橫向爆炸載荷下薄壁圓管的動態響應*

于博麗，馮根柱，李世強，劉志芳

（1. 太原理工大學應用力學研究所，山西 太原 030024；

2. 太原理工大學力學學院材料強度與結構沖擊山西省重點實驗室，山西 太原 030024）

薄壁構件廣泛應用于建筑、航空航天、采礦、軍事等領域。由于現代技術工程的發展安全要求，此類結構在沖擊載荷作用下的動態響應也引起了關注。發生爆炸時工程結構的安全可靠性已逐漸成為人們關注的重要問題，但由于結構響應復雜、隨機變量多，使得爆炸載荷作用下工程結構的理論分析有一定難度。工程結構中圓管結構受各種沖擊載荷的作用，人們對它的變形機理和能量吸收進行了研究。

Payton[1]基于爆炸沖擊波為平面波的假定，研究了無限長圓柱殼在瞬間聲波沖擊下的彈性動力響應問題。Menkes 等[2]研究了橫向沖擊載荷作用下的梁，結果表明，隨著沖量的增大，結構的破壞模式發生變化，且變化規律一般是從塑性失穩過渡為剪切破壞。結構的彈塑性動力響應問題已經得到比較廣泛而深入的研究[3]。Wegener 等[4]研究了沖擊荷載作用下方形截面空心簡支鋼質梁的力學行為，采用數值分析導出了半經驗解析解來確定梁的變形模式。Wierzbicki[5]提出了基于地基梁模型預測沖擊和爆炸載荷作用下圓柱體破壞的分析方法。Hoofatt 等[6]提出一種將圓柱殼的二維邊值問題轉化為等效的非線性塑性地基上塑性弦的一維問題的通用方法。對于矩形壓力載荷和高斯壓力載荷兩種壓力載荷，得到了殼體軸向變形和速度場的封閉解及各載荷情況下的應變分布和最大應變，并簡要預測了殼體斷裂的可能性。Yu 等[7]利用膜力因子法，分析了質量塊作用下剛塑性地基梁的動態變形。Yuen 等[8]通過一系列實驗和數值模擬，研究了外部局部爆炸載荷作用下圓柱殼的響應，解析解低估了永久中點撓度，與數值模擬結果具有良好的相關性。Jama 等[9]通過實驗研究了橫向爆炸載荷下鋼質空心方形截面梁的動態響應，并進行了理論分析；Bambach[10]在橫向爆炸載荷作用下對鋁質梁進行實驗研究，提出了一種半經驗的解析解，給出了一種基于最終永久變形或失效載荷的通用設計方法。Karagiozova 等[11]研究了橫向爆炸載荷作用下空心正方形截面梁的變形與能量吸收，理論分析結果與已有文獻中的實驗結果取得了較好的一致性；Karagiozova 等[12]采用剛塑性分析法，研究了沖擊載荷對空心圓形梁的動態響應的兩相變形模型，將爆炸沖擊近似為脈沖載荷，假設在第一變形階段同時發生局部和整體變形，第二階段只發生整體彎曲變形。

綜上所述，爆炸載荷下薄壁管動態響應的研究主要集中于理論分析與數值模擬，理論分析主要是通過剛塑性梁模型或模態分析法來預測橫向爆炸載荷下梁中點的撓度。本文中，采用實驗研究、理論分析和有限元模擬相結合的方法，研究橫向爆炸載荷下圓管的動態響應。利用彈道沖擊擺錘系統，對圓管在橫向爆炸載荷下的動態響應進行實驗研究；基于理想塑性地基上剛塑性梁模型，采用模態分析法研究圓管變形模式，推導橫向爆炸載荷作用下圓管跨中撓度的解析解；采用有限元模擬，分析脈沖加載下圓管的變形模式，研究不同的脈沖與圓管的直徑、厚度對其跨中撓度的影響。

1 實驗研究

1.1 實驗裝置

圖1 沖擊擺錘系統Fig. 1 Ballistic pendulum system

圖2 圓管殘余變形模式Fig. 2 Residual deformation modes of circular tubes

表1 試件幾何參數和實驗沖量與理論沖量對比Table 1 Geometrical parameters and comparison of the experimental and theoretical impulses

由激光位移傳感器Micro-Epsilon LD1607-200 測得圓管跨中位移，可計算系統沖量：

為了消除變量的量綱效應，定義一個無量綱沖量：

式中：L、D、h分別為圓管的長度、外徑與厚度。

1.2 實驗結果討論

實驗結果分為兩組：（1）定量結果，包括圓管上的沖量IE、跨中的永久撓度w；（2）試件的變形破壞模式。圓管在不同爆炸加載條件下的實驗結果見表1。

圓管的失效有3 種不同的失效形式。第1 類是局部塑性變形模式（見圖2 試件Ⅰ變形）；第2 類是菱形形狀的大的塑性變形（見圖2 試件Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ變形）；第3 類是圓管大的非彈性變形[8]。當TNT 放置距離一定時，前面區域的破壞區和跨中永久撓度隨炸藥量的增加而增加。從圖2 可以知，在圓管上半部分頂部有一個扁平的區域并存在著面內屈曲，而圓管下半部分仍然保持原始形狀。對稱面上半部的撓度沿軸線逐漸減小，圓管下半部分沒有明顯的變形。

2 理論分析

2.1 爆炸載荷

對于爆炸載荷作用下的圓管結構，假設由爆炸引起的脈沖的近似方程為[14]：

式中：p0為爆炸載荷峰值，衰減常數τ=50 μs[15]，f(x)與g(x) 分別為軸向和圓周方向的初始壓力分布函數。取f(x)=cos2(πx/L)[5]，g(θ)=sinθ[12]，則爆炸沖擊載荷為：

式中： 0 ＜x＜L/2 ， 0 ＜θ＜π/2 。圓管受爆炸載荷作用如圖3（a）所示，周向壓力分布如圖3（b）所示。

圓管上施加的總脈沖表示為：

根據大量爆炸實驗[16]，爆炸產生的超壓 ΔpΦ（單位為kg/cm2）為比例距離（單位為m/kg1/3）的經驗函數：

式中：H為炸藥距離，pΦ為 沖擊波陣面壓力，pa為大氣壓。反射爆炸超壓為：

實驗結果與理論分析結果的對比見表1，其中沖量IE為實驗結果，壓力峰值p0=ΔpΦr=ΔpΦr×0.1 MPa，超壓 ΔpΦ和比例距離由式（6）計算得到，總沖量IT與ΔpΦr分別由式（5）、（7）給出。由表1 可知，超壓 ΔpΦ的計算結果均小于40 kg/cm2，式（7）適用。當ΔpΦ＞40 kg/cm2時，不在本文的研究范圍內，式（7）也不再適用。

圖3 爆炸載荷下的圓管幾何模型Fig. 3 Geometry of circular tube under blast loading

2.2 初始速度場

圓管受爆炸載荷作用時，在載荷作用區域及其附近周圍的殼面將產生大的塑性變形和轉動，精確的分析相當復雜。通常利用薄壁圓管受局部沖擊作用下的響應主要是軸向拉伸及環向變形的特點，將它類比為地基梁模型來計算。對于有限長薄壁圓管在橫向爆炸載荷下的動態響應，采用理想塑性地基上剛塑性梁的模型進行分析，如圖4 所示。

圖4 爆炸載荷下圓管剛塑性地基梁Fig. 4 Rigid-plastic beam-on-foundation of the circular tube under impact loading

根據方程(4)給出的爆炸載荷形狀，假設初始速度場v(0)(x,θ) 為：

式中：v0為跨中的初始速度，f*(x) 與g*(x) 分別為軸向和圓周方向的初始速度場函數，并且根據爆炸載荷方程取為f*(x)=cos2(πx/L)，g*(θ)=sinθ 。作用在圓管上的橫向動量 Ω 為：

式中：mA=ρh 為圓管上半部分的面積質量。根據 IT=Ω ，可給出跨中的等效初始速度：

2.3 圓管的跨中撓度

假設地基梁符合如下屈服準則：

Mp=σsD2hNp=σsπhD

式中： 為圓管截面的塑性極限彎矩， 為圓管的塑性極限軸力。

根據塑性理論中關聯流動法則，廣義應力與應義應變率具有相互正交的關系，由Drucker 公設，得出

k*2(x)

因此， 可以表示為：

將式（14）、（15）和（17）和屈服準則代入式（13），可得：

式（20）表明，跨中撓度取決于 λ 、 η 、In。圖5 給出了當In=0.35、 λ 為3.15 和3.68 時的對比圖，跨中撓度隨 η 的增大而減小。圖6 給出了In=0.35、 η 為0.008 和0.011 時的對比圖，跨中撓度隨 λ 的增大而增大。

圖5 In=0.35 時無量綱撓度-無量綱量 ηFig. 5 Non-dimensional deflection and non-dimensional quantity η at In =0.35

圖6 In=0.35 時無量綱撓度-無量綱量 λFig. 6 Non-dimensional deflection and non-dimensional quantity λ at In=0.35

3 有限元模擬

3.1 模型的建立與驗證

3.2 有限元模擬結果與討論

圖7 給出了試件Ⅲ的數值模擬最終變形模式與實驗最終變形模式。由圖7 可知，結構整體變形模式與有限元結果吻合較好，但由于實驗中炸藥產生的載荷非常復雜，同時伴隨有高溫高壓環境，有限元結果中并未觀察到與實驗類似的面內屈曲變形。圖8 給出了4 組不同壁厚的試件在不同脈沖荷載下跨中撓度的理論預測、實驗測試和數值模擬結果。由圖8 可知，理論預測、數值模擬結果與實驗測試吻合較好，表明所建立理論分析模型是合理的。在此基礎上，研究了不同脈沖載荷下圓管的幾何參數對圓管跨中撓度的影響，詳細的參數與模擬結果見表2。由表2 可知，隨著圓管厚度及脈沖荷載的增大跨中撓度增大，隨著圓管外徑的增大跨中撓度減小，因此脈沖載荷和幾何參數對圓管變形和跨中撓度有較大影響。由表2 可以看出，理論結果與數值模擬結果、實驗結果之間存在一定的誤差：原因可能是由于實驗中材料發生較大的塑性變形時產生了一定的應變硬化；并且理論與數值模擬中并未考慮裝藥量、形狀以及裝藥距離與實際的超壓峰值及分布規律之間的非線性關系，這也是造成誤差的原因。

根據無量綱分析理論，當 λ =3， η =0.01 時，取D=100 mm，L=300 mm，h=1 mm 和D=50 mm，L=150 mm，h=0.5 mm 兩種尺寸的試件進行數值模擬。通過無量綱沖量In計算p0，由式（2）可得：

由IE與IT近似相等，代入式（5）可得：

圖7 實驗與數值模擬變形模式對比Fig. 7 Comparison of numerical deformation modes with experimental result

4 結 論

采用實驗研究、理論分析和有限元模擬相結合的方法，分析了在橫向爆炸載荷作用下圓管的動態響應，對比分析了圓管的幾何參數與圓管跨中撓度之間的關系，并通過實驗研究、數值模擬驗證了理論分析模型的合理性。結果表明：隨著TNT 藥量增加，圓管的變形區域和跨中撓度增大；基于完全塑性地基上剛塑性梁模型，利用模態分析法給出了橫向爆炸載荷下圓管中點撓度的解析解，圓管的長徑比、厚度及爆炸載荷參數是影響圓管的變形模式的主要因素，通過無量綱分析得到了無量綱長度 λ 、壁厚η 以及無量綱沖量In對跨中撓度的影響規律，隨著無量綱長度 λ 及無量綱沖量In的增大，跨中撓度增大，隨著無量綱量壁厚 η 增大，跨中撓度減小；理論預測、數值模擬結果與實驗研究結果吻合較好。