思悟數學的教學探索*
——以“函數”教學為例

龐彥福

思悟數學，思什么？悟什么？當下，很多的數學教學成了“解題教學”，數學學習變成了“做題目”。學生做了很多數學題，但學生對數學的認識與理解并未水漲船高，學生的數學學科素養并未得到提升。面對如此的教學，學生的作業、考試的試卷必然出現這樣那樣的問題或錯誤。不少學生、家長乃至有的教師把學生本不該出現的問題與錯誤當成了“失誤”。其實這種“失誤”是嚴重的錯誤，是缺少理性思考的錯誤，是對數學知識沒能理解的“失誤”。要減少或克服這種“失誤”，需要的是對數學內容的深度思考、理解與體悟，故筆者簡稱為“思悟數學”。思，要思是什么，為什么是什么，為什么不是什么；悟，要悟過程，悟規律，悟原理，悟本質。

“函數”是中學數學的重要內容，是數學中最重要的基本概念之一，同時也是學生普遍感到難學、難懂，教師普遍認為難教的內容。“函數”在蘇科版教科書中屬于八年級上冊內容，第一節“函數”內容主要涉及常量、變量以及函數的定義。鑒于函數定義的抽象性，而且又是初中階段重要的數學內容，是基本的數學概念，筆者將“函數”的教學價值，定位于：厘清函數概念，讓學生思悟“什么是函數”“函數是什么”，同時將“體悟世間萬物的‘變’與‘不變’”以及“領悟‘對應’的內涵”作為本節課的教育價值。

一、教學理解

1.概念本質。

高屋建瓴地弄清數學概念的“外部”關系，精確地把握數學概念的“內部”結構［1］，是數學教學有望獲得最佳效果的根本保證。何謂“概念”？“概”，古代一種量具用詞，表示對古代量具“斛”的滿量狀態做出校準，就是大略、總體或概括；念，就是想法、看法或觀點。概念就是人們對于一件事情或某種現象的大概總括的認識，是反映并確定客觀對象的本質屬性的思維形式。人類在認識過程中，從感性認識上升到理性認識，把所感知的事物的共同本質特點抽象出來，進而形成概念。

概念是思維的基本單位，數學概念是人類智慧的結晶，是數學邏輯的起點，是學生認知的基礎，是數學教學的核心，概念教學是中學數學教學中至關重要的一項內容，是基礎知識和基本技能教學的關鍵，正確理解概念是學好數學的基礎，學好概念也是學好數學最重要的一環。數學概念的形成是由特殊到一般、由具體到抽象的過程。如果僅靠記憶的方法學習數學概念，是難以理解其本質的。

2.函數概念。

世界是運動變化的，函數是研究運動變化的重要的具有普遍意義的數學模型，其概念是從現實情境的具體問題抽象出來的：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x 和y，并且對于x 的每一個確定的值，y 都有唯一的值與其對應，那么我們就說x 是自變量，y 是x 的函數。我們剖析函數概念的本質，可以知道函數既來源于實際需要，又是數學自身發展的需要，是由常量數學過渡到變量數學的標志。理解函數概念應厘清：它是一個變化過程；它存在兩個變量；它是一種唯一對應關系（即“單值對應”）。這種“聯系變化和單值對應”［2］就是函數概念的本質特征——函數不是數，而是一種對應關系。

理解函數之前的鋪墊應是適當的、自然的。對于所設置的問題情境，要體現“兩個變量互相聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就有唯一確定的值與其對應”。還要讓學生明白：“常量和變量是相對變化過程而言的，有時可以相互轉化；如在s=vt 中，若s 一定，則v、t是變量，若v 一定，則s、t 就是變量。”

認識和理解函數的概念需要一個過程。佛教中的“看山是山，看水是水”，可以看作是對函數概念學習過程的朦朧認識，是“聞而信之”的過程；“看山不是山，看水不是水”，是“學后辨之”的過程，但仍是云里霧里的；“看山仍然山，看水仍然是水”，是指通過辨析理解內化之后到了能夠“舉一反三”的層次。認識和理解函數概念應遵循“循序漸進”“螺旋上升”的原則。［3］

二、教學實施

1.從已有知識中回顧。

初中數學的學習過程中，函數內容出現之前，已有了函數思想的影子。課堂上，教師不妨通過回顧、對話的方式喚醒知識，喚醒學生。在導入新課的過程中，從已經學過的知識入手，尋找與函數思想相關聯的知識，進而為新知識學習進行鋪墊，營造學習、探究的良好氛圍，實現“學”“思”“悟”的潤物細無聲。

師：七年級上冊“3.1 用字母表示數”，譬如字母x 表示某班級的人數，其實x 是變化的，是不確定的，但是它又是確定的，這已經是函數思想的萌芽。大家想想：我們學過的內容里還有哪些知識能夠體現函數思想？

生1：“3.3 代數式的值”中，在一個代數式中，當字母取值變化時，代數式的值也隨之而變化，若給字母一個值時，代數式的值也隨之確定，這應該是能夠體現函數思想的。

生2：二元一次方程中，比如2x-y=5，如果寫成y=2x-5，y 就會隨著x 的變化而變化，又隨著x 的確定而確定，從變量的角度來看就是函數。

師：同學們的思考是正確的，很有價值，這些充分說明，函數思想不僅體現在函數概念學習之后，在學習函數概念之前，早已存在于我們學習過的內容里。

事實上，函數統領著代數式、方程、不等式，函數解析式中“=”的一側通常就是以代數式的形式呈現，用未知數的觀點看函數關系就是方程，不等式就是兩個函數之間關系的表示。八年級下冊要學習的“分式”一章中，探索分式有意義的條件相當于探索自變量的取值范圍，探索分式值為零的條件相當于已知函數值求自變量x 的值。因此，我們在函數教學的前和后，都應滲透函數聯系、變化與對應的本質，使函數概念的理解與內涵貫穿于整個函數內容的全過程，用函數的觀點來審視有關函數內容。

在后續學習一次函數（包括正比例函數）、反比例函數、二次函數及銳角三角函數概念時，切忌出現“忘根”現象［4］，而是應該隨著這些特殊函數的學習，進一步豐富和充盈函數概念，并將其內化和深化，使已有的函數概念推進一次函數、反比例函數、二次函數及銳角三角函數概念的教學。

2.從實際問題中抽象。

教科書中安排了豐富的可選用問題情境和學習資源，另外《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“2011 年版課標”）中的3 個例子對認識和理解函數概念是具有普遍意義的。［4］

【例1】小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900 米的報亭，母親隨即按原速度返回。父親在報亭看了10 分報紙后，用15 分返回家。圖1 中哪一個表示父親離家后距離與時間之間的關系？哪一個表示母親離家后距離與時間之間的關系？

圖1

生1：圖（2）表示的是母親離家后距離與時間之間的關系，清楚地看出從家到報亭與回來都是20 分走了900 米，速度一樣；圖（4）表示的是父親離家后距離與時間之間的關系，出去用20 分走了900 米，在報亭看報10 分，回來用了15 分。

師：對于圖（1）和圖（3）怎么解釋呢？

生2：觀察圖形可以看出：圖（3）出去走了900 米用的時間是30 分，時間不對；圖（1）中從20 分～40 分，是20 分，而爸爸是看了10 分報紙，時間也不對，而且回來的時間不明了。

師：分析得很好，體現出了“距離”隨“時間”“變化而變化”“確定而確定”的變化及對應關系，厘清了問題中的函數關系。

【例2】某書定價8 元。如果一次購買10 本以上，超過10 本部分打八折。分析并表示購書數量與付款金額之間的函數關系。

師：同學們，該怎樣表示這種函數關系呢？

生1：可以列表格：

?

師：如果設購書數量為x 本，付款金額為y元，那么怎樣表示這種函數關系呢？

生2：當x＜10 時，y=8x；當x＞10 時，y=8×10+6.4（x-10）=6.4x+16；當x=10 時，y=80。

生3：也可以把x＜10 和x=10 放在一起，即當x≤10 時，y=8x；當x＞10 時，y=6.4x+16。

師：完全可以，更簡捷一些。隨著學習的不斷深入，這種函數關系，可以列成表格，可以寫出變化的關系式，還可以畫出函數的圖象，大家可以比較、辨別，從而選擇適宜的方式進行表達。

【例3】甲乙兩地相距20 千米。小明上午8：30 騎自行車由甲地去乙地，平均車速為8 千米/時；小麗上午10：00 坐公共汽車也由甲地去乙地，平均車速為40 千米/時。分別表示兩個人所用時間與距離的函數關系，并回答誰先到達乙地。

……（因版面所限，教學過程略）

2011 年版課標是教材編寫的依據，是教學的綱領性文件，教師多研讀它才能更好地理解教材、理解學生及理解教學。以上3 個例子都是從數量的角度反映變化規律和對應關系，它們的共同特征：（1）是一個變化過程；（2）都有兩個變量，而且變量之間是相互聯系的，一個變量的變化會引起另一個量的相應變化；（3）其中的一個變量取一個確定的值，另一個變量就有唯一確定的值與之相對應（即“單值對應”）。這些恰好體現了函數思想的本質。

3.從變與不變中探尋。

函數研究的是兩個變量之間的數量關系：一個變量的取值發生了變化，另一個變量的取值也發生變化，這就是函數表達的數量之間的對應關系。［5］例1 和例3 的兩個變量中，都蘊含著“一個量隨另一個量的變化而變化”。所揭示函數概念的本質是：兩個變量之間的一種特殊的對應關系。函數概念所反映的基本思想是：運動變化。用函數概念建立模型，研究客觀現實的變化規律的基本方法是：用數量關系表示變量之間的依賴關系，并通過數及其運算等去研究變化規律。函數的變化規律與對應關系具有三個顯著特征（即核心思想）：（1）自變量的取值是有意義的（譬如實數或者是某個范圍）；（2）因變量（即函數值）的取值是唯一的；（3）必須借助數字以外的符號來表示函數。從后續學習中容易知道，關于符號的表達，也就是解析式、圖象以及列表。

函數與方程、不等式是從不同角度刻畫變量之間的數量關系，它們之間既有關聯又有本質的區別。例如y=2x-3，是一個函數。若令y=0，表面上看，y=0 與2x=3 是等價的，但是，二者表達的意義是不同的，y=0 表示函數的值為0，而2x=3 表示的是變量之間的等量關系。同樣，y＞0與2x＞3 表達的意義也是不同的。

4.從辨析過程中內化。

概念的應用是概念學習的最高層次，對函數概念的理解往往需要借助于具體的例子。當教學中通過現實中的事例抽象出函數定義之后，不妨讓學生舉（編）例子來內化對函數概念的理解。

師：既然同學們知道了什么是函數，請大家列舉出你理解的熟悉的函數來。

生1：上周末，我們家出去玩，爸爸給汽車加油時，我觀察加油表上的數字，油價是7.13元/升，加油過程中的金額w（元）與加油量x（升）之間可以表示為w=7.13x，金額w 與油量x就是函數關系。

師：在加油的變化過程中，有兩個變量——加油量x 與金額w，且變量x 與w 之間是相互聯系的，一個變量的變化會引起另一個量的相應變化，當一個變量取一個確定的值時，另一個變量就有唯一確定的值與之相對應，的確是函數，很好。

圖2

圖3

師：的確是函數關系，很好。

師：同學們能舉出不是函數的例子嗎？

生3：對于變量x，y，若y2=x，當x=4 時，y 有2 和-2 兩個值，不是唯一的，所以y2=x 不是函數。同樣|y|＝x 也不是函數。

生4（多次舉手）：我畫的是圖形，圖2 的圖象表示的不是函數。

師：這個圖象怎么不是函數呢？能說得具體些嗎？

生4：如圖3，設l1、l2都是和x 軸垂直的直線，從l1與圖象的交點看，當x 取定一個數值時，y 有唯一的值與之對應；但是從l2與圖象的交點看，當x 取定一個數值時，y 有3 個值，已經不是單值對應，當然就不是函數了。

師：很好，一個好的反例的確很有殺傷力。

……

三、教學反思

函數概念是初中數學重要的基礎課，基礎課就是種子，是胚胎，是生長，是成長，是發展，是光源，是方向，是引領。數學學習要做到“認識本真、體悟本質、增長智慧”，就必須讓學生“思”讓學生“悟”。函數概念本來就是難啃的硬骨頭，如果不給學生思悟的空間和時間，就算教師備課時設計出了“高思維度”的有效素材，也難以使教學有效。只有激發學生學習的興趣，引發學生思考，才能讓學生進入深度學習的狀態。

函數是研究運動變化的重要數學模型，初中階段，函數定義是一種“變量說”（或“變化說”），到了高中，采用的對應、映射，故是一種“對應說”。“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中。”為什么會感覺云山霧罩的？因為還在半山腰，當到了頂峰，便是“會當凌絕頂，一覽眾山小”。函數概念的學習正是這樣的經歷過程。

高中階段對函數的定義一般是：“一般地，設A、B 都是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A 中的任意一個數x，在集合B 中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→B 為從集合A 到集合B 的一個函數，記作y=f（x），x∈A，其中x 叫自變量，x 的取值范圍A 叫做函數的定義域，函數值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數的值域。”所以說，高中數學凸顯的是“對應”。其實，高中函數定義的“對應說”這與初中階段研究函數的“變量說”并不矛盾，而是一致的。大千世界中唯一不變的就是“變”。函數凸顯的是“變”，但本質是“對應”。［6］

函數中從“特殊到一般”的思想、建立模型的思想、運動變化的思想以及數形結合的思想等是數學中常用的思想方法與技巧，學習中，應慢慢體味。“從辨析過程中內化”環節，讓學生根據自己的經驗和理解舉例子的過程，是學生加深理解與內化的過程，俗話說“一個好例子勝過一千條說教”就是這個道理。認識函數、理解函數，是一個循序漸進、螺旋上升的過程。當然，教師教學更應螺旋式設計、生長式實施、遞進式追問。遞進式追問還應注意基礎性、層次性以及適宜性。教學過程中，要給學生“想”的空間，“悟”的時間，“潤”的氛圍，讓思悟數學落地生根。