基于仿真及物理模型試驗構建圓形斷面管道非滿流流速函數

丁法龍，茅澤育，韓 凱

·農業水土工程·

基于仿真及物理模型試驗構建圓形斷面管道非滿流流速函數

丁法龍，茅澤育，韓 凱

（清華大學水利水電工程系，北京 100084）

明渠斷面流速分布是精確測量明渠斷面流量的基礎，也是明渠水流運動規律研究的基本問題。為探究圓形斷面管道非滿流的斷面流速分布特性，采用經實測資料驗證的三維紊流數學模型及數值求解方法，對不同底坡和充滿度組合情況下的圓管非滿流進行了數值模擬。結果表明：圓管非滿流的斷面流速分布對充滿度非常敏感，充滿度越大，垂線流速的非單調性越明顯，當充滿度低于0.5時，未出現最大流速點下潛（dip）現象；當充滿度超過0.5時，dip現象越發明顯，這是因為當充滿度超過0.5后，內凹型側壁對水面的約束作用增強，斷面二次流更加明顯。圓管非滿流斷面上各垂線的流速分布曲線具有很好的相似性，均接近于拋物線曲線特征，二次函數中的待定系數主要受垂線橫向位置和充滿度的影響。通過回歸分析建立了圓管無壓均勻流中沿垂線流速的拋物線分布公式，同時給出了各系數的確定方法，按上述流速分布律計算的流速值與實測值吻合良好，曲線擬合的決定系數均在0.92以上，表明給出的拋物型垂線流速分布規律是合理可靠的。

流量；流速；管道；圓形；非滿流

0 引 言

圓形斷面管道因具有較好的受力性能及便于預制和運輸等優點，被廣泛應用于人工管渠、輸水涵洞、城市雨洪管道等灌溉和給排水工程中，出于對通風、防爆、排除有害氣體以及適應水量變化等問題的考慮，在設計時通常將圓管內水流設計為非滿流[1]，水體的上部邊界與大氣直接接觸，管道非滿流由重力主導，本質上屬于明渠流動。

明渠斷面流量的精確測量是引、排水工程中必須要解決的技術問題，也是進行水資源優化配置的基礎。工程實際中，明渠均勻流流量計算常采用曼寧公式，它對于常規的折線形斷面明渠具有一定的精確度，但卻明顯不適用于圓管非滿流水力計算。根據圓形斷面的幾何關系，結合曼寧公式，可得過水流量關于糙率、充滿角、圓管直徑、底坡的表達式[1]。分析該式的函數極值，可知圓管非滿流的流量隨充滿度（或充滿角）的增加呈先增加后減小的非單一性變化，即流量最大值出現在充滿度為0.94時的非滿流狀態，而不是恰為滿管流時，這與實際情況相悖，因為實際使用的圓形斷面管道，當底坡、糙率、管徑一定時，過水斷面流量隨水深的增加單調遞增[2]。

從曼寧公式本身角度進行分析，該雙值性現象可解釋為：曼寧公式以水力半徑作為衡量斷面過流能力的幾何指標，但由于圓形斷面形狀的特殊性，超過一半水深后壁面逐漸內凹，則當充滿度達到某一值后，斷面濕周的增速要大于過流斷面積的增速，二者的比值即水力半徑逐漸減小，隨充滿度（即水深與管徑的比值）的雙值性變化導致了流量隨亦呈現雙值性變化，故對于圓形斷面管道非滿流，曼寧公式無法體現其真實流動特性。

明渠斷面流速分布長期以來是工程水力學研究的熱點問題，在曼寧公式等流量估算公式不適用的情況下，要精確測量明渠斷面流量，無論是采用流速-面積法，還是采用流速-水位法，均需準確掌握明渠斷面的流速分布。圓管明渠水流的自由水面不受固壁約束，流態容易受到管道斷面幾何特征、管道壁面粗糙程度及管道底坡等相關因素的影響，因此比圓管有壓流復雜很多[2]；另外，相較于矩形、梯形、三角形等折線形斷面明渠及拋物形的天然河道，由于受橫向內凹型曲率壁面的影響，圓管非滿流斷面流速分布呈現更為顯著的三維性，典型表現為垂線最大縱向流速點出現在水面以下的dip現象。

對于圓形斷面明渠流速分布的研究，國內鮮見報道，國外研究則主要以魚道和涵管為研究對象，以寬淺明渠中的垂向流速對數律為基本分布模型，并針對外區流速值偏離對數曲線的現象，采用尾流函數加以修正，修正后的對數-尾流律成為接受度最高的垂線流速分布形式[3-6]。但這種垂線流速分布形式在應用時存在明顯的局限性，如公式中涉及的積分常數取值存在異議[7-8]；尾流強度系數的影響因素眾多，具體取值不易確定[9]，且對數函數在應用中也存在不便，遇到積分時，往往因原函數無法確定，使得其應用范圍受限，渠底流速和流速梯度為無窮大，不能反映側壁處的流速分布[10]。除公式形式自身的缺陷外，垂線流速分布的對數-尾流律未考慮邊壁的影響，分析水槽試驗和數值計算結果，實際的垂向流速分布與對數-尾流曲線相比較，靠近中心區域的相關系數較高，但邊壁區域的相關系數較小。

綜上，曼寧-謝才公式未考慮圓形斷面獨特的邊壁幾何形態，不能很好地闡述流量隨水深呈非單一性的變化；用于描述垂線流速分布的對數律及其衍生形式在應用時又產生諸多局限性。因此，研究圓管無壓流動斷面流速分布特性，對于豐富明渠水動力學理論，指導相關工程設計具有重要意義。通過試驗確定明渠尤其是閉合斷面明渠的流速分布，需要耗費大量時間且數據量有限，數值模擬是種便捷的替代方式。針對圓形斷面管道無壓均勻流進行了數值模擬，將數模結果與物理模型試驗結果進行比較，驗證數模及計算參數的合理性，并利用驗證后的模型開展系列數值試驗，研究了圓管無壓均勻流的時均縱向流速的斷面分布特性。

1 數學模型介紹

1.1 控制方程及紊流模型

圓形斷面管道內的非滿水流，可簡化為圖1所示的流動，該流動屬于三維不可壓縮流動，可由以下連續方程和動量方程（Navier-Stokes方程）來描述

式中為流體密度，kg/m3；u、u為流速分量（m/s），=1,2,3、=1,2,3；x、x為坐標分量；為壓強，Pa；f為質量力，N/kg；為運動黏性系數，m2/s。

工程實際中的明渠水流絕大多數為紊流，本研究采用雷諾時均（Reynolds averaged N-S）的數值模擬方法對時均N-S方程組進行求解，需選取合適的紊流模型封閉方程組。國內外研究表明，在窄深式斷面明渠中，側壁和水面的影響使水流結構呈現三維性[11-15]，同寬淺明渠相比，最為直觀的區別就是，受第2類二次流的影響，過流斷面上垂線最大流速點出現在水面以下，即最大流速下潛（dip）現象[16-19]。同一般的窄深式明渠水流類似，圓形斷面明渠中也有該現象發生，但受內凹形側壁形態的影響，圓形明渠中二次流形態有其獨特性，有研究[20-21]表明，與折線形斷面明渠相比，圓形斷面明渠的二次流不存在底渦，僅由1對主渦組成，主渦的位置、大小和強度與渠道充滿度有關，該主渦在水面附近將側壁處低流速水體輸運至中部，將表層高流速水體輸運至水面以下，使最大流速下潛，由于沒有底渦的存在，圓形明渠中出現最大流速下潛（dip）現象時，最大流速位置更低。

第2類二次流是由于雷諾應力的各向異性產生的，因此，為了準確模擬第2類二次流對斷面流速分布的影響，應采用各向異性的紊流模型。RNG-模型是根據張量不黏性理論提出的非線性-紊流模型，與線性的標準-模型相比，RNG-模型能夠準確地預測各向異性紊流[22-23]。因此，本研究采用RNG-模型封閉雷諾方程組，對圓形斷面管道非滿流特性進行數值模擬研究，湍動能輸運方程和湍動耗散率輸運方程如下[23]：

式中eff=+，為流體動力黏性系數，N·s/m2；為流體渦黏度，N·s/m2；G為由于平均速度梯度引起的湍動能產生項，m2/s2；一般4個經驗常數的取值==1.39，1=1.42，2=1.68[16]。

注：B為水面寬度，m；h為水深，m；D為管道直徑，m；q為充滿角；i為底坡；pw為邊壁某點距離管道底部中點的濕周距離，m；x、y、z分別為展向、垂向和縱向坐標；A為邊壁上某一點。

1.2 邊界條件及數值方法

數值計算的邊界條件及解算方法為：圓形斷面管道上游進水邊界條件設置為流量入口，給定相應的入口流量值；下游出水邊界條件為自由出流（outflow），下游空氣出口邊界條件為給定大氣壓力值105Pa；為了考慮空氣對水流流速的影響，自由水面的處理摒棄了明渠均勻流模擬常用的“剛蓋”假定方法，采用Tru-VOF方法計算自由界面的水體體積率函數方程，該方法相較于傳統的VOF方法很大程度上減少了模型收斂所需時間，可以準確地追蹤水流自由表面變化的情況[24]；壁面邊界條件為無滑移固壁條件，通過設置壁面顆粒的平均凸起高度k來量化管壁粗糙程度，并由標準壁面函數來確定壁面附近流速分布。

網格劃分采用FAVOR（fractional area/volume obstacle representation）技術，這種方法對于復雜邊界的流動區域，可以用平滑變化的六面體結構化網格進行離散，可高效解決網格模型失真問題[25]。計算域過流斷面的網格尺寸設為0.01 m，橫向垂向基本相同；沿流動方向網格尺寸為0.05 m。FAVOR技術采用有限差分法離散控制方程為代數方程組并進行數值求解，動量方程中對流項的離散格式采用二階迎風格式，擴散項采用二階中心差分格式，湍動能和湍動能耗散率的離散格式均采用二階迎風格式；計算殘差值設為10-6，時間步長在計算過程可自動調節，并限定最小時間步長為10-6s以保證數值穩定性；坡度對水流的影響通過將重力分解為縱向和垂向分量來體現。

建立管徑0.4 m、管長50 m的圓管無壓流動幾何模型，針對3種不同底坡與12種不同充滿度（即水深與管徑的比值），共計36種工況條件的圓管無壓均勻流進行數值計算，具體工況參數及網格劃分情況見表1。

表1 數值計算的工況參數

2 物理模型試驗介紹

為驗證上述數學模型及其計算參數的可靠性，針對圓管明流的斷面流速分布進行了室內測量試驗。測流試驗在長20 m、直徑0.4 m且頂部開敞（距頂部4 cm以上部分被切割掉）的圓形斷面有機玻璃質水槽中進行，水槽底坡=0.004，試驗系統布置如圖2所示。

圖2 試驗布置圖

通過流量控制閥給定不同的首部流量，為保證邊界層充分發展并盡快形成均勻流條件，在水槽進口和出口分別布置隔離板以減小水面波動，選取距離水槽首部15 m處為量測斷面，根據流速分布的對稱性，自中垂線向右等距平移2 cm設置測速垂線，每條垂線上自水面向下等距降低2 cm布置測點，試驗水溫在16 ℃左右。采用Nortek AS公司生產的Vetrino小威龍三維點式多普勒聲波流速儀測量斷面流速，測流用的探頭類型為側視（平視）探頭，流速采樣頻率為25 Hz，每個測點收集100個數據，以其算術平均值作為該點的時均流速值；斷面水深使用SCM60型水位測針測量，精度為0.1 mm；流量采用HFT多普勒流量計測量，測量精度為±0.5%。

3 結果與分析

3.1 數學模型驗證

流速是分析水流運動規律的最基本要素，紊流的內部結構、能量傳遞過程及阻力特性等各種動力要素均與流速分布相關或以流速分布體現[26-29]，對比時均縱向流速的計算值與實測值，可以驗證數學模型及相關參數的可靠性。物理試驗結果及數值模擬結果的對比，前提是保證2種流動過程的邊界層充分發展且已形成均勻流，因此，按照以下方式分別確定物理試驗和數值模擬中的均勻流斷面，進行運動要素的對比：1）物理試驗中，分別選取距離首部13、14、15、16、17 m的5個過流斷面，每個斷面上按照上文所述布置測點，通過對比5個不同斷面上相同對應位置的測點的平均流速值發現，在各個充滿度條件下，5個斷面上各對應點的最大相對差值均在1.26%以內，可認為5個不同的斷面上具有相同的斷面流速分布廓線，即此時已經形成均勻流。2）數值模擬中，分別在后處理中截取距離首部28、29、30、31、32 m的5個過流斷面，每個斷面上按照上文所述布置測點，通過對比5個不同斷面上相同對應位置的測點的平均流速值發現，在各個充滿度條件下，5個斷面上各對應點的最大相對差值均在0.73%以內，可認為5個不同的斷面上具有相同的斷面流速分布廓線，即此時已經形成均勻流。由上述可知，物理試驗中距首部15 m處的過流斷面前后和數值模擬中距首部30 m處的過流斷面前后均已形成均勻流，可以就該2個斷面進行物理試驗和數值模擬的結果比對。表2為底坡0.004、管徑0.4 m、流量=0.246 m3/s（對應充滿度=0.47）時，過流斷面不同垂線上的時均縱向流速計算值與實測值對比。由表可見，縱向時均流速計算值與實測值的相對誤差均在±4.2%以內，表明上述數學模型及其參數對于模擬過流斷面的時均縱向流速分布具有較高的計算精度。

紊動能是表征紊流紊動特性的重要參數，運用Vectrino（小威龍）聲學多普勒流速儀可以測量了各個流速測點的脈動流速，從而得到實際的紊動能大小；在RNG-兩方程模型中，紊動能是基本未知量，可以直接求解得到。底坡0.004、管徑0.4 m、流量=0.246 m3/s（對應充滿度=0.47）時，過流斷面不同測點的對比，見表2，紊動能計算值與實測值之間的相對誤差均在±4.85%以內，表明該數學模型及參數選取對于模擬圓管明流的紊動特性亦有較高的精度。

3.2 圓管無壓流動模擬結果

3.2.1 斷面流速分布

圓管明渠水流流態受側壁影響較大，斷面流速分布呈現明顯的三維性，圖3所示為底坡=0.001 5、=0.75條件下，距管首30 m處過流斷面的流速等值線圖，由圖可見，最大流速點出現在半水深以下，dip現象顯著，對比所有工況的斷面流速分布等值線圖發現，當充滿度低于0.5時，基本沒有出現dip現象；當充滿度超過0.5時，dip現象越發明顯，這是因為當充滿度超過0.5后，內凹型側壁對水面的約束作用增強，斷面二次流更加明顯。圖3中斷面流速沿中垂線對稱分布，近壁區的流速等值線基本平行于邊壁，其他各工況亦有類似規律，與充滿度大小無關。

表2 不同垂線位置及相對水深條件下均縱向流速和紊動能計算與實測值及相對誤差

注：管徑0.4 m、底坡0.004、充滿度0.47、流量為0.246 m3·s-1。

Note: Pipe diameter 0.4 m, slope 0.004, filling ratio 0.47 and flow rate 0.246 m3·s-1.

3.2.2 垂線流速分布

為便于工程計算應用，通常把明渠斷面流速分布的分析歸結為垂線流速分布分析（如對數律、對數-尾流律亦是描述垂線流速分布），將垂線流速分布沿橫向進行面積積分即可得到明渠斷面流量。圖4為=0.004，不同充滿度時的斷面中垂線流速分布，可見圓管非滿流的垂線流速分布曲線對過流斷面形式非常敏感，充滿度越大時，垂線上的流速沿水深越呈非單調變化趨勢，即最大流速點的dip現象越明顯，這與斷面流速等值線圖的分析結果一致。

注：以過流斷面中垂線最低端為原點，沿水流展向向右為x軸，沿水深方向向上為y軸。

注：D為管道直徑，m；y為垂向坐標，m；V為斷面平均流速，m·s-1；a為充滿度，下同。

圖5為=0.004、=0.7條件下，不同橫向位置處垂線上的流速分布，由圖可見，不同橫向位置處的垂線流速分布形式存在差異，尤其是靠近邊壁區域的垂線，這是由內凹型側壁對紊動水體的約束作用增強所致。

注：h為水深，m；u為點的時均流速，m·s-1。

3.2.3 垂線流速分布擬合分析

式中為過流斷面平均流速，m/s；，，為待定系數。

由于時均縱向流速以中垂線為軸呈對稱分布，現只分析中垂線右側即>0的情形。根據系數、、在不同的流動區域受和的影響程度不同，將過流斷面沿橫向劃分為中心區和邊壁區，其中：1）當<0.5時，≤2/5為中心區，>2/5為邊壁區；2）當≥0.5時，≤/3為中心區，>/3為邊壁區。方差分析結果表明，中心區的系數、、與橫向位置和充滿度均呈線性相關關系，而邊壁區的系數、、則主要受垂線橫向位置的影響，而與充滿度基本無關。通過回歸分析，得到不同流動區域中待定系數、、與充滿度和垂線所在的橫向位置之間的函數關系，如表3所示，其適用條件為0.10≤≤0.95，0.001 2 m3/s≤≤0.527 m3/s。

表3 待定系數a，b，c的擬合函數關系式

拋物型流速垂向分布律可以較為準確地反映圓管無壓均勻流中的流速分布，且拋物線函數形式簡單，便于工程實際應用，在準確掌握了圓管非滿流流速分布規律后，就可以通過量測過流斷面上特征點流速來確定垂線平均流速和斷面平均流速，從而比較精確地計算圓管非滿流的過水流量。

4 結 論

采用經實測資料驗證的三維紊流數學模型及數值求解方法，對不同底坡和充滿度組合情況的圓形斷面管道無壓流動進行了數值模擬，主要結果及結論如下：

1）在玻璃材質管徑為0.4 m、底坡為0.004、流量為0.246 m3/s（對應充滿度為0.47）條件時，過流斷面不同垂線上的時均縱向流速計算值與實測值的相對誤差均在±4.2%以內，表明數學模型及其參數對于模擬過流斷面的時均縱向流速分布具有較高的計算精度。

2）圓管非滿流的斷面流速分布對充滿度非常敏感，充滿度越大，垂線流速的非單調性越明顯。當充滿度低于0.5時，基本沒有出現dip現象；當充滿度超過0.5時，dip現象越發明顯，這是因為當充滿度超過0.5后，內凹型側壁對水面的約束作用增強，斷面二次流更加明顯。

3）圓管非滿流斷面上各垂線的流速分布曲線具有很好的相似性，均接近于拋物線曲線特征，二次函數中的待定系數主要受垂線橫向位置和充滿度的影響。

4）通過回歸分析建立了充滿度0.10≤≤0.95條件下圓管無壓均勻流中沿垂線流速的拋物線分布公式，同時給出了各系數的確定方法，按上述流速分布律計算的流速值與實測值吻合良好，曲線擬合的決定系數均在0.92以上，表明給出的拋物型垂線流速分布律是合理的。拋物型分布律能較好地體現圓管非滿流的垂線流速分布規律，采用垂線流速的拋物型分布律計算斷面流量，既克服了采用曼寧公式計算流量時流量隨充滿度呈雙值變化的不合理性，又比函數形式繁瑣、不易積分求解流量的對數律衍生公式更易用于工程計算。

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Wang Wen'e, Xue Cheng, Hu Xiaotao. Numerical simulation and test of hydraulic performance for triangle long-throat flume for water measurement in furrow irrigation[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(3): 109－116. (in Chinese with English abstract)

[29] 李廣寧，孫雙科，郭子琪，等. 仿自然魚道水力及過魚性能物理模型試驗[J]. 農業工程學報，2019，35(9)：147－154.

Li Guangning, Sun Shuangke, Guo Ziqi, et al. Physical model test on hydraulic characteristics and fish passing performance of nature-like fish way[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(9): 147－154. (in Chinese with English abstract)

Establishment of velocity function of partially-filled flow in circular pipe based on simulation and physical model experiment

Ding Falong, Mao Zeyu, Han Kai

(,,100084,)

Velocity distribution of cross-section in open channel is not only the basis of accurate measurement of flow rate, but also the basic problem of studying the hydraulic characteristics of open channel. In order to explore the cross-sectional velocity distribution of partially-filled flow in circular pipe, a 3-D turbulent mathematical model and numerical solution method, verified by measured data, were adopted to simulate the partially-filled flow in circular pipe with different combinations of slopes and filling ratios. By comparison of the measured values and calculated values, the results showed that in a circular pipe with diameter 0.4 m, bottom slope 0.004, and flow rate 0.246 m3/s (corresponding filling ratio 0.47), the maximum relative error between the calculated velocities and measured values on all vertical lines was within the plus or minus 4.2%, and the maximum relative error between the calculated turbulent kinetic energy and measured values on all vertical lines was within the plus or minus 4.85%, suggesting that mathematical model and its parameters for simulation of the velocity distribution had higher calculation accuracy. The simulation results showed that cross-sectional velocity distribution was very sensitive to the filling ratio. The larger filling ratio would lead to more obvious dip phenomenon of maximum vertical velocity. When the filling ratio was lower than 0.5, no dip phenomenon occurred. When the filling ratio exceeded 0.5, the dip phenomenon became more obvious. This was because when the filling degree exceeded 0.5, the constraint effect of the side wall on the water surface was enhanced, and the secondary flow in the section was more obvious. There also showed obvious differences in the forms of vertical velocity distribution at different transverse positions, especially those close to the boundary wall, which was caused by the enhanced constraint effect of the concave side wall. Vertical profiles of time-averaged longitudinal velocity among various cases had very good similarity, and the profile curves were close to the feature of parabolic function. Influenced by factors such as section geometry and hydraulic characteristics, although the velocity distribution of each vertical line had a good similarity, the empirical coefficients by parabolic regression analysis that determined the shape of the velocity distribution curve on the specific vertical line had changed a lot. Multi-factor analysis of variance was conducted to the undetermined coefficientsin parabolic function, which showed they were mainly affected by transverse position of vertical lines and filling ratio of cross section. According to the affecting degree of filling ratio and transverse position to the empirical coefficientsthe cross sections of the partially-filled flow were divided into the central areas and the side wall areas along the transverse direction. Moreover, the dividing lines between central area and side wall area when the filling ratio was less than 0.5 was different from that when the filling ratio was greater than 0.5. Analysis of variance showed that the empirical coefficients of the central area were linearly correlated with the transverse position and the filling ratio, while the coefficients of the side wall area were mainly affected by the transverse position of the vertical line, and basically independent of the filling ratio. By means of regression analysis, the velocity parabolic distribution formula on vertical lines in partially-filled flow were established, and the determination methods of each coefficients were given. The calculated values of vertical velocity distribution areas were in good agreement with the measured values, which indicated that the parabolic vertical velocity distribution law was reliable. Parabolic function could better reflect the velocity distribution along vertical lines of partially filled flow in circular pipe. Application of the parabolic function to obtain flow rate on cross section, cannot only overcome the irrationality of Manning formula, but also was more easier than logarithmic law to be used in engineering calculation.

flow rate; flow velocity; canals; circular; partially-filled flow

丁法龍，茅澤育，韓 凱. 基于仿真及物理模型試驗構建圓形斷面管道非滿流流速函數[J]. 農業工程學報，2019，35(18)：55－61.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.18.007 http://www.tcsae.org

Ding Falong, Mao Zeyu, Han Kai. Establishment of velocity function of partially-filled flow in circular pipe based on simulation and physical model experiment[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2019, 35(18): 55－61. (in Chinese with English abstract) doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2019.18.007 http://www.tcsae.org

2018-12-13

2019-08-10

國家重點研發計劃（2016YFC0402504）

丁法龍，博士，主要從事水力學及河流動力學方面的研究工作。Email：dflaizy@163.com

10.11975/j.issn.1002-6819.2019.18.007

TV93

A

1002-6819(2019)-18-0055-07