三個學業水平劃分下邏輯推理素養的培養

洪永棋

摘要：新版《普通高中數學課程標準》（以下簡稱《標準》）明確提出，邏輯推理是得到數學命題，建立數學知識體系的重要方法，是數學嚴謹性的基礎保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質，是依據規則推出其他命題的素養。高中數學教師要立足課堂教學，以發展學生數學學科核心素養為導向，落實立德樹人根本任務，促進學生學習能力的提升。

關鍵詞：學業水平;邏輯推理素養;變式訓練

數學邏輯推理主要包含從特殊到一般的推理和從一般到特殊的推理兩類。發展學生邏輯推理素養，不僅可以讓學生學會

有邏輯的思考問題，而且能使學生在各種不同的環境中把握事物之間的聯系，理清各種復雜情景下的事物發展本質，提高學生有條理的思考問題的能力，培養具有理性精神的思維品質。本文從拋物線焦點弦性質進行變式教學：從代數性質到幾何性質變式;再到對例題進行變式教學：從代數性質的應用到具有幾何意義的題目變式;最后對題目中的數字進行變式，從常數到參數變式。通過變式教學，引導學生深度學習，整體把握知識體系，從而提升學生數學邏輯推理素養，完成邏輯推理素養三個水平的培養。

1拋物線焦點弦性質的教學

過拋物線焦點的直線與拋物線相交兩點A，B，線段AB叫做拋物線的焦點弦。因為焦點弦過拋物線焦點，所以出現了不少特殊的性質。通過對拋物線焦點弦性質的探究性教學及其變式教學，可以達到從不同的角度培養學生不同學業水平的邏輯推理能力和素養。例如：

已知過拋物線y2=2px（p>0）的焦點的直線交拋物線于A、B兩點。

拋物線焦點弦還有其它性質，通過聯立拋物線方程與焦點弦方程，得出以焦點弦兩端點的相應坐標積及坐標和的結論，這些學生比較容易操作，接著，讓學生由坐標和的結論推導焦點弦長以及弦長最小值，到此，稍作停頓，讓學生整理一下新的知識點，接著由焦點弦長可看成|FA|和|FB|的和，引導學生自主探究|FA|和|FB|的差或積或其它更好的形式，從而得出|FA|和|FB|的調和平均這個結論，至此，探究達到第一個高潮，學生在探究的過程中數學邏輯推理素養得到不斷提升。以上，從代數的角度，探究了焦點弦兩端點坐標的情況。下面，再從幾何的角度探究，計算出一些數量關系后再結合幾何圖形來觀察幾何性質，是很自然的，進而，引導學生進入一個新的探究領域。

這樣就可以想到直角三角形，想到射影定理，想到點在以DE為直徑的圓上，點又在焦點弦上，所以得到圓和焦點弦相切。再引導學生思考以焦點弦為直徑作圓，能否得到什么相切的情況？

所以，以焦點弦AB為直徑的圓和準線相切于點N（DE的中點）。還有其它相切嗎？過焦點弦端點A和B分別作拋物線的切線，此時，切線的交點還在準線上嗎？

這種從不同角度完成對拋物線焦點弦性質的探究性學習方式，達到了讓學生能夠在較為熟悉的情境中，用不同的數學邏輯方法發現數量或者圖形性質等教學效果，有利于培養學生的探究能力，從而提升和發展學生數學邏輯推理素養。

2拋物線焦點弦例題的變式教學

教師通過關聯的情境變式教學，不僅能培養學生從特殊到一般的推理能力，而且能促使學生在相關聯的情境中，達到發現問題、提出問題和解決問題等能力提高的目的，有效地地提升了學生的邏輯推理素養。

第（1）-（4）題主要應用前面推導的拋物線焦點弦的代數性質，第（4）題承上啟下，既有代數解法又有幾何解法，進而得出第（5）-（8）題這些具有幾何意義（如面積、垂直、軌跡方程、最值等）的變式。通過變式，引導學生形成知識網絡，促進學生數學邏輯推理素養的發展。教學時，可先對某一變式重點探究，其余變式作為課后作業讓學生自主探究。

我們選取第（4）題中的變式進行重點探究，創設問題情境：你有幾種方法求解這個變式？有了探究的情境，學生可以直接運用焦點弦性質，如解法二;也可以選擇幾何法，如解法一;有的學生還會想到代數法，如解法三。由此可見，讓學生先自主探究，再合作交流，就可以發現一題的多種解法，提高學生運用所學知識進行分析問題以及解決問題的能力。

《標準》指出，邏輯推理素養水平一：能夠在熟悉的數學情境中，用歸納法、類比法，發現數量或圖形的性質，發現數量關系或圖形關系;邏輯推理素養水平二：能夠在關聯的情境中，發現并提出數學問題，并準確地數學語言予以表述，能夠對與學過的知識有關聯的數學命題，用準確的數學語言表述、論證;

邏輯推理素養水平三：能夠在綜合的情境中，用數學的眼光找到合適的研究對象，提出有意義的數學問題。所以，如果學生可以用其中一種解法解決本題，依據滿意原則，可以認為達到邏輯推理素養水平一的要求;如果學生可以綜合運用幾種解法，

聯系幾何與代數，依據滿意原則，可以認為達到邏輯推理素養水平二的要求;如果學生能夠構建過渡性命題、完成命題的抽象過程，并且論證途徑清晰、推理過程表述嚴謹，依據加分原則，可以認為達到邏輯推理素養水平三的要求。下面是一些構建形式：由解法一發現如果只求直線的斜率，則不需要用到拋物線

這里，我們還可以引導學生自己再去變式，如已知直線斜率求分比，或再添加其中一段焦半徑的長，求拋物線方程等。

學生為此結論的發現感到十分喜悅，更是從中體驗到了探究的樂趣，引導學生通過探究而獲得知識，并形成知識體系，使學生的數學學習其樂無窮。

3對數學教學的啟示

上述拋物線焦點弦變式教學及發展數學邏輯推理素養的過程，對數學教學有如下啟示：首先，要重視挖掘有關數學內容對發展學生素養方面可能的推動與貢獻。《標準》根據數學學科特點凝練出的六個數學核心素養，是與具體的數學內容相聯系的。為此，挖掘數學內容對數學核心素養的貢獻，是利用數學的內在力量實現立德樹人的正道。其次，要選擇、設計與數學學科內容特征、數學核心素養相對應的學習方式。總之，我們應該盡可能地以數學課程內容為載體，組織合適的現實情境或數學情境，從中概括出數學對象的一般特征，促進學生數學邏輯推理核心素養的發展，完成課程標準中提出的學業質量的要求，落實立德樹人根本任務。

參考文獻

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[2]龔浩生.讓學生積極主動有序有效地探究--"拋物線焦點弦的性質的探究"課實錄及評注[J].中學數學研究，2008（11）：7-11.