5“抗銹病植株中純合植株所占比例”，也沒有包括aa，所以本題可以按照aa 致死的情況計算。結合前面給出的規律可以先計算出Aa 正常情況下F5中AA==31/64，Aa=（1/2）n=1/32，從而得出AA/Aa=31/2，根據前面的規律可以直接得出：在逐代淘汰感誘病（aa 致死）情況下，AA∶Aa=31∶2，重組比值可知AA=31/33，故選A。

經過對一道簡單的遺傳學計算題及其多個變式的對比、計算，幫助學生理解和掌握自交和自由交配計算的差別及其不同的解題方法。使學生同時理解和掌握aa 致死和aa 不育的計算方法及出錯原因，提醒學生在審題時找準關鍵、看清問題、學會利用數學表達式理解和分析題目，突破遺傳學計算難題。