基于增量理論的板材軸對稱成形直接積分解法

秦泗吉 孔曉華 楊 莉

燕山大學先進成形技術與科學教育部重點實驗室，秦皇島,066004

0 引言

對于圓盤類零件的軸對稱塑性力學問題，LEE-WU[1]基于薄板理論并在平面應力及簡單加載等假設條件下，給出了直接積分求解的方法，從而改進了需不斷迭代才能得到解析解的方法[2]。劉幺和等[3]、高國華[4]將這種解法用于求解軸對稱沖壓成形中法蘭區應力應變。秦泗吉等[5-6]在此基礎上，將直接積分解法從求解平面內的軸對稱問題推廣至一般軸對稱曲面問題。尋求理論解有助于進一步分析板材成形過程中的破裂及起皺等基礎問題[7-8]。

對板材軸對稱成形問題，采用平面應力假設比采用平面應變假設條件更符合實際[5,9]，但解法中所采用的比例加載條件在大變形情況下與實際相差較大，有時不能得到令人滿意的結果。

文獻[1,3-5]選擇了現時構形為參考構形，在比例加載等假設條件下采用直接積分解法進行求解，這種方法可使所描述的問題直觀化，且由于應變的計算是一次加載得到的，不需要跟蹤變形質點，因此方程式和求解過程也相對簡單。而當采用增量理論進行分析計算時，需要跟蹤變形質點，以方便累加計算變形質點的應變，顯然，這種情況下，應選擇初始構形作為參考構形。

本文基于增量理論，在平面應力和薄板理論等假設條件下，選擇初始構形為參考構形，通過引入參變量建立應力和應變之間的關系，分析得到了軸對稱成形問題的應力參數方程、等效應變增量參數方程、協調方程，以及微分平衡方程等。在此基礎上，化簡消元得到了等效應變增量和參變量的二元方程。以圓筒形件和圓錐形件的成形為例，采用直接積分數值解法求出了各變形區的應變分布，分別對增量理論和比例加載假設條件下的兩種方法得到的解析結果進行了分析，并與實驗結果進行了比較。

1 基于增量理論的基本方程

1.1 應力參數方程和應變增量參數方程

假設板材面內同性、厚向異性，當厚度方向的應力為0時，根據等效應力的定義[9]， 有

(1)

式中，σρ、σθ、σ分別為徑(經)向應力、周向應力和等效應力；R為板厚方向性系數。

根據增量理論，應變增量與應力之間的關系如下：

(2)

(3)

將式(2)代入式(3)，可以得到應變增量的參數方程：

(4)

可以驗證，式(4)滿足等效應變增量的定義：

(5)

1.2 基于初始構形的變形協調方程

如圖1所示，從圓盤或圓環的平板毛坯變形為軸對稱殼體，采用初始構形為參考構形，設變形前某一微圓環初始內外徑分別為ρ和ρ+dρ，若對應半徑為ρ的質點變形后的徑向位移為u，則變形后微曲面形圓環的外緣徑向尺寸為ρ+u+dρ+du。α、α+dα分別為上下緯端面處的母線切線與對稱軸的夾角。

圖1 初始構形下的軸對稱成形問題變形分析圖Fig.1 Deformation analysis diagram of axisymmetri c forming problem under initial configuration

由應變的定義可以得到徑向應變ερ和周向應變εθ分別為

(6)

(7)

消去u后，得

(8)

將α=/2代入式(8)可得平面軸對稱問題的協調方程：

(9)

式(8)可用增量應變形式表示如下：

(10)

式中，ερ0和εθ0分別為增量加載前的徑向和周向應變，它們是質點初始位置的函數。

1.3 微分平衡方程

在軸對稱殼體零件成形中，每一個變形質點的主軸方向為經向、緯向及法向，對應的三個方向的應力分別表示為σρ、σθ和σz。如圖2所示，參照文獻[5-6]的分析方法，在二個相鄰的緯錐面上截取一微錐殼體，然后沿軸對稱線剖開。圖中，ds為微錐殼體的經向弧長；ρ+u、ρ+u+dρ+du分別為微錐殼體的上下端緯面至對稱軸的距離；σρ、σρ+dσρ分別為上下緯端面上作用的經向應力；σθ為作用于微錐殼體上的緯向應力。

圖2 半微錐形圓環的受力分析圖Fig.2 Force analysis diagram of semi-micr o conical ring

分別以t、t+dt表示上下緯端面的厚度。設作用于殼體內表面的單位壓力為p，以半微錐環為研究對象，分別在軸線方向和剖面的法線方向列平衡條件，得

(11)

消去p可得

d[σρt(ρ+u)]=σθtsinαds

(12)

由于ds=dρ/sinα，因此

d[σρt(ρ+u)]=σθtd(ρ+u)

(13)

展開式(13)，利用式(6)和式(7)消去u，并根據體積不變條件，得

(14)

采用增量求解方法時，式(14)可進一步表示為

ρdσρ/dρ-ρσρd(δερ+δεθ+ερ0+εθ0)/dρ=
(σθ-σρ)sinαexp(δερ-δεθ+ερ0-εθ0)

(15)

顯然，分別以初始構形和現時構形為參考構形得到的微分平衡方程是完全不同的。

1.4 材料應力應變關系

設材料應力應變關系符合Hollomon硬化法則

σ=Bεn

(16)

式中，B為材料的強度系數；n為硬化指數。

式(16)中的等效應變ε可由下式得到：

(17)

(18)

若用ε0表示增量加載前的等效應變，由于一般情況下應變不成比例增加，因此，ε≠ε0+ε。即需要先按式(18)計算出各應變分量，才能由式(17)計算得到等效應變。這說明，同一質點的各應變分量可以累加計算，而等效應變的計算則不能累加。這使得采用增量理論方法求解更加復雜。

式(3)、式(4)、式(10) 、式(15)和式(17)給出了包含σ、ε、σρ、σθ、ερ、εθ、ρ以及ω共8個變量7個方程，當邊界條件和參數ω給定時，方程可解。

因變形質點初始位置ρ與變形瞬間的坐標位置有一一對應關系，因此求得的結果可容易地轉換成各變量與坐標位置的關系。

2 直接積分解法

2.1 求解方程

由式(3)、式(16)分別可得

(19)

(20)

由式(10)和式(15)消去ρ，并將式(3)、式(19)和式(20)代入，化簡后可得

(21)

另由式(4)可得

(22)

(23)

將式(22)和式(23)代入式(21)，得

(24)

a0=dεθ0/dωa1=sin(ω+β)a2=cos(ω+β)

fa=exp(ερ0-εθ0-2sinωcosβδε)/sinα-1

b0=-tan(ω+β)-d(ερ0+εθ0)/dω+nf0

b1=-2sinβcosω+nf1b2=2sinβsinω+nf2

fb=2sinωsinβsinαexp(ερ0-εθ0-2sinωcosβδε)/a2

式(24)可進一步表示為

(25)

(26)

2.2 直接積分解法及收斂性分析

對平面內的軸對稱問題，采用比例加載假設條件時，因應變的一階導數可以表示成應變和參變量的顯式函數，因此可方便地采用直接積分解法進行求解[1,3-5]。同樣地，采用增量理論時，對軸對稱平面內的成形，如拉深過程中的法蘭區，α為定值，式(26)等式右端不含dε/ω項，這樣可以由ε及ω直接求出dε/ω，因此也能采用積分解法直接求解。

對一般軸對稱曲面零件的成形，當成形制件的形狀一定時，α可以表示成質點位置ρ的函數。而變形質點ρ又是ε、dε/ω及ω的函數，因而α也是ε、dε/ω及ω的函數。這樣，式(26)的左右端都包含應變的一階導數，一般來說，已知ε和ω，需要反復迭代才能求出dε/ω，這給求解過程帶來不便。

參照文獻[5]在比例加載假設條件下的分析方法，采用增量理論對一般軸對稱曲面零件成形問題進行求解，其求解過程和收斂性分析如下：

(27)

將式(26)代入式(27)，得

(28)

設ωi+1是ωi的鄰近點，由式(28)可知

(29)

ωi+1=ωi+1-ωi

一般情況下，因方程的左右端都含等效應變增量的一階導數，由式(26)不能直接得到dε/dω與ε、ω的關系，需重新考查積分求解過程。

(30)

將式(30)代入式(29)，得

(31)

(32)

(33)

(1)將區間(ω0,ω)等分成N段，則ω=(ω-ω0)/N，ωi=ω0+iω(i=1，2，…,N)。εi是對應ωi的等效應變增量。

(34)

(35)

(4)一般地，i(i≥2)為任意值時，εi都可近似用式(33)計算。考慮到和則對于任意ω(ω>ω1)對應的應變增量ε近似為

(36)

3 應用舉例

為了進一步說明和驗證上文的理論分析過程，首先以圓筒形件的拉深成形為對象，采用理論分析方法計算法蘭區和凹模圓角區的應變分布并與實驗結果進行對照。

理論分析和實驗所用的材料為ST16。性能參數為：強度系數B=511.4 MPa，硬化指數n=0.26，板厚方向性系數R=2.243。初始板坯尺寸：直徑為110 mm，厚度為0.87 mm。成形凸模外徑為50 mm，凸模圓角為5 mm，凹模圓角為9.1 mm。壓邊力為10 kN。

設壓邊力為F，摩擦因數為μ，若摩擦力全部作用于法蘭的外緣，即當位置半徑為Rw時，徑向應力σρ=F/(Rwtw)，其中，tw為法蘭外緣對應的板坯厚度。邊界條件為：等效應變ε0=ln(R0/Rw)，ω0=2-arccosγ-β。其中，γ=當不考慮摩擦，徑向應力初值為0時，ω0=3/2-β。考慮實驗中采用了薄膜潤滑條件，與文獻[5]一致，取μ=0.06。

由于在法蘭區α=/2，根據給出的初始應變和參變量邊界條件，可由式(26)直接求出等效應變增量的一階導數，進而逐步求出法蘭區的應變增量和應變。當計算進行至凹模圓角區時，因其法蘭區鄰近點的等效應變增量和一階導數都是已知的，故仍可根據前面的求解方法得到等效應變增量的一階導數，從而完成后續點的應變求解過程。在每一個加載步，N值全部取1 000(計算表明，N值繼續增大時，計算精度沒有顯著變化)。

在材料模型參數、模具尺寸、板坯尺寸以及壓邊力等成形條件與實驗相同的情況下，分別采用增量理論和比例加載假設條件的理論方法進行分析，將計算結果與實驗結果進行比較。實驗采用文獻[5]給出的方法和結果，限于篇幅，具體實驗和測量方法本文不再贅述。

采用增量理論進行計算時，法蘭外緣相對位置半徑r/R0加載至0.858時，增量加載步數取5步，相對位置半徑至0.807時，增量加載步數再增加2步。每一個增量步按幾何平均值選取。

圖3為采用增量理論逐步加載計算得到的徑(經)向應變和周向應變沿坐標位置的分布曲線。曲線1～7分別對應1～7次的加載步。橫坐標表示徑向相對坐標值r/R0。計算結果顯示，變形程度較小時，凹模圓角區應變絕對值小于鄰近的法蘭區應變絕對值，但隨著變形程度的不斷增大，凹模圓角區的應變絕對值逐漸增大直至最大，這與拉深過程中的實際情況是一致的。

圖3 應變分布圖(增量理論計算值)Fig.3 Strain distribution curves(by incremental theory)

可將兩向應變以應變狀態圖的形式表示，如圖4所示,圖中曲線1～7分別對應1～7次的加載步。借助于應變狀態圖，更容易判斷兩向應變間的關系、加載路徑和變形方式，以及便于進行成形極限分析等。圖4表明，在加載過程中，法蘭區的應變增加較平緩，而凹模圓角區應變增加較劇烈。圖4中還給出了初始相對位置ρ/R0在0.607～1之間的5個變形質點在不同加載步下的應變值。ρ/R0=1表示法蘭外緣的質點，ρ/R0=0.607表示接近凹模口的質點,ρ/R0介于0.864～1之間為法蘭區，ρ/R0介于0.864～0.607之間為凹模圓角區。

圖4 應變狀態圖(增量理論計算值)Fig.4 Diagram of strain state(by incremental theory)

為了更清楚地表示同一質點在加載過程中兩向應變的關系，將各質點在逐次加載中的應變值另表示在圖5中。分析表明，隨著變形過程的進行，在法蘭區的變形質點應變接近成比例增大，而在凹模圓角區，變形質點應變不完全符合按比例增大的條件。

圖5 部分變形質點兩向應變關系Fig.5 Relationship between two-direction strain o f partially deformed particles

圖6所示為拉深件法蘭外緣相對半徑Rw/R0分別為0.858和0.807時，分別采用比例加載假設條件和增量理論兩種方法計算得到的應變值以及實驗值沿徑向坐標位置r/R0的分布情況。可以看出，兩種理論方法計算得到的結果在法蘭區相差很小，這進一步驗證了圖5的分析結果。周向應變在整個區域都相差很小(兩條曲線基本重合)，徑向應變在法蘭區相差較小，在凹模圓角區，采用增量理論求解得到的計算結果稍小。圖6中的離散點為實驗結果，即采用增量理論計算得到的結果更接近實驗值。

圖7還給出了圓錐形件拉深成形各變形區應變分布的理論值和實驗值，法蘭外緣相對半徑Rw/R0分別為0.878和0.838。理論計算分別采用了比例加載和增量理論的方法，其中增量理論總加載次數為7。實驗值采用了文獻[6]的實驗結果，理論計算的邊界條件也與文獻[6]一致。圖中光滑曲線和離散點分別表示理論值和實驗值。

圖7表明，在法蘭區、凹模圓角區及懸空側壁區的應變分布理論計算值和實驗結果分布趨勢吻合，采用增量理論得到的計算值更接近于實驗結果，其中法蘭區和凹模圓角區應變分布規律與圓筒形件的結果一致。

(a)Rw/R0=0.807

(b)Rw/R0=0.858圖6 圓筒形件應變分布理論值和實驗結果的比較Fig.6 Comparison of theoretical and experimenta l values of strain distributions of cylindrical part

(a)Rw/R0=0.878

(b)Rw/R0=0.838圖7 圓錐形件應變分布理論值和實驗結果的比較Fig.7 Comparison of theoretical and experimenta l values of strain distributions of conical part

圖6和圖7還表明，在凹模圓角區的徑向應變計算值與實驗值相差稍大，這主要是因為板坯在凹模圓角區發生了彎曲變形。而對于圓錐形件而言，由于板坯離開凹模圓角后又產生了反向彎曲，使得懸空側壁區的計算值又稍接近于實驗值。對于圓筒形件的成形，文獻[5]考慮了凹模圓角彎曲的影響，分析得到的理論結果與實驗值更吻合。限于篇幅，這里不討論板坯內外層的區別以及板坯經過凹模圓角因產生彎曲和反彎曲而引起應變的變化。

前文分析過程中所給出的基本方程適用于軸對稱拉深、脹形和翻邊等成形方式，因而該方法在添加適當的邊界條件后，也適用于這些變形方式對應問題的求解。

4 結論

(1)對于一般軸對稱成形問題，在平面應力和薄板理論等假設條件下，以初始構形為參考構形，采用參數分析方法，根據平衡方程、變形協調方程、增量理論以及材料的等效應力應變關系等方法分析得到了等效應變增量的微分方程。

(2)對于軸對稱曲面零件的成形問題，給出了當等效應變增量一階導數不能表示成顯式函數時的直接積分解法，并對收斂性進行了分析。

(3)以圓筒形件和圓錐形件的拉深成形為例，將總變形分成7個增量加載步，采用增量理論解法，求解得到了法蘭區和凹模圓角區的應變分布。結果表明，變形過程中法蘭區的變形質點接近比例加載條件，而凹模區的變形質點采用增量理論求解更接近實驗值。