三種基于四元數模型的聲矢量陣MUSIC算法

何光進，高 峰

三種基于四元數模型的聲矢量陣MUSIC算法

何光進，高 峰

（駐廣州地區第三軍事代表室，廣州 510000）

傳統的基于長矢量模型的MUSIC算法沒有充分利用矢量水聽器各分量之間的正交特性，存在多目標分辨能力不足的缺點。針對這一情況，文中引入了四元數的概念，利用四元數能更好地描述矢量水聽器各分量的正交結構這一優點，提出了三種基于四元數模型的二維聲矢量陣方位估計算法：Q-VV算法、Q-PV算法和Q-PVV算法。與基于長矢量模型的MUSIC算法相比，新算法降低了協方差矩陣的維數，占用更少的內存空間。同時，由于利用了四元數強正交性約束的特點，新算法有好的單目標估計精度和多目標分辨能力。其中：Q-PV算法和Q-PVV算法利用了聲壓與振速的相干性，抗各向同性干擾的能力優于Q-VV算法。仿真實驗證明了算法的有效性。

聲矢量陣 MUSIC算法 四元數 方位估計 聯合方位估計

0 引言

聲源波達方向(DOA)估計是水下聲納系統研究的重要內容，隨著矢量水聽器的出現，聲矢量信號處理成為研究熱點。由于矢量水聽器可以同時、共點地拾取水下空間某一質點的聲壓與振速信息，與聲壓水聽器相比，在相同陣元條件，矢量水聽器陣有較高的陣增益和空間分辨力。因此，許多學者將矢量水聽器的優點和超分辨率方位估計算法相結合，研究了基于矢量水聽器陣的超分辨率DOA估計算法[1-6]。但是，這些算法都采用“長矢量”形式的數學模型，即將聲壓與振速分量看成相互獨立的輸出，將描述不同陣元輸出的復矢量進行串聯，通過增加觀測數據矩陣的維數來提高對目標信號DOA估計精度[7]。由于這種模型沒有利用到矢量水聽器各振速分量之間的局部正交信息，因此目標DOA估計效果較差。針對這一事實，本文將四元數模型引入到聲矢量陣列信號處理領域，利用四元數能更好地描述矢量水聽器陣元的正交結構這一優點，提出了三種基于四元數模型的聲矢量陣MUSIC算法：Q-VV方法、Q-PV算法和Q-PVV算法。仿真實驗證明了以上算法均優于傳統的基于長矢量模型的MUSIC算法，而且，由于四元數模型的信息表達方式更加緊湊，新算法可節約大量的內存空間。另外，在遠程聲場中，相干源信號的聲壓和振速是相干的，而各向同性噪聲的聲壓與振速是不相關的[8]，Q-PV和Q-PVV算法同時利用了聲矢量陣輸出的聲壓振速信息，因此有更強的抗各向同性干擾的能力，單目標DOA估計能力和多目標分辨能力略優于Q-VV算法。

1 四元數概念

由四元數組成的向量稱為四元數向量，N維四元數向量記為H；由四元數組成的矩陣稱為四元數矩陣，記為H。對四元數的相關運算有不同的定義，本文采用如下的形式[9,10]：

2 聲矢量陣模型

圖1 二維聲矢量陣模型

則二維聲矢量陣的振速輸出為：

3 基于四元數的方位估計算法

3.1 Q-VV法

對于聲矢量陣某個陣元m，該方法（稱為Q-VV法）將一次快拍輸出的振速信息表示成如下的四元數形式：

對協方差矩陣進行奇異值分解（SVD）：

由子空間分解的性質知：噪聲子空間與全局陣列流形正交，根據MUSIC算法的思想，建立如下的方位估計公式：

3.2 Q-PVV法

具體為：將單矢量水聽器一次快拍輸出的聲壓振速信息表示成如下的四元數形式：

此時的方位估計公式應為：

3.3 Q-PV法

具體為：將單矢量水聽器一次快拍輸出的聲壓振速信息表示成如下的四元數形式：

此時的方位估計公式應為：

4 算法分析

下面分析本文的四元數模型與傳統的長矢量模型在正交性約束方面的差異[13]。

比較兩種表達形式的正交條件知，基于四元數的正交性約束更強，能進一步地降低估計結果的離散性。

5 仿真實驗

5.1 仿真1 單目標DOA估計

圖2 單目標DOA估計結果

圖3 算法的單目標估計圴方誤差曲線

5.2 仿真2多目標DOA估計

假設有中心頻率為1000 Hz的兩相干聲源分別以20°和40°方向入射至二維聲矢量陣，上述四種算法對雙目標的DOA估計結果如圖4（a）所示。仿真中，陣元數M=5，信噪比SNR=30 dB，快拍數N=100。從圖中可以看出基于長矢量模型的MUSIC算法已不能區分兩目標，而基于四元數模型的MUSIC算法則能夠十分清晰地估計出兩目標的方位。圖4（b）給出了三個聲源入射至二維聲矢量陣的仿真結果，三個聲源的入向射角為[10°, 20°, 50°]，頻率為[1000 Hz, 980 Hz, 1000 Hz]，其余條件不變。

圖4 基于四元數模型的MUSIC算法相干目標估計結果

從圖中可以看出，長矢量方法僅能識別出第二個聲源，而基于四元數的MUSIC方法均可以準確地估計出三個聲源的DOA，優越性明顯。通過比較圖2和圖3知，Q-PV和Q-PVV算法比Q-VV算法有更好的單目標估計精度和多目標分辨能力，這與它們利用了矢量水聽器輸出的聲壓信息有關。

6 結論

本文將四元數理論引入到矢量水聽器信號處理領域，提出了三種基于四元數模型的聲矢量陣MUSIC算法。將二維矢量水聽器輸出數據組成一四元數，用四元數理論構造適用MUSIC算法方位估計公式，并對單、多目標的估計性能和分辨能力進行了仿真，仿真結果與傳統的基于長矢量模型的MUSIC算法進行了比較，得出了以下結論：

1）基于四元數的MUSIC算法的內存占用量是傳統長矢量算法的2/9，數據表達方式更加緊湊，利于算法的快速實現；

2）與長矢量算法相比，基于四元數的MUSIC算法有更強的相干目標分辨能力，在近距離目標定位與跟蹤方面有較好的應用前景。

3）基于四元數模型的Q-PV和Q-PVV算法由于同時利用了矢量陣輸出的聲壓與振速信息，對目標的DOA估計精度和分辨能力均優于僅利用振速信息的Q-VV算法，有一定的工程應用前景。

需要說明的是，由于對四元數矩陣進行SVD分解時會產生共軛成對的特征值，對特征值的選擇不當會造成DOA估計結果的“左、右模糊”問題，這一情況可利用（單）矢量水聽器的互譜測向結果來消除。

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Three MUSIC Algorithms Based on Quaternion Model of Vector Hydrophone Array

He Guangjin, Gao Feng

（The Third Military Representative Office in Guangzhou, Guangzhou 510000, China）

TB566.21

A

1003-4862（2019）10-0028-05

2019-06-04

何光進（1983-），男，工程師。研究方向：目標檢測與識別。E-mail: gjhe2008@163.com

高峰（1978-），男，工程師，研究方向：信號處理。