基于DIC 的爆炸加載下脆性材料裂紋擴展規律的試驗研究*

孫 強，李雪東，姚騰飛，高 淳

（中國礦業大學（北京）力學與建筑工程學院，北京 100083）

目前對爆炸荷載作用下巖石破壞機理的研究主要集中在裂紋尖端的奇異性、應力和應變場變化規律、裂紋的擴展規律這幾個方面。相關的光測試驗研究主要有：動光彈實驗、動焦散線實驗和數字圖像相關法（digital image correlation, DIC）。其中動光彈主要用于應力場的研究：朱振海等[1-2]研究了爆炸波所產生的壓縮應力和拉伸應力對高速擴展的運動裂紋擴展方向和擴展速度的影響；楊仁樹等[3-4]和楊立云等[5]開發了數字激光爆炸加載動光彈實驗系統，實現了對整個斷裂過程的連續觀測；并研究了相向運動裂紋的擴展規律，認為正入射前段壓縮波會使裂紋擴展速度和應力強度因子降低，后端的拉伸波會使裂紋擴展速度和應力強度因子增強。動焦散線的優勢在于解決裂紋尖端的奇異性問題[6]：Kalthoff 等[7]和Ravi-Chandar 等[8]結合斷裂動力學分析了動態載荷情況下裂紋的起裂、傳播和止裂過程，指出當加載速度較高時，起裂的動態應力強度因子會顯著提高；Theocaris 等[9]發現傾斜的邊裂紋在沖擊載荷下，初始裂紋只在拉伸波的作用下成階躍式傳播；李清等[10]結合爆炸加載，研究了爆炸裂紋擴展及其尖端應力強度因子的一般規律；楊立云等[11]發現，壓應力場中爆生裂紋沿最大主應力方向擴展，且裂紋擴展速度越大，裂紋尖端應力強度因子越大。

上述研究為我們開展爆炸加載下應力場和裂紋尖端奇異性研究，提供了豐富的思路和理論基礎，然而，上述方法具有實驗條件要求高，模型材料受限[12-13]，應變場與破裂現象不能同時顯現等缺陷，為此，Peters 等[14]提出了對于不同材料均可獲得全場性應變與位移信息的數字圖像相關法，為我們研究巖石的破壞機理提供了新的研究方法；潘兵等[15-17]提出應用位移場進行局部最小二乘擬合的應變場計算方法，提高了應變場的計算精度；趙程等[18]應用此方法，研究了含節理巖石在單軸壓縮條件下，裂紋的擴展規律，以及裂紋尖端塑性區尺寸的確定；孫強等[19]和楊立云等[20]建立了超高速DIC 試驗系統，并開展相關試驗，在模型材料應變場及裂紋擴展規律研究方面取得了較大進展。

目前，在進行爆炸加載條件下裂紋擴展規律的試驗研究中，考慮慣性效應的動態應力強度因子是重要的破壞參量，這一點在動光彈和動焦散線實驗中均有證實[21-22]。在DIC 實驗方法中，雖然代樹紅等[23]基于最小二乘—牛頓迭代法計算出了沖擊載荷作用下裂紋尖端應力強度因子，但對于超動態條件下考慮慣性效應的應力強度因子計算仍有不足。為此本文采用對稱性試驗模型，開展裂紋尖端位置和應變場信息的同步記錄試驗，并結合斷裂動力學，應用PMMA 材料對裂紋尖端位置、動態應力強度因子計算和裂紋擴展規律等方面進行了試驗研究，以期在該領域的研究進行進一步探討。

1 數字圖像相關法及動態斷裂參量求解

1.1 DIC 試驗原理

數字圖像相關法（digital image correlation,DIC）是將超高速攝影技術和數字圖像相關計算相結合，得到的一種新的試驗方法。基本原理是：通過對試件表面變形前后的數字散斑圖像的灰度矩陣進行相關計算，跟蹤計算點變形前后的空間位置，從而獲得試件表面位移和應變信息的光學測試試驗方法。基本原理如圖1 所示。

圖1 DIC 基本原理Fig. 1 DIC Fundamentals

根據圖1 所示變形前后子區中心P點的坐標關系為：

式中：u為豎直位移，v為水平位移。

根據連續介質力學線性變形理論，一點的位移可以用其臨近點的位移及其增量來表示。因此，參考圖像中Q(x,y)點的位移分量可表示為：

式中：Δx、Δy分別為水平變形和豎直變形。

1.2 不連續問題的處理與子區大小的選取

數字圖形相關法中子區連續均勻變形這一假設，是使用N-R 圖像匹配算法的前提，然而裂紋尖端區域的變形是有間斷的，為此試驗應用VIC-2D 數字圖像處理軟件中的默認閾值處理方法，對不良或可疑的數據進行篩選，以此消除不連續變形問題。具體包括：應用一致性閾值和置信區間，移除中心點四周反向位置不匹配點及協方差置信區域超過閥值的點，以消除不連續的行為（例如裂縫或材料破裂）、散斑圖案前面的障礙物、眩光或反射；匹配閾值將會自動刪除由于光線條件差造成的子集對比度低的問題，以保證更多的有效數據；極端閾值用于消除運動模糊可能導致的高投影誤差、校準不佳等試驗誤差。

子區大小的選取會直接影響試驗的計算精度，對于一定的散斑質量，當位移函數不能準確描述真實變形時，子區越大，位移函數不匹配帶來的測量誤差越大[24]。為了減少誤差，本試驗采用了軟件推薦的最佳匹配置信度子區大小為31×31。

1.3 動態應力強度因子求解

在對動光彈和動焦散線試驗方法的總結中可以了解到，在高速加載條件下，慣性效應為影響材料破壞的重要因素[21-22,25]，不可忽略。但目前在應用DIC 試驗方法進行爆炸加載條件下脆性材料破壞機理和動態應力強度因子計算的研究中，對于慣性力的考慮還有欠缺，為此本文將超高速DIC 試驗技術得到的應變場和位移場與斷裂動力學[26]的理論結合，在動量平衡方程中引入慣性外力，進而應用位移法求得動態應力強度因子，為我們研究高應變率下的動態應力強度因子提供新的計算方法。

對于平面裂紋動態擴展情形下的研究，范天佑[26]在考慮慣性外力的情況下，從彈性動力學[27]基本方程出發，以Lame 勢函數作為基本未知量，給出了Ⅰ型裂紋動態擴展時的應力場和位移場。假設極坐標下勢函數φ(r1,θ1)與φ(r2,θ2)分別為：

通過動量平衡方程求得裂紋擴展速度穩定時，Ⅰ型裂紋尖端附近位移場奇異項表達公式：

式中：ρ 為材料密度。又已知動態應力強度因子定義為

將式（5）中σyy(n)和式（6）帶入式（4）求得位移分量為

以上結果為考慮慣性效應的前提下，裂紋擴展速度穩定時Ⅰ型裂紋的位移分量，但是爆炸加載條件下裂紋的擴展速度總是在振蕩變化著，且由于試驗模型后期受力復雜，裂紋多以Ⅰ-Ⅱ混合型方式進行擴展[10]。為此依據微分原理，將裂紋擴展的整個過程進行微分，得出每一段的裂紋擴展速度v，并引入Ⅱ型應力強度因子：

將式（9）和λn=3/2 帶入公式（4），則位移場主項可以表示為：

在應用位移法進行動態應力強度因子計算時，為了減小裂紋尖端塑性區和三維效應的影響，在大于裂紋尖端區域塑性區rp和試件厚度b的一半，小于K 主導區rk的數據選擇區域內選取了300 個數據點[25-26]（見圖2）。對于平面應力問題：

式中：σy是材料的屈服應力，σ0是加載應力，通過主應力場獲得，a是裂紋半長度。

將所取數據點的位移和位置信息代入式（10），組成超定非線性方程組，應用最小二乘牛頓迭代算法[28]的進行應力強度因子的計算。

2 DIC 動態斷裂試驗

2.1 試驗系統

超高速數字圖像相關法（DIC）試驗系統主要包括：超高速攝影系統、試件加載系統、系統分析軟件三個部分，其中超高速攝影系統包括信號源、補光系統和超高速攝影機，其分辨率為固定值（924×768），幀率為1 000～5×106s-1，圖像采集數量固定為180 張，可滿足爆炸載荷作用下應變場的測試要求。具體布置見圖3～4。

圖3 DIC 試驗系統示意圖Fig. 3 DIC experimental system

2.2 試驗模型

試件材料采用PMMA 材料，在考慮邊界和炮煙影響的前提下，試件尺寸設計為300 mm×300 mm×8 mm；中心開孔直徑為6 mm，兩邊尖角邊長3 mm，角度60°；開孔深度為4 mm。對稱噴涂密度85%直徑為1.2 mm 的散斑[20,29]和白板，如圖5～6 所示。試驗裝藥量為160 mg DDNP。相機拍攝幀率為105s-1。

本文炮孔采取非穿透性鉆孔，孔底平整，孔口用一定厚度的橡膠墊封堵，確保裝藥均勻且密度一致。孔兩側對稱開槽（見圖6），試驗對稱性良好，可重復性高。

圖4 試驗系統布置圖Fig. 4 Experimental system layout

圖5 試驗模型圖Fig. 5 Experimental model

圖6 炮孔開槽模型Fig. 6 Borehole slotting model

3 試驗結果與分析

3.1 裂紋尖端與主應變場的關系

要想通過位移場獲得準確的應力強度因子，對裂紋尖端位置及尖端區域數據點的選擇是至關重要的。為此Withers 等[30]和Du 等[31]通過沖擊試驗對取點數量、取點位置和取點范圍做了大量的研究，為我們應用DIC 試驗方法進行裂紋尖端位置數據點的選取，奠定了很好的基礎。然而，現階段對裂紋尖端的定位并不能直接獲得，多以主應變場的應變最大值點作為判斷依據，此法是否能夠真實反映裂紋尖端的位置，尚未可知。基于此為了探究裂紋尖端和主應變場的對應關系，本試驗采取了對稱式的試驗模型。試驗結果顯示，應用此方法可以清晰的拍攝到裂紋的尖端位置和裂紋擴展路徑（見圖7），且在保證裝藥均勻的條件下，從開槽頂端算起，兩側裂紋擴展總長度分別為78 和79 mm，偏轉角度均為9.8°，呈現出較好的對稱性（見圖8～9），因此可以依據白板一側裂紋的尖端位置對另一側進行定位。

圖7 裂紋擴展過程Fig. 7 Crack propagation process

圖8 爆炸后實際裂紋圖Fig. 8 Actual crack after explosion

圖9 裂紋與主應變場對應圖Fig. 9 Correspond between crack and main strain field

通過對主應變場與裂紋尖端位置的對應分析，裂紋在135 μs 后雖然已經停止擴展，但由于受到后續能量的影響，在135 至149 μs 內裂紋尖端的應變仍在增加，但并未再次開裂。149～154 μs 時間內裂紋保持穩定，之后裂紋尖端應變場開始減弱，163 μs 后應變場再次穩定，且穩定時的應變場與135 μs 時基本一致（見圖10）。這種應變場先增強再減弱，最后與增強前保持一致的現象，在裂紋擴展的整個過程都有出現，而這個現象發生過程中裂紋尖端的位置始終沒有改變。因此可知，不能單純依靠應變場的應變最大點，作為裂紋尖端位置的判斷依據，而對稱式試驗模型為我們解決尖端的定位問題，提供了比較有效的試驗方法。除此之外在后期的研究中我們還可以應用兩臺高速相機，通過雙面拍攝方法解決此類問題。

圖10 止裂后裂紋尖端應變場變化云圖Fig. 10 Cloud diagram of strain field change at crack tip after crack arrest

3.2 裂紋擴展規律的試驗分析

3.2.1 裂紋擴展速度和擴展長度的計算

試驗所得y方向應變εyy 云圖和主應變ε1云圖，見圖11。

分析應變云圖可知（見圖11），30 μs 時起爆，31 μs 爆炸波傳播現象明顯，經過短暫的能量積聚，從預制裂紋處開始起裂，爆炸34 μs 后開始記錄到比較明顯的裂紋。以每10 μs 擴展長度值對裂紋的整個擴展過程進行累加，求得裂紋擴展總長度為57.5 mm，與測量所得最終試驗結果57 mm 基本一致（見圖12～13）。

由每個微分段的擴展長度除以時間，求得每段的裂紋擴展速度（見圖14），以34 μs 時為起點，起裂10 μs 后裂紋的擴展速度大約為1 167 m/s，裂紋擴展長度為11.67 mm，隨著能量的釋放，裂紋擴展速度逐漸降低為500 m/s。之后由于炮煙的作用能量重新積聚，裂紋重新起裂并以1 000 m/s 的速度繼續擴展，隨后裂紋速度又開始逐漸降低為170 m/s。20 μs 后能量再次積聚，裂紋速度加速至833 m/s，最后穩定在500 m/s，直至裂紋擴展停止。

圖11 應變云圖Fig. 11 Strain cloud map

圖12 裂紋擴展長度Fig. 12 Crack extension length

圖13 測量裂紋擴展長度Fig. 13 Measures the crack extension length

圖14 裂紋擴展速度圖Fig. 14 Crack expansion speed

圖15 動態應力強度因子Fig. 15 Dynamic stress intensity factor

3.2.2 應力強度因子變化趨勢

依據試驗結果計算出裂紋尖端動態應力強度因子KⅠ的最大值為2.63 MPa·m1/2，最小值為0.89 MPa·m1/2，穩定時基本維持在1.2 MPa·m1/2。如（圖15）。擴展過程中，其在54 μs 時突然增大，這主要是前期爆炸過程中裂紋尖端能量積聚的作用結果，之后裂紋穩定發展，整體變化趨勢較為平緩；84 μs 裂紋擴展到35.1 mm，理論計算結果應力強度因子KⅠ、KⅡ均發生了突變，結合實際裂紋測量時我們發現，35 mm 處正是裂紋擴展方向偏轉點（見圖13），即突變是裂紋擴展方向改變造成的。這種理論計算與試驗結果相契合表明，試驗后期試驗模型受復合力的影響，裂紋會以Ⅰ-Ⅱ混合型方式進行擴展。而124 μs時在動能和反射應力波共同作用下，裂紋尖端能量再次積聚，應力強度因子增大，則再次驗證了爆炸加載條件下裂紋的擴展總是在振蕩變化。

3.2.3 與焦散線試驗結果的對比分析

對比焦散線試驗結果可知，KⅠ的整個變化趨勢基本符合文獻[24]中爆炸載荷下脆性材料動態裂紋尖端應力強度因子的分布規律（見圖15）。即先急速增加在減小，之后呈振蕩遞減，但在裂紋循環破壞過程中，起裂和止裂時具有相對較大值，這除了與試件模型和裝藥結構有關以外，還可能有以下原因：前期裂紋擴展速度快，動能較大，導致了KⅠ值的突變；后期雖然裂紋擴展動能減弱，但其與反射應力波能量共同作用，使得KⅠ值再次升高。

由此我們可以推測，裂紋的擴展并不是一蹴而就的，而是能量積聚到能量釋放的循環階梯式破壞過程。且爆炸加載條加下試驗模型后期受力復雜，裂紋擴展方向發生改變，此時以Ⅰ-Ⅱ混合型裂紋作為分析對象更為合理。

4 結 論

本文應用DIC 試驗方法，通過記錄斷裂過程中裂紋尖端位移場和應變場的變化信息，以斷裂動力學為理論依據，對爆破加載條件下脆性材料的裂紋擴展規律進行了試驗研究。主要結論如下。

（1）采用對稱式試驗模型實現了裂紋尖端的直觀定位，并通過與主應變場的對比分析獲知，裂紋尖端位置并不總在主應變場的應變最大處。因此，不能將主應變場中應變最大值點作為裂紋尖端位置的判斷依據。

（2）依據獲取的裂紋尖端位置求得裂紋擴展速度，結合裂紋尖端應變場和位移場的信息，應用微分原理和最小二乘牛頓迭代法計算出考慮慣性效應的Ⅰ-Ⅱ混合型動態應力強度因子，從而可以更好的分析脆性材料破壞時的整個動態過程。

（3）動態應力強度因子KⅠ在54 和84 μs 時發生突變，由此可知，爆炸加載條件下脆性材料的破壞并不是一蹴而就的，而是能量積聚到能量釋放的循環階梯式遞減破壞。在84 μs 由于裂紋擴展方向發生變化，KⅠ和KⅡ同時增大，表明此時試驗模型受復合力的影響，裂紋會以Ⅰ-Ⅱ混合型方式進行擴展。

（4）通過裂紋擴展長度、應力強度因子變化趨勢與實際試驗結果的對比分析可知，此試驗方法試驗精度較高與理論計算結果能夠較好的匹配，具有可行性，為后期應用DIC 試驗方法開展超動態加載條件下巖石材料的裂紋擴展規律，提供了試驗方法和理論依據。