航天器多艙段多組件結構系統整體式拓撲布局優化設計

郭文杰，王立凱，聶小華，段世慧，朱繼宏

（1. 中國飛機強度研究所，西安，710065；2. 西北工業大學，西安，710072）

0 引 言

結構拓撲優化技術經過30余年的發展和完善，在理論和工程應用中取得顯著成就，已逐步成為結構概念設計階段的一項重要技術，在提高飛行器結構性能、減輕結構質量上扮演著重要的角色[1~5]。尤其在航天器等包含部件艙段的結構系統的設計過程中，往往需要同時考慮組件設備的空間布局以及支撐結構的材料布局，這類同時考慮組件設備布局以及支撐結構材料布局的整體式拓撲布局優化問題已經引起相關學者的關注，并取得了一定的研究進展[6~13]。

結構系統的整體式拓撲布局優化設計問題面臨的主要挑戰是如何有效避免不同組件設備之間的幾何干涉。工程中較為常用的方法是 Zhu[14]等提出的采用有限包絡圓方法（Finite Circle Method，FCM）近似描述組件設備的外形，將不同組件設備之間的幾何干涉約束轉換為不同包絡圓圓心距的約束，解決了幾何干涉問題，但是為優化問題引入了大量的干涉約束函數，增加了求解的難度。一些學者提出使用 KS函數[15]等約束凝聚方法縮減約束數目，但對于處理包含數百個干涉約束的含有部件艙段的結構系統整體式拓撲布局優化設計問題還存在一定困難。

在前期工作的基礎上[16,17]，進一步將方法加以完善和改進，應用FCM描述組件設備的外形，應用多點約束技術（Multi-point Constraints，MPC）模擬組件、部件艙段、主體結構之間的連接關系，提出新的處理大量組件干涉約束的罰函數方法，以結構的整體剛度最大化為設計目標，對包含部件艙段、組件設備的航天器結構系統進行整體式拓撲布局優化設計。

1 優化設計模型定義

事實上，包含干涉約束的結構系統的整體式拓撲布局優化設計問題，一般以結構系統剛度最大化為目標，本工作引入的懲罰函數只對優化模型中的干涉約束進行處理，其他約束條件不予懲罰。考慮如下所示的約束優化問題：

式中f(x)為目標函數；gm為由 FCM 描述的任意一個干涉約束函數，這種形式的干涉約束函數的數目記為M。下文首先以傳統的內、外點懲罰函數方法為例引出本工作提出的罰函數方法。

1.1 傳統的內、外點懲罰函數方法[18]

對于上述優化問題，應用內點法可以將其轉化為無干涉約束的優化問題，形式為

通過內點法，所有滿足約束條件的非零約束函數都被以反比例函數的形式予以懲罰，這樣的滿足約束條件的解如果在可行域內部靠近了可行域邊界，那么其懲罰項會被放大，構筑起類似于“高墻”一樣的界限，阻止或避免解跳出可行域。

與內點法相對，根據懲罰函數的相關理論，傳統的外點懲罰函數方法可以寫成如下形式：

當約束違背約束條件后，由于二次函數的作用，其目標函數值被放大，優化算法在尋找新的極小值時，為了得到極小解，需保證懲罰項足夠小，算法會違背約束條件的約束函數拉進或拉近可行域，從而起到懲罰的作用。

圖1和圖2為2種懲罰方法的原理性示意圖。

圖1 內點法原理示意Fig.1 Interior Penalty Term of gm

圖2 外點法原理示意Fig.2 Exterior Penalty Term of gm

內點法能夠處理的約束必須嚴格落在可行域內部，且初始點也需要落在可行域內部，在迭代過程中，每一組解都是可行域內部的解，可以作為原優化問題的近似解，但是，如果問題的解在優化過程中不慎跳出可行域，那么內點法就失效了；外點法以其構造簡便、對初始點要求不高而被廣泛應用于求解包含等式約束、不等式約束等問題中，但其在優化過程中只能對那些位于可行域外部的解進行懲罰，且最終獲得的解往往位于可行域邊界上，對于落在可行域內部的解其不做任何懲罰，也就是說對于已滿足約束條件的解，外點法不能對其構成懲罰，無法避免解跳出可行域。

實際上，如果解在可行域外部，要將其拉進可行域，如果落入可行域內部，阻止其跳出，這樣更利于優化問題快速得到最優解。

1.2 改進的懲罰函數方法

對于式（1），考慮構造一種形如式（4）的懲罰函數：

關于變量t的分段函數為

式中 a，b，c，w，h為分段函數控制參數。懲罰函數在約束條件滿足時，用指數形式的函數實現對約束的微小懲罰，在約束條件違背時，用二次函數形式進行懲罰，違背越大，懲罰力度越大。

為便于優化算法求解，希望得到一種能夠連續且可導的懲罰項，因為如果在分段點上函數不可導，則無法為避免組件干涉提供尋優方向。為了保證函數在t=0時的連續性和可導性，參數a，b，c，w和h必須滿足一定的條件，即：

這樣，可以得到控制參數之間的關系：

根據式（6）~（9），將包含大量非干涉約束條件的優化問題轉化為不含非干涉約束條件的優化問題，減少了優化算法需要單獨處理的約束條件的數目，為求解包含大量組件、大量干涉約束的多組件結構系統布局優化設計問題提供了有效的技術手段。分段函數如圖3所示。

圖3 懲罰項φ(t)示意曲線Fig.3 Curve of the Proposed Penalty Term φ(t)

由圖3可以看出，整個函數的形態完全由二次函數的系數決定，這也表明所提出的方法具有較強的可控性，取二次項系數a為可變參數，取b和c為不變參數，不同a的取值下的形態如圖4所示。

圖4 不同a的取值下φ(t)的形態示意Fig.4 Illustration of φ(t) Under Different Values of a

在多組件結構系統布局優化設計中，當不同組件之間發生干涉時，違背了約束條件的干涉約束的懲罰程度大小由二次項系數決定，而且干涉程度越大，懲罰程度也會越大。與此同時，當干涉約束條件滿足時，仍然有圖4中o點右側部分保證每個干涉約束都受到一定的懲罰，這就在一定程度上保證了組件不會因處于可行解時而不受約束地跳出可行域，在一般情況下設置b為一個非零正數，因為在干涉約束為0時，希望有一個明確的尋優方向，如果分段函數在自變量為0時有一個負的梯度，基于梯度的優化算法，將指引組件從干涉向分開的趨勢運動。

1.3 多艙段多組件結構系統布局優化設計數學模型

本文應用 MPC[19]模擬組件與其支撐結構之間的剛性連接，引入多點約束技術后，多點約束方程和邊界條件方程可以統一寫成：

式中 H為由系統的有限單元、多點約束連接單元以及邊界條件共同確定的系數矩陣；u為系統的總體節點位移向量。考慮多點約束方程后，修訂后的系統勢能為

式中 K為系統的總體剛度矩陣；f為結構系統總體節點載荷矢量；λ為引入的拉格朗日乘子向量。求解式（11）的駐點為

求解式（12）可以得到位移向量u和乘子向量λ。在優化過程中，要考慮部件布局、組件布局、部件材料拓撲、主體結構材料拓撲這4類設計變量，即：

航天器多艙段多組件結構系統布局優化設計以系統的總體剛度最大化為設計目標，在給定部件隔框、主體結構材料用量以及系統質心位置約束的情況下，尋求合適的材料拓撲布局、組件、部件隔框的布局。可以表述為

式中 Vm，VmU分別為主體結構上拓撲優化設計所用材料體積分數及其上限；Vf，VfU分別為編號為f的部件隔框拓撲優化所用材料體積分數及其上限；xG為系統的質心位置分量；xGL，xGU為其上、下限。

為了避免部件隔框的組件之間、組件與設計區域邊界之間、部件隔框之間發生干涉，用有限包絡圓方法描述組件、部件隔框及其設計區域邊界的輪廓，這種約束可以寫成集合的形式：

引入改進的懲罰函數后，優化問題的目標函數以及約束條件可以寫為

建立了包含部件隔框的多艙段多組件結構系統布局優化設計問題的數學模型。

1.4 靈敏度求解

本文提出了使用改進的罰函數處理大量的組件干涉約束，根據式（14）可知，目標函數的靈敏度包括2個部分，即：系統應變能及懲罰項的靈敏度，系統應變能靈敏度的求解過程可參見文獻[17]、[18]，懲罰項的靈敏度可根據式（7）求得，體積分數、質心位置等約束的靈敏度均可以根據其物理表達式求得。

2 數值算例

以某航天器多艙段多組件結構系統布局優化設計為例，證明本工作提出的方法的可行性。整個系統包含 2個可以沿艙體軸向 X平動的部件隔框 B1，B2和1個不可動部件隔框，每個隔框上布置3個互不相同的組件，各個組件在所屬部件隔框上運動，隔框與其組件組成一個部件系統，組件與部件隔框之間、部件隔框與主體結構之間的連接均采用多點約束技術建立。

在整個筒體在頂部受扭矩T為300 N·m作用，扭矩通過剛性區域傳遞到筒體邊緣，整個艙內承受0.1 MPa的內壓力，為系統施加豎直向上的49 m/s2的加速度，整個筒體底邊通過4個區域的節點完全約束。初始時描述部件隔框 B1和 B2距艙體底座距離的位置設計變量h1和h2分別設定為0.40 m和1.00 m，艙段總體沿X向高度H為1.50 m。組件初始在各自隔框情況如圖5所示。

圖5 航天器設備艙結構系統工況示意Fig.5 Load Condition Illustration of a Instrument Cabin System

續圖5

組件幾何模型及其有限包絡圓劃分情況如圖6所示。

圖6 組件幾何及有限包絡圓描述Fig.6 Discription of Components’ Geometry and FCM

系統材料屬性如表1所示。

表1 艙體系統材料屬性Tab.1 Material Property of the Cabin System

本算例中，每個部件隔框的設計區域邊界用2個大小不同的同心圓描述，這2個同心圓形成了組件所在的環形可動空間，整個系統包含484個干涉約束，所有的干涉約束均用提出的改進懲罰函數描述。約束主體結構及部件隔框拓撲優化所需材料用量上限均為40%。

首先，不考慮系統的質心位置約束，聯合組件、部件隔框、主體結構進行拓撲布局協同優化設計。如圖7~9所示，最終所有組件、部件隔框協同主體結構共同承載并獲得了清晰的結構構型和組件的不干涉位置布局。優化結果中h1=0.60 m，h2=1.20 m，系統的應變能C收斂于12.50 J。由于引入了內壓力和扭矩，筒體上形成了許多環向的支撐筋，最上、最下設計區域面板均形成了分散著的支撐結構，部件隔框為支撐組件設備、筒體，形成了扇區一樣的構型。優化結果中系統的質心位置為（0.680 m，0.0305 m，-0.0250 m）。

圖7 第20次迭代，C=20.94JFig.7 The 20th Iteration, C=20.94J

圖8 第40次迭代，C=13.85JFig.8 The 40th Iteration, C=20.94J

圖9 優化結果，C=12.50JFig.9 Optimized Result, C=12.50J

由于整個筒體內各個組件在部件隔框上的可動范圍不大，而且部件隔框的材料分布對筒體橫向質心位置分量影響不大，引入系統在X軸方向上的質心位置約束，約束其上限為0.65 m。保持其余條件不變進行計算，系統最終的優化構型如圖10所示。

圖10 加質心約束的優化結果Fig.10 Optimized Design with Centroid Constraint

從圖10中可以看出，與不加質心位置約束相比，本次優化結果中，其中靠下的一個可動部件隔框明顯向下移動，以滿足系統的質心位置要求，最終系統的質心位置為（0.637 m，0.0318 m，-0.0248 m），部件隔框的位置分別為：h1=0.39 m，h2=1.20 m。圖11和圖12分別給出了有無質心位置約束情況下系統的應變能迭代曲線和軸向質心位置分量變化曲線。

圖11 系統的應變能變化曲線Fig.11 Design History of Global Strain Energy

圖12 系統X向質心位置變化曲線Fig.12 Design History of Centroid Position in X Direction

3 結 論

本文結合工程實際，描述了一種多艙段多組件結構系統，以傳統的多組件結構系統布局優化設計研究為基礎，建立了多艙段多組件結構系統布局優化設計問題的數學模型，為處理大量的組件干涉約束提出了改進的懲罰函數方法，并應用該方法完成了典型多艙段多組件結構系統的拓撲布局協同優化設計，驗證了提出方法的可行性，拓寬了多組件結構系統布局優化方法的應用范圍，對解決復雜工程問題有一定的參考意義。