地鐵隧道施工引起鄰近埋地管道位移計算的傳遞矩陣法

王海濤,金 慧,2,張景元,何 永,閆 帥

(1.大連交通大學 土木工程學院，遼寧 大連 116028; 2.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；3.浙江鐵道建設工程有限公司，浙江 杭州 310020)

盾構法隧道施工憑借施工擾動小、不影響城市交通等優點，成為城區內修筑地鐵的主要建設方法之一。由于盾構開挖洞體和盾構襯砌結構之間存在一定的建筑間隙，盡管可以采用壁后注漿手段進行孔隙填充，但盾構掘進過程中仍會不可避免地擾動隧道周圍土體，誘發地面和隧道上覆土體產生沉降和變形，進而引發鄰近管道等埋地構筑物、建筑物受地層荷載作用而發生變形，嚴重時影響管道的正常使用功能，甚至爆裂誘發地層坍陷等嚴重事故。國內外學者針對隧道施工，采用模型試驗、理論分析、數值模型和經驗分析等方法對管道變形規律進行了較廣泛的研究，并取得了一定的成果。理論研究的重點在于建立管道力學模型，研究隧道擾動區內地層外荷載與管道變形曲線的關系，研究成果可以較便捷地應用于實際工程，為實際施工控制與防護提供指導性建議。文獻[1]在彈性地基梁模型基礎上，采用能量法推導隧道在管道下方穿越時管道豎向位移的理論解析式，并在此基礎上得到雙線隧道穿越時管道豎向位移的解析解。文獻[2]考慮地層中管道和土體的相互作用與彈性半空間上梁彈簧模型的差異，進一步考慮地層中管道埋深的影響，修正Winkler地基基床模量的計算公式。文獻[3]考慮地層地基基床系數沿管道的不均均分布特性，認為管道沉降區和隆起區的地基基床模量存在一定差異，并給出參考取值，在此基礎上推導出管道豎向變形的解析函數。文獻[4]采用邊界元思想，通過位移控制兩階段分析方法考慮具有不同土性的分層土體，研究隧道施工擾動區地層中管道的變形規律。文獻[5]采用有限差分方法，在考慮土體分層效應的基礎上，將柔性接口管道的接頭簡化為塑性鉸，研究分層土體荷載作用下管道的力學響應。文獻[6]采用Pasternak地基模型，考慮土彈簧間的剪切作用和埋深對地基反力模量的影響，修正水平受荷樁樁側位移的計算方法，認為Pasternak地基模型在水平樁剪切模量較大土體側向位移的測量精度上有一定的提高。文獻[7]通過對管道變形規律的研究，同樣認為Pasternak地基模型更適合應用于土體剪切模量較大的地層。在進行管道變形曲線微分方程求解時，往往求解規模大、過程繁瑣復雜、待定參數較多，因此Pasternak地基模型難以直接應用于工程實際中。

針對以上不足，本文提出一種更為便捷且精確的管道豎向位移計算方法。將管道視為Winkler地基上的彈性地基梁，采用兩階段分析方法，分別對地層沉降函數和管道變形函數進行傅里葉級數展開，推導出地層沉降和管道變形間的力學關系，并定義位移傳遞矩陣，提出基于地層沉降的管道位移預測公式；同時對影響管道位移的相關參數進行分析，建立綜合考慮多種影響因素的埋地管道最大位移預測公式，以期為地鐵隧道施工安全控制與防護提供參考。

1 位移傳遞矩陣法

1.1 計算模型

隧道下穿管道計算模型如圖1所示。假定地層為均一土性地層，隧道垂直下穿既有管道，地層中管道埋深為zp，隧道開挖半徑為R，隧道軸線位置埋深為h，地層中未埋設管道時管道埋深處地層受隧道開挖擾動產生的最大沉降為Smax(x)，管道變形范圍計算長度的一半設為l，經計算，當l取20R時可以滿足計算精度要求。本文僅就土體豎向沉降對管道豎向變形的影響進行研究，忽略管道接頭處剛度的折減效應，認為埋地管道為剛度連續的地基梁結構。

圖1 隧道下穿管道計算模型

1.2 地層沉降和管道位移傅里葉變換

通過傅里葉變換可將任意地層沉降函數表示為三角函數疊加的形式，通過求解三角函數形式地層荷載作用下的管道變形，即可將隧道施工時復雜模式的地層沉降作用下管道變形問題轉化為可求解問題。文獻[8]通過理論分析推導出隧道開挖擾動下周圍土體的豎向位移解析公式，見式(1) ，本文將式(1)作為盾構施工擾動產生的地層沉降函數進行管道變形的求解。

(1)

式中：S(x)為地表以下深度z處的地層沉降函數，m；x為計算點與隧道軸線間的水平距離，m；μ為地層內土體泊松比；ε為隧道施工產生的地層損失率。

設管道位移函數為Sp(x)，對地層沉降函數和管道位移函數進行傅里葉級數展開，并分別表示成向量相乘的形式，即

S(x)=XTb

(2)

Sp(x)=XTa

(3)

式中：向量X中的各個元素為傅里葉級數展開式的基函數；向量b和a中各個元素為對應基函數的常系數。

bn(n取0～20)可通過式(4)進行計算求取，當展開項數n值達到10時，第n項基函數所對應的常系數已經非常小，但為了保證計算精度要求文章中n取值為20。

(4)

1.3 管道位移的傳遞矩陣法求解

兩階段分析方法是目前解析隧道施工對埋地管道變形影響的主要方法之一，其研究思路分為兩步：第一步，不考慮地層中埋設的管道，直接計算未埋設管道土體在隧道施工擾動下的地層沉降S(x)；第二步，把地層假設為地基彈簧，通過地基基床反力模量，把上述地層沉降轉化為地層荷載并作用于管道上，在上述地層荷載和地層反力作用下，管道完成與土體的變形協調，即實際上管道和土體發生的共同位移Sp(x)。基于上述管道和土體的相互作用過程，通過Winkler地基模型構建管道變形平衡微分方程

(5)

(6)

式中：λ為埋地管道相對于土體的柔度系數；k為隧道周圍土體地基基床反力模量，kN/m2；Ep為管道的彈性模量；Ip為管道的截面慣性矩。

考慮到管道在地層中有一定的埋深，與彈性半空間上的梁彈簧模型存在差異，故本文采用文獻[2]推導出的考慮管道埋深影響的Winkler地基基床反力模量的修正公式

(7)

式中：ν為管道所在位置土體的泊松比；E為管道所在位置土體的彈性模量；d為管道直徑；η為管道埋深修正系數。

將式(2)、式(3)代入式(5)，整理得

X(4)T+λXTa=λXTb

(8)

通過計算整理得

(9)

要保證式(9)成立，等號兩側各項基函數的常系數應對應相等，則可以整理得到一組方程，見式(10)，將該方程組用矩陣形式表示得式(11)。

(10)

(11)

為描述土體位移與管道位移之間的相互作用和傳遞關系，定義式(11)中的對角矩陣為位移傳遞矩陣K，則式(11)可進一步表示為式(12)。在地層沉降常系數向量b和傳遞矩陣K已知的情況下，可直接求解得到管道位移常系數向量a。將式(12)代入式(3)，進行矩陣運算可得到近似的管道位移函數，見式(13)。

Ka=b

(12)

Sp(x)=XTK-1b

(13)

可利用Matlab軟件進行編程，快速計算求解。

2 算例驗證

2.1 現場實測

文獻[9]經現場實測對某沿海城市軟土地區地鐵隧道工程引起地層及管道的變形情況進行深入研究，隧道參數如下：隧道外徑為6.2 m，內徑為5.5 m，埋深為15.12 m；地下有多種管道密布，將球墨鑄鐵材質煤氣管道作為分析對象，其直徑為0.3 m，埋深為0.9 m，抗彎剛度為15.2 MN·m2，管軸線與隧道軸線的相交角約為88°，可以近似認為管道與隧道正交。經勘測，地層主要由飽和黏性土、粉性土和砂性土組成，管道所在土層的參數：土體彈性模量取上覆土層的加權平均值4.44 MPa，泊松比為0.3，文獻[10]對此類工程進行了統計分析，結果顯示類似工程的地層損失率通常小于5‰，故本文選取地層損失率為5‰進行計算。

圖2為本文計算方法與實測結果的對比。從圖2可以看出，雖然本文方法的最大下沉位移較實測結果偏大，管道的上升位移較實測偏小，但管道沉降槽形狀較接近實測，二者變形特性基本相符。差異的可能原因是：管線所在土層為人工素填土，土質情況較差，計算時高估了土質條件，導致管道相對于土體的柔度系數偏大，抗彎能力較差，因此出現管道下沉位移值偏大，沒有明顯上升變形的現象。

圖2 本文計算方法與現場實測對比

2.2 模型試驗

文獻[11]通過開展離心模型試驗，監測加速度取75g時幾種不同地層損失率管道的變形規律。選取地層損失率為2%時的一組試驗數據與本文理論計算結果進行對比分析。通過相似比換算得到原型試驗對應的參數：砂土彈性模量為19.52 MPa，砂土泊松比為0.3；隧道直徑為4.5 m，隧道軸線埋深為11.25 m；管道直徑為1.19 m，管道截面剛度為3 363 MN·m2，管道埋深為4.165 m。

圖3為本文方法計算結果與試驗數據的對比圖。從圖3可以看出，本文方法可以精確地反映試驗中管道的變形規律，進一步驗證了本文方法的可靠性。

圖3 本文計算方法與試驗對比

3 因素分析

3.1 管道埋深

基于2.1節實例，對不同埋深對管道位移的影響情況進行分析，見圖4。從圖4中可以看出，管道埋深對管道位移和管道沉降槽寬度的影響并不明顯，原因可能有以下兩點：其一，通過對管線所在地層位移的計算發現地層位移隨埋深增加而產生的增量較小；其二，隨著管道埋深的增加，土質條件變好，管道相對土體的剛度減小，柔度增大，抗彎能力減弱。為描述這一特征，基于本文理論，對管道最大位移Sp,max與管道埋深的關系進行曲線擬合，見圖5，可以看出擬合曲線斜率較小。

圖4 管道埋深對管道位移的影響

圖5 管道最大位移與管道埋深的關系

3.2 管道剛度

基于2.1節實例，假設管道截面直徑不變，以鋼管、混凝土管道、PVC-U管道等為模型基礎，對不同截面剛度的管道進行分析研究，見圖6。從圖6可以看出：管道最大位移隨管道截面剛度的增加而減小，管道沉降槽寬度隨管道截面剛度的增加而增大，同時，隨著截面剛度的增加，沉降槽開口位置處管道的上拱現象更加明顯，且上拱范圍明顯增大。通過對管道最大位移理論計算值與管道截面剛度的相關性進行擬合，得到管道最大位移關于管道截面剛度的預測曲線，見圖7。實際工程中，不同用途的管道其材質、直徑、管壁厚度等參數均有所不同，本文僅對直徑0.3 m管道進行了說明，借助本文方法，可以對不同截面尺寸、相同材質管道進行規律性分析研究，以便對地鐵隧道施工進行設計指導。

圖6 管道截面剛度對管道位移的影響

圖7 管道最大位移與管道截面剛度的關系

3.3 土體損失率

基于2.1節實例，對不同地層損失率時的管道位移進行分析研究，見圖8、圖9。從圖8、圖9可以看出：地層損失率對管道位移的影響較明顯，在隧道埋深和半徑不變的情況下，管道最大位移與地層損失率近似呈正比例增長關系。其原因可能是實例中管道的剛度較小，管道位移模式主要受地層位移模式控制，在地層位移較大時，管道表現出較弱的抗彎能力，因此控制隧道施工誘發的地層損失對控制管道位移是至關重要的。

圖8 管道位移與地層損失率的關系

圖9 管道最大位移與地層損失率的關系

3.4 管道最大位移值與管道相對柔度系數的關系

管道位移規律是多種影響因素綜合作用的結果，因此某單一因素引起的變化規律在工程應用中有一定的局限性。由以上分析可知管道相對柔度是管道截面剛度、截面尺寸、管道埋深、土體彈性模量、泊松比等因素在管道相對抗彎剛度上的綜合反映，管道埋深處地層位移是隧道埋深、隧道半徑、地層損失率等因素在管道附加荷載大小上的綜合反映，為全面考慮多因素影響下的管道位移變化規律，定義最大位移傳遞系數Kmax，見式(14)，同時，通過對理論計算值λ與Kmax的統計分析，建立最大位移傳遞系數關于管道柔度系數的預測式，見式(15)、圖10。可知當λ→0時，管道剛度趨于無窮大，管道位移趨于0，Kmax→0；當λ→∞時，管道與土體協調變形，不存在相互作用，管道位移趨于地層位移，Kmax→1；當λ∈(0，∞)時，Kmax呈對數分布，事實上，當λ→0.84時，就有Kmax→1。

Kmax=Sp,max/Smax

(14)

Kmax=1.012+0.068ln(λ-0.001)

(15)

圖10 Kmax與λ關系

為進一步驗證式(15)的可靠性，對2.2節實例中最大位移傳遞系數進行了計算，見圖10中紅點，計算值基本與理論值吻合。本文提出的預測公式可以綜合反映不同地質條件、隧道埋深及直徑、管道材料及截面特性等多種因素影響下，管土相互作用強弱對管道位移與地層位移傳遞關系的影響，實現了地鐵隧道施工引起鄰近埋地管道最大位移的超前預測。

4 結論

(1)本文考慮管道埋深對地基基床反力模量的影響，修正了Winkler地基模型，采用兩階段分析法和傅里葉變換，推導出地層沉降與管道變形間的力學關系，并定義了位移傳遞矩陣，提出了基于地層沉降的管道位移預測公式。

(2)通過算例分析，將本文理論計算結果與現場實測和模型試驗進行對比，理論計算結果與現場實測和模型試驗數據吻合良好，證實了本文方法具有較高的精度。

(3)通過對管道埋深、管道截面剛度和地層損失率對管道位移影響的分析，認為在一定范圍內，管道位移與管道埋深和地層損失率線性正相關，與管道截面剛度呈斜率逐漸減小直至趨于零的指數函數關系；在此基礎上，定義了最大位移傳遞系數，建立了綜合考慮多因素影響的管道最大位移預測公式。