定角定弦“隱形圓”破解中考壓軸面積最值

楊格瑞

摘 要：在三角形中，如果一條邊確定，這條邊所對的角的度數也確定，這樣的三角形有無數個，此時組成角的頂點有無數個，這些點的運動軌跡是圓上一段弧，因為同弧所對的圓周角相等這個定理，那三角形的這條邊就是定邊（圓中稱之為弦），定邊所對的角的度數確定，這個角就是定角，這就是“隱形圓”中重要的定角定弦模型。定角定弦模型主要解決高最值，周長最值和面積最值問題。

關鍵詞：定角定弦;隱形圓;最值;數學建模

定角定弦問題是初中數學學習的重點和難點問題，也是中考考查的重點。所以近年來，陜西以至全國各地的中考題或者名校的模考題中經常會出現“隱形圓”中“定角定弦”求最值的問題。如陜西省中考真題2016年和2019年，陜西省中考副題2016年和2017年壓軸題。此類問題綜合性強，常常會與三角形，四邊形進行結合起來，隱蔽性強，大多數學生不容易想到，加上部分題目的計算量大，就很容易造成學生的丟分。很多學生面對定角定弦求最值問題時往往無從下手，其實是他們沒有掌握解決這一問題的方法和策略，也就是數學模型，基于此，在2018屆和2019屆初三復習課中，筆者對“隱形圓”中“定角定弦”模型進行潛心研究，旨在探索出解決這類問題的有效措施，并且應用于課堂當中，使得學生在模型中掌握知識和技能，提高解決問題的能力，在中考中得到了很好的應用，學生反映良好。

一、模型建立

圓周角定理推論：同弧所對的圓周角相等。但在一個三角形中，如果知道一條邊和這條邊所對的角，那么利用圓周角定理推論得出點C的運動軌跡是在雙弧上。所以就可以得出“隱形圓”存在的條件：定角定弦，產生“隱形圓”。（如圖1）

二、“定角定弦”模型知識儲備

1.已知線段AB，求作點P，使得∠APB=90°，請作出點P的運動軌跡。分析：直角所對的邊是直徑。依據：定點加定長（如圖2）

2.已知線段AB，求作點P，使得∠APB=60°，請作出點P的運動軌跡。分析：做一個等邊三角形，然后做等邊三角形的外接圓，上下兩個，優弧上所有點和AB組成的角∠APB=60°，此時為雙弧。依據：定邊對定角（如圖3）

3.舉一反三：會做定角為90°的“隱形圓”，那思考一下45°的“隱形圓”怎么做？135°的“隱形圓”？120°的“隱形圓”呢（如圖4）？

三、模型應用

以2019年陜西中考真題壓軸題第三問為例：

25.（本題滿分12分）問題提出 ?1.如圖1，已知△ABC，試確定一點D，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形為平行四邊形，請畫出這個平行四邊形.

問題探究 ?2.如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10.若要在該矩形中作出一個面積最大的△BPC，且使∠BPC=90°，求滿足條件的點P到點A的距離。

問題解決 ?3.如圖3，有一座塔A，按規劃，要以塔A為對稱中心，建一個面積盡可能大的形狀為平行四邊形景區BCDE.根據實際情況，要求頂點B是定點，點B到塔A的距離為50米，∠CBE=120°.那么，是否可以建一個滿足要求的面積最大的平行四邊形景區BCDE？若可以，求出滿足要求的□BCDE的最大面積;若不可以，請說明理由.（塔A的占地面積忽略不計）

分析：1.如圖6，分別找BC、AB、AC中點，由判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，得平行四邊形ABCD1，平行四邊形ABCD2，平行四邊形ABCD3或作平行線方法，或做全等得方法均可得到三個平行四邊形。

2.如圖7，∠BPC=90°，BC=10，定角定弦隱形圓，90°的圓O交AD分別于點P1，P2，此時S△BPCmax在Rt△OP1E中，OP1=r=5，OE=4，∴P1E=3，AP1=2，AP2=8

3.如圖8，點A為平行四邊形對稱中心，BA=50，∴BD=2BA=100（定值），∠CBE=120°，由平行四邊形鄰角互補知，∠BCD=60°，定角定弦隱形圓，以BD為邊，作圓周角為60°的隱形圓圓O，則優弧為點C的運動軌跡，由（1）作平行四邊形BCDE，2S△BCD=S△平行四邊形BCDEmax，當點M為優弧中點時，或OA⊥DB交優弧于點M時，此時S△平行四邊形BCDEmax=2，2S△BCM=2××100×50=5000m2

四、模型總結

定角定弦問題常應用于求線段的“最值”，問題的關鍵就在于找到運動過程中必存在的定線段，及這條線段關于某一動點的張角為定值。由張角的變化，去尋找這三點所構成的隱形圓。找到此處為突破口，建立數學模型，綜合性問題就迎刃而解。“定角定弦隱形圓數學模型”在初三二輪復習時作為“隱形圓”非常重要的模型，他的價值在于積累聯想原型，啟迪解題方向，為隱形圓綜合性問題找到更快更準確的解決方法促進學生數學思維的發展和數學素養的提升。