潛心材料科學 尋找數學真諦
——記北京師范大學數學科學學院教授李海剛

□ 杜月嬌

“大家好，首先自我介紹一下，我叫李海剛，數學界的一名‘小學生’。”這是李海剛在新學期本科生《偏微分方程》課堂上的開場白。他講道，自己從一名小學生變成了一名大學生用了10年，從大學生變成博士又用了10年，而留校工作10年，隨著研究的一步步深入，發覺數學與材料科學這個新興的交叉領域就像是一個深不見底的海洋，自己了解得很少，能夠解決的問題更少，愈發覺得自己又重新變回了一名“小學生”。

在現代生活中，復合材料的應用已隨處可見，不論是在建筑、橋梁、鐵路等結構工程，還是在航空、航天、核潛艇、高速列車等尖端科學技術領域都有著很大需求。人類對材料性能的追求越來越高，甚至愈來愈苛刻。材料創新已成為21世紀科技發展的主要方向之一，而研制新材料的重要手段之一就是將兩種或多種材料復合，生成新的材料。復合材料的飛速發展對應用數學家提出了諸多挑戰，其中偏微分方程的理論研究與數值計算已成為炙手可熱的焦點。

簡單來說，復合材料就是在一種基體材料中摻入另一種增強材料（內含物），得到一種能夠滿足某種特性的新材料。內含物的數量太多時，它們就會離得很近，甚至相互接觸。這樣的結構往往導致材料在使用過程中產生各種物理場的集中現象，比如內含物之間的電場、磁場或應力場將會變得很大，從而導致材料缺陷乃至斷裂。早在19世紀,物理科學家Maxwell就發現了這種集中現象,現如今它吸引著各國科學家競相嘗試給出其定量的刻畫，甚至期望能夠精確計算這些場的集中程度。近10年來，李海剛基于數學理論，在復合材料中的Babu?ka問題方面做出一系列深刻的原創性成果。在攻克一個個科研難題的過程中，李海剛也培養了一批優秀的學生。對此，他說：“我們北京師范大學的校訓就是‘學為人師，行為世范’，我只是在努力做好一個老師應該做的。”

與導師李巖巖教授（左）在一起

默默探索 終見真知

20世紀后期，國際著名計算數學家、美國工程院院士I.Babu?ka等人通過數值計算分析彈性復合材料的破壞機理時，對偏微分方程理論專家提出了一個問題：當內含物間距很小時，是否會發生應力爆破現象？隨后，國際著名數學大師、阿貝爾獎獲得者、美國科學院院士L.Nirenberg教授與李巖巖教授合作證明：當方程組的橢圓系數有界時，其解的梯度關于內含物間的距離一致有界，即應力不會發生爆破。為了進一步探索高對比復合材料的破壞機理理論，需要研究一類帶有部分無窮系數的方程組，建立解的梯度大小與內含物距離之間的精確依賴關系。該問題匯聚了世界上來自美、英、法、韓等國諸多理論數學家和計算數學家，但由于Lamé方程組本身的復雜性和問題本身的難度，已有結果都是針對該問題的簡化模型，即標量方程情形，原始的彈力模型卻一直難以突破。

攻讀博士期間，李海剛作為國家建設高水平大學項目的首批公派博士生，于2007年赴美國羅格斯大學開始兩年的聯合培養。受導師李巖巖教授的影響，他毅然從原先研究的幾何學中的Monge-Ampère方程領域轉戰到材料學中的偏微分方程這個新興領域，自此走上了以數學為基礎的材料研究之路。在李巖巖教授的建議下，他率先研究Babu?ka問題的原始模型——Lamé方程組情形，經過近10年的努力，與團隊成員另辟蹊徑，創造發展了一套能量迭代技術，克服了方程組無極值原理的本質困難，最終成功揭示應力集中現象的數學機制，系列工作發表在數學權威雜志Adv.Math.、Arch. Ration. Mech.Anal.上。這些成果被國際上該領域的領導者、歐洲科學院院士H.Ammari和韓國科學院院士H.Kang在其論文或專著中評價為一套有獨創性的迭代技術（“an ingenious iteration technique”）、一個重要進展（“significant progress”）。

在數學研究中，雙參數問題往往較單參數問題困難許多，最近，李海剛與布朗大學的董弘桀教授合作發表在Arch.Ration.Mech.Anal.上的又一項工作，利用Green函數方法找到了高對比度參數與纖維距離參數這兩類參數在梯度估計中的平衡關系，對M.Vogelius院士和李巖巖教授在ARMA2000中提出的兩個公開問題給出了完美的回答。這些結果對復合材料破壞機理的數學理論的完善是基本的、重要的。

日本著名數學家、菲爾茲獎得主小平邦彥曾說過：“在數學中，沒有發明只有發現。”在材料數學的神秘海洋里，李海剛一直在不斷探索與發現。在Babu?ka問題上，李海剛最近與學生合作發現：“雙黃蛋”型內含物的復合材料不產生集中現象，與實際中的雙黃蛋結構確實是一致的(如圖所示）。為了探其究竟，他們進一步揭開了應力爆破速度與內含物凸性之間蘊含的內在關系，為復合材料內含物的最優形狀設計提供一種新的思路。談到這些，可以從李海剛的話語中感受到他從科研工作中獲得的那種“撥云見日得真知”的幸福感。

“雙黃蛋”型內含物的復合材料不產生集中現象，與實際中的雙黃蛋結構確實是一致的。

事實上，在宏觀層面所建立的理論可以應用于微觀層面的納米材料等離子體共振研究。接下來，李海剛和他的團隊將針對電磁場的Helmholtz方程、Maxwell方程以及流體—固體材料的懸浮問題Stokes方程做進一步的推廣研究。與此同時，李海剛還表示，如果能夠使取得的理論數學成果在實際問題中成功“落地”，則會更有意義。為此，他也在積極嘗試著。

學為人師 不忘初心

在談到留學的經歷對他的研究有何影響時，李海剛說道：在美國羅格斯大學的兩年留學經歷使他開闊了眼界，用導師李巖巖教授的話講就是“見識了什么是好的數學”。經過多年探索與努力，他也在數學的美與實用之間找到平衡。基于自己的科研成長經歷，他也非常樂意將自己的切身經驗與學生一起分享，用他已擁有的知識為我們國家培養更多的材料科學和數學的綜合型人才。

在培養學生方面，李海剛有一套自己的“樹理論”。他說：“一棵樹的成長既需要用根去汲取滋養也需要葉子去追逐陽光。”在研究生的學習過程中，李海剛認為：所謂的根，就是要學好基礎課程先把基礎打牢，所謂的葉，就是學習前沿文獻把握科研動態。樹根從土壤中吸收水分和營養輸送給葉子，葉子再進行光合作用使樹干長得更粗、樹根扎得更深，二者相互促進、彼此成就，才能長成一棵參天大樹。因此，他強調學生埋頭苦干的同時也要常常抬頭看看遠方，了解自身領域里的前沿成果，有的放矢。

目前，李海剛負責指導3名博士生和8名碩士生，秉著“扶上馬，送一程”的原則，他將自己的優秀學生推薦到美國布朗大學、普渡大學等國際名校，意在讓學生像自己當年一樣，去接觸更多更好的數學，并告誡學生，早日出國是為了將來更好地報國。這也許就是他當年回國工作選擇留在北京師范大學當一名老師的初心。如今，他的博士生徐龍娟在布朗大學聯合培養兩年之后，今年博士畢業申請到了韓國延世大學的博士后職位，博士后陳昱獲得了博管會的國際交流項目的資助赴美國普渡大學訪問兩年。說到這些優秀學生時，能夠深深感受到他作為老師的驕傲。

和在讀學生們合影

與導師李巖巖教授一起修改論文的經歷也使他獲益匪淺、記憶深刻，李巖巖老師嚴謹的寫作風格，用李海剛的話說，就是“惜墨如金，字字珠璣”。受此影響，他之后指導學生完成的每篇論文都會修改一兩個月，經過10多次甚至幾十次的反復推敲，直到對每一句話都十分滿意之后才去投稿。數學很神奇，也很深奧，因此李海剛認為做科研就要時刻帶著問題，有時間就要多思考，這樣也許長期難以解開的問題會在適當時機找到突破口。“要善于思考，集中精力，這才是做科研應有的態度。”李海剛補充道。

與李海剛對話，總能感受到他對數學與材料學的熱情，也能深切體會到他對外界滿滿的好奇心與求知欲。也許正是這樣的他，才能隨時使自己沉浸在科研中，不斷去探尋新的科學秘密。世界著名應用數學家、美國科學院院士A. Friedman在《對數學未來的思考》中尤其提到“復合材料的研究是一個運用數學研究的領域”。但隨著新材料不斷被開發出來，“迄今所取得的數學成就只能看作是一個不錯的開始”。李海剛表示自己很幸運能夠早日踏進這個充滿數學挑戰的新領域，他對這個領域的未來和個人的前景也充滿信心。希望在更多的國際交流與合作中，不斷豐富發展，積極探索與發現偏微分方程更多的可能性。