以矩形為背景的折疊問題

胡洋洋

【摘 要】圖形折疊問題核心實質是軸對稱性質，也是中考考查軸對稱性質的主要題型，內容涉及求線段長度、角度、面積、三角函數值等，本文主要以矩形為背景，來尋求折疊問題的解題策略。將從低階思維轉向高階思維，讓學生參與變式、自主歸納解題方法策略，從而激發思維活力。

【關鍵詞】折疊;全等形;點的對稱性;模型思想;方程思想

【中圖分類號】G634.6?????? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）24-0271-01

一、設計說明

1.學情分析。

筆者所教班級學生兩極分化較為嚴重，多數學生思維較活躍，主動參與、自主探究意識和能力相對較強，但也有少數學生在知識的理解、應用上尚存在一定不足。

本節課的復習重點是理解軸對稱的性質，掌握以矩形為背景折疊問題的解決方法。難點在于能夠靈活選擇解決矩形為背景的折疊問策略方法。

2.設計思想。

折疊問題的實質是軸對稱變化，而軸對稱是幾何圖形變化的重要內容，在生活和數學學習中有著廣泛應用，在歷年中考中多次涉及。

復習目標確定為通過折疊活動，發現折疊的實質，通過幾個矩形折疊問題尋求解決此類問題的基本策略和方法，形成解題模型。

二、范例設計

1.課堂引入。

請同學們拿出事先準備好的矩形紙片，在BC上找一點F，使AB沿著AF折疊后，B點恰好落到邊AC上。

折好后：（1）向同伴說說你是怎么找的？

（2）試著在草紙上畫出你得到的圖形。

說明：學生解答本題可能更多的通過動手操作來判定，在肯定學生思維正確的基礎上，教學中引導學生在活動中通過現象看本質：折疊的實質就是軸對稱變化。注意引導學生回憶軸對稱的性質：1.圖形的全等性;2.點的對稱性：對稱點連線被對稱軸（折痕）垂直平分。

2.例題講評。

例1（原創）通過引例，我們能得到如下的圖形，如果AB=6，BC=8，你能求出BF的長嗎？

思考：（1）你能用不同的方法求BF的長嗎？

（2）你還能求出哪些量？

說明：本例題設計的目的在于鞏固軸對稱的性質1——圖形的全等性。教師要引導學生看到折疊問題關注全等形，尋找BF所在的直角三角形，由形想數，彩筆標注相等的量。對于能做出一種方法的同學及時表揚，鼓勵。學生可能想到的方法有代數法（前兩種）和幾何法（后兩種）。

（1）尋找折疊后余下的一個直角三角形，利用勾股定理建立方程求線段BF的長度。

（2）利用三角函數。

（3）尋找折疊后余下的兩個直角三角形，利用相似（ΔADC≌ΔCEF）建立方程。

（4）等面積法（求ΔACF的面積，可得CF·AB=EF·AC）

不管學生利用哪種方法，都要提醒學生關注圖形變化中的不變量，用不變的量去求解變的量。思考（2）重點關注面積，三角函數值、角度的求值。

本例題以矩形為背景，引導學生發現關鍵三角形（折疊中“余下”的一個或多個三角形），從不同角度（勾股定理、相似三角形、三角函數、面積）通過建立方程求線段長，體現生長性，學生的思維得到激活，同時進一步理解知識間的聯系，體會方程思想在求折疊問題中的價值，提高學生的認知水平。

變式：引導學生變出類似于例1的題目

說明：通過變式教學強化對“折疊”是一種軸對稱變化的理解，幫助學生形成軸對稱的認識，使學生能夠自覺從數、形兩個層面對“折疊”這類操作性問題進行分析。學生根據已有的知識和活動經驗，可能會畫出一兩種，老師補充一些常見的折疊圖形。

重點引導學生觀察，除全等形外，原矩形“余下”直角三角形個數，進行分類。

“余下”兩個直角三角形：

考慮幾何法（K型相似）

“余下”一個直角三角形：

考慮代數法（勾股定理建方程）

沒有“余下”直角三角形：

考慮構造K型相似

通過變式和分類的過程中，學生知道尋找解決這類題的基本支架——找到折疊“余下”的直角三角形，從不同角度建立方程，有利于學生思維的靈活性。

三、教學建議

本節教學活動中，估計學生會因為對相關圖形的對稱性的應用不太熟練，這就需要教師在教學中注重概念和性質的再梳理，充分暴露學生的思維過程，教師應及時的引導、點撥和總結。在解題思路尋求思路時注重引導學生思考“怎么想到的？”“為什么這樣想？”“從哪個角度思考？”等問題。對于例1的變式，個別學生根據已有的知識和經驗，可能會想到一兩種折疊圖形，教師應及時鼓勵，但是大部分學生會遇到困難，教學時，應及時引導學生通過折一折等活動嘗試，學生不可能想到所有的情況，教師應及時補充。

本節設計的目的是為學生提供解決折疊問題的基本策略，在課堂小結環節應重點強調，折疊問題應該從兩個方面考慮，一個是全等形，一個是點的對稱性。不管從哪個方面都要尋找直角三角形，一個直角三角形時都是利用勾股定理建立方程，兩個直角三角形利用相似建立方程，只不過前一個是K型相似，后一個是斜A型相似。