淺析向量在數學解題過程中的應用

摘要：向量作為高中數學重要的知識點之一，其既可視為代數問題，又可視為幾何問題，具有雙重性，是高考中的常客，無論是選擇題、填空題，還是解答題中均有體現，應引起學生們的高度重視。本文從向量的基本知識點入手，進一步分析其在數學解題過程中的應用。

關鍵詞：向量? ?代數問題? ?幾何問題

向量作為一種基本的解題工具，常被應用于其他常考知識點中，如不等式、數列等代數問題，平面幾何、立體幾何等幾何問題。要想熟練運用這種工具，就必須牢固掌握其基本知識，做到活學活用。

一、向量的基本知識點

向量是兼具大小和方向的量，一般用? ? ?或? 表示，其長度大小又稱為向量的模，用? ? ?或? ?表示。當然，在高中向量知識中，最長常用的時候坐標表示? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。下面對向量中的常用知識進行了簡要總結。

向量基本運算：設? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，那么

;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。在加減、數乘運算上，基本沒有變化，但對于向量的乘法就與之前所學的有很大不同。? ? ?稱為向量的叉乘、外積，它不滿足常用的交換律與結合律，具體表現為：? ? ? ? ? ? ? ? ? ;? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而

;而? ? ? 稱為向量的點乘、內積，其計算公式為：

。因此，在進行向量的乘法計算時需格外注意，需區分是叉乘還是點乘。

向量平行定理（不考慮零向量）：向量? 與向量? 平行的充要條件為? ? ? ? ?且? ? ? ? ? 。

向量垂直定理（不考慮零向量）：向量? 與向量? 垂直的充要條件為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

通過對向量基本知識點的簡要分析，易知用向量的代數計算可以反應向量的幾何關系，且還能進行角度的分析，這就可以用坐標表示向量，進而將其與幾何關系聯系起來，這種方法也是求解幾何問題最常用方法之一，尤其體現在立體幾何中。

二、向量在解題過程中的具體應用

高中數學習題主要可分為代數問題與幾何問題兩大類，在這兩類問題中，均有向量的用武之地。下面就以具體的習題來闡述向量的基本知識在解題過程中的應用。

（一）代數問題

例題1：證明對任意實數a、b、c、d，均有

。

解析：這道題雖然字母較多，但證明起來并不難，正常展開即可。當然，由于題中既有平方和的形式，又有相互乘積之和的形式，與向量的模長與內積形式一致，因此，不妨設向量? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，且? ?與? 的夾角為θ，應有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，對兩邊同時取絕對值，有? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。因為? ? ? ? ? ? ?，所以

，即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，證明完畢。可將這一關系做進一步延伸，可推廣到一般情形即

。

上述這一延伸結論可以作為不等式證明的一種技巧，比如，a、b、c∈R+，且? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，求證? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。解析：構造向量? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，根據上述延伸結論可知，

。

例題2：已知向量 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

（i）求證? ? ? ?為等比數列;（ii）當? ? ? ? ? ? ? ? 時，? ? ? ? ? ? ? ? ?，數列

的前n項和Sn。

解析：（i）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以? ? ?為等比數列;（ii）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，因為是向量夾角，所以? ? ? ? ? ? ，故 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

（二）幾何問題

例題3：如圖1所示，F是拋物線? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的焦點，一直線過點F與拋物線交于A、B兩點，過B作x軸的平行線，交準線與點C，求證直線AC經過原點。

解析：設? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則

。要證直線AC經過原點，只需證? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。因為直線AB經過點F，所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即

，

證明完畢。

圖1

例題4：在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，且ABCD是邊長為2的菱形，BAD60。（i）求證BD平面PAC;（ii）若PAAB，求PB與AC所成角的余弦值？

解析：（i）根據題中描述，繪制四棱錐P-ABCD如圖2所示，方便尋找關系。因為PA平面ABCD，所以PABD，又因為ABCD是菱形，所以BDAC，進而證明出BD平面PAC;（ii）在這種立體幾何求成角問題中，最常用的方法就是在給定的幾何體上建立合理的坐標系，用向量的方式表示這兩條直線，進而求出夾角的余弦值。本題中，以A為原點、AP為z軸，AD為x軸建立空間直角坐標系，如圖3所示。根據題中的數量關系，易得出所需個點坐標A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 ，? ? ? ? ? ? ? ? ?，故 ? 。

圖2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖3

三、結語

總之，向量因其自身代數與幾何的雙重性，使之在高中數學的解題過程中具有極大的實用性，也是數形結合思想的一種體現，尤其是在立體幾何求線線夾角、線面夾角、二面角問題中應用的極為廣泛，是高考中的常客，學生們應對予以重視，充分理解向量的基本知識點，對向量的具體應用類型進行歸納總結，以拓寬學生的解題思路，提升綜合應用能力。

參考文獻：

[1]王軍玲.向量在高中數學解題中的應用[D].西北大學，2017.

[2]陳紀源.向量在高中數學解題中的應用研究[J].數學學習與研究，2018，（03）：64.

[3]麥康玲.數學分析思想在高中數學解題中的應用[J].科學文匯（下旬刊），2015，（05）：110-111.

（作者簡介：黃亦凡，高中學歷，南昌市第二中學，研究方向：數學方向。）