三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法

何光進(jìn)，高 峰

三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法

何光進(jìn)，高 峰

（駐廣州地區(qū)第三軍事代表室，廣州 510000）

傳統(tǒng)的基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法沒(méi)有充分利用矢量水聽(tīng)器各分量之間的正交特性，存在多目標(biāo)分辨能力不足的缺點(diǎn)。針對(duì)這一情況，文中引入了四元數(shù)的概念，利用四元數(shù)能更好地描述矢量水聽(tīng)器各分量的正交結(jié)構(gòu)這一優(yōu)點(diǎn)，提出了三種基于四元數(shù)模型的二維聲矢量陣方位估計(jì)算法：Q-VV算法、Q-PV算法和Q-PVV算法。與基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法相比，新算法降低了協(xié)方差矩陣的維數(shù)，占用更少的內(nèi)存空間。同時(shí)，由于利用了四元數(shù)強(qiáng)正交性約束的特點(diǎn)，新算法有好的單目標(biāo)估計(jì)精度和多目標(biāo)分辨能力。其中：Q-PV算法和Q-PVV算法利用了聲壓與振速的相干性，抗各向同性干擾的能力優(yōu)于Q-VV算法。仿真實(shí)驗(yàn)證明了算法的有效性。

聲矢量陣 MUSIC算法 四元數(shù) 方位估計(jì) 聯(lián)合方位估計(jì)

0 引言

聲源波達(dá)方向(DOA)估計(jì)是水下聲納系統(tǒng)研究的重要內(nèi)容，隨著矢量水聽(tīng)器的出現(xiàn)，聲矢量信號(hào)處理成為研究熱點(diǎn)。由于矢量水聽(tīng)器可以同時(shí)、共點(diǎn)地拾取水下空間某一質(zhì)點(diǎn)的聲壓與振速信息，與聲壓水聽(tīng)器相比，在相同陣元條件，矢量水聽(tīng)器陣有較高的陣增益和空間分辨力。因此，許多學(xué)者將矢量水聽(tīng)器的優(yōu)點(diǎn)和超分辨率方位估計(jì)算法相結(jié)合，研究了基于矢量水聽(tīng)器陣的超分辨率DOA估計(jì)算法[1-6]。但是，這些算法都采用“長(zhǎng)矢量”形式的數(shù)學(xué)模型，即將聲壓與振速分量看成相互獨(dú)立的輸出，將描述不同陣元輸出的復(fù)矢量進(jìn)行串聯(lián)，通過(guò)增加觀測(cè)數(shù)據(jù)矩陣的維數(shù)來(lái)提高對(duì)目標(biāo)信號(hào)DOA估計(jì)精度[7]。由于這種模型沒(méi)有利用到矢量水聽(tīng)器各振速分量之間的局部正交信息，因此目標(biāo)DOA估計(jì)效果較差。針對(duì)這一事實(shí)，本文將四元數(shù)模型引入到聲矢量陣列信號(hào)處理領(lǐng)域，利用四元數(shù)能更好地描述矢量水聽(tīng)器陣元的正交結(jié)構(gòu)這一優(yōu)點(diǎn)，提出了三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法：Q-VV方法、Q-PV算法和Q-PVV算法。仿真實(shí)驗(yàn)證明了以上算法均優(yōu)于傳統(tǒng)的基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法，而且，由于四元數(shù)模型的信息表達(dá)方式更加緊湊，新算法可節(jié)約大量的內(nèi)存空間。另外，在遠(yuǎn)程聲場(chǎng)中，相干源信號(hào)的聲壓和振速是相干的，而各向同性噪聲的聲壓與振速是不相關(guān)的[8]，Q-PV和Q-PVV算法同時(shí)利用了聲矢量陣輸出的聲壓振速信息，因此有更強(qiáng)的抗各向同性干擾的能力，單目標(biāo)DOA估計(jì)能力和多目標(biāo)分辨能力略優(yōu)于Q-VV算法。

1 四元數(shù)概念

由四元數(shù)組成的向量稱為四元數(shù)向量，N維四元數(shù)向量記為H；由四元數(shù)組成的矩陣稱為四元數(shù)矩陣，記為H。對(duì)四元數(shù)的相關(guān)運(yùn)算有不同的定義，本文采用如下的形式[9,10]：

2 聲矢量陣模型

圖1 二維聲矢量陣模型

則二維聲矢量陣的振速輸出為：

3 基于四元數(shù)的方位估計(jì)算法

3.1 Q-VV法

對(duì)于聲矢量陣某個(gè)陣元m，該方法（稱為Q-VV法）將一次快拍輸出的振速信息表示成如下的四元數(shù)形式：

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行奇異值分解（SVD）：

由子空間分解的性質(zhì)知：噪聲子空間與全局陣列流形正交，根據(jù)MUSIC算法的思想，建立如下的方位估計(jì)公式：

3.2 Q-PVV法

具體為：將單矢量水聽(tīng)器一次快拍輸出的聲壓振速信息表示成如下的四元數(shù)形式：

此時(shí)的方位估計(jì)公式應(yīng)為：

3.3 Q-PV法

具體為：將單矢量水聽(tīng)器一次快拍輸出的聲壓振速信息表示成如下的四元數(shù)形式：

此時(shí)的方位估計(jì)公式應(yīng)為：

4 算法分析

下面分析本文的四元數(shù)模型與傳統(tǒng)的長(zhǎng)矢量模型在正交性約束方面的差異[13]。

比較兩種表達(dá)形式的正交條件知，基于四元數(shù)的正交性約束更強(qiáng)，能進(jìn)一步地降低估計(jì)結(jié)果的離散性。

5 仿真實(shí)驗(yàn)

5.1 仿真1 單目標(biāo)DOA估計(jì)

圖2 單目標(biāo)DOA估計(jì)結(jié)果

圖3 算法的單目標(biāo)估計(jì)圴方誤差曲線

5.2 仿真2多目標(biāo)DOA估計(jì)

假設(shè)有中心頻率為1000 Hz的兩相干聲源分別以20°和40°方向入射至二維聲矢量陣，上述四種算法對(duì)雙目標(biāo)的DOA估計(jì)結(jié)果如圖4（a）所示。仿真中，陣元數(shù)M=5，信噪比SNR=30 dB，快拍數(shù)N=100。從圖中可以看出基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法已不能區(qū)分兩目標(biāo)，而基于四元數(shù)模型的MUSIC算法則能夠十分清晰地估計(jì)出兩目標(biāo)的方位。圖4（b）給出了三個(gè)聲源入射至二維聲矢量陣的仿真結(jié)果，三個(gè)聲源的入向射角為[10°, 20°, 50°]，頻率為[1000 Hz, 980 Hz, 1000 Hz]，其余條件不變。

圖4 基于四元數(shù)模型的MUSIC算法相干目標(biāo)估計(jì)結(jié)果

從圖中可以看出，長(zhǎng)矢量方法僅能識(shí)別出第二個(gè)聲源，而基于四元數(shù)的MUSIC方法均可以準(zhǔn)確地估計(jì)出三個(gè)聲源的DOA，優(yōu)越性明顯。通過(guò)比較圖2和圖3知，Q-PV和Q-PVV算法比Q-VV算法有更好的單目標(biāo)估計(jì)精度和多目標(biāo)分辨能力，這與它們利用了矢量水聽(tīng)器輸出的聲壓信息有關(guān)。

6 結(jié)論

本文將四元數(shù)理論引入到矢量水聽(tīng)器信號(hào)處理領(lǐng)域，提出了三種基于四元數(shù)模型的聲矢量陣MUSIC算法。將二維矢量水聽(tīng)器輸出數(shù)據(jù)組成一四元數(shù)，用四元數(shù)理論構(gòu)造適用MUSIC算法方位估計(jì)公式，并對(duì)單、多目標(biāo)的估計(jì)性能和分辨能力進(jìn)行了仿真，仿真結(jié)果與傳統(tǒng)的基于長(zhǎng)矢量模型的MUSIC算法進(jìn)行了比較，得出了以下結(jié)論：

1）基于四元數(shù)的MUSIC算法的內(nèi)存占用量是傳統(tǒng)長(zhǎng)矢量算法的2/9，數(shù)據(jù)表達(dá)方式更加緊湊，利于算法的快速實(shí)現(xiàn)；

2）與長(zhǎng)矢量算法相比，基于四元數(shù)的MUSIC算法有更強(qiáng)的相干目標(biāo)分辨能力，在近距離目標(biāo)定位與跟蹤方面有較好的應(yīng)用前景。

3）基于四元數(shù)模型的Q-PV和Q-PVV算法由于同時(shí)利用了矢量陣輸出的聲壓與振速信息，對(duì)目標(biāo)的DOA估計(jì)精度和分辨能力均優(yōu)于僅利用振速信息的Q-VV算法，有一定的工程應(yīng)用前景。

需要說(shuō)明的是，由于對(duì)四元數(shù)矩陣進(jìn)行SVD分解時(shí)會(huì)產(chǎn)生共軛成對(duì)的特征值，對(duì)特征值的選擇不當(dāng)會(huì)造成DOA估計(jì)結(jié)果的“左、右模糊”問(wèn)題，這一情況可利用（單）矢量水聽(tīng)器的互譜測(cè)向結(jié)果來(lái)消除。

[1] K T. Wong, M D. Zoltowski. Closed-Form underwater acoustic Direction-Finding with arbitrarily spaced vector hydrophones at unknown locations [J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering. 1997, 22(4): 649-658.

[2] K T. Wong, M D. Zoltowaki. Self-initiating MUSIC-based direction finding in underwater acoustic particle velocity-field beamspace[J].IEEE Journal of OceanicEngineering. 2000, 25(2): 262-273.

[3] K T. Wong, M D Zoltowaki. Near-field/far field azimuth and elevation angle estimation using single vector hydrophone[J]. IEEE Trans. Signal Processing,2001, 49(11):2498-2510.

[4] Huawei Chen, Junwei Zhao. Coherent signal-subspace processing of acoustic vector sensor array for DOA estimation of wideband sources [J]. IEEE Trans. Signal Processing,2005, 85(1): 837-847.

[5] 張攬?jiān)?,楊德森. 矢量陣的非空間 ESPR IT 算法[J].哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2009， 30（4）：406-410.

[6] 李秀坤，尹世梅，李婷婷. 矢量水聽(tīng)器陣時(shí)頻MUSIC算法研究[J]. 聲學(xué)技術(shù)，2010，29（4）： 437-441.

[7] 龔曉峰，徐友根，劉志文. 四四元數(shù)低秩逼近及其在矢量陣列波達(dá)方向估計(jì)中的應(yīng)用[J]. 北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28（11）：1013-1017.

[8] Kim, Kang. Investigation of an underwater acoustic intensity vector sensor [D]. Pennsylvania State University, 2002.

[9] P. Ginzberg， A. T. Walden. Testing for Quaternion Propriety [J]. IEEE Trans. Signal Processing,2011，59 （7）：3025-3034.

[10] N L.Bihan, J.Mars. Singular value decomposition of quaternion matrices: a new tool for vector-sensor signal processing[J]. IEEE Trans. Signal Processing, 2004,84(7): 1177-1199

[11] X. Gong, Y. Xu, Z. Liu. Quaternion ESPRIT for Direction Finding with a Polarization Sentive Array [C].IEEE Proceedings of ICSP, 2008：378-381.

[12] 李京書，陶建武. 信號(hào)DOA 和極化信息聯(lián)合估計(jì)的降維四元數(shù)MUSIC 方法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào)，2011，33（1）：106-111.

[13] S.Miron, N L.Bihan. High resolution vector-sensor array processing using quaternions[C]. IEEE Workshop Statistical Signal Processing, Bordeaux, 2005.

Three MUSIC Algorithms Based on Quaternion Model of Vector Hydrophone Array

He Guangjin, Gao Feng

（The Third Military Representative Office in Guangzhou, Guangzhou 510000, China）

TB566.21

A

1003-4862（2019）10-0028-05

2019-06-04

何光進(jìn)（1983-），男，工程師。研究方向：目標(biāo)檢測(cè)與識(shí)別。E-mail: gjhe2008@163.com

高峰（1978-），男，工程師，研究方向：信號(hào)處理。