波浪作用下的直立圓柱陣列水動(dòng)力波動(dòng)特性研究

張華慶，王廣原，2，馬朝陽，2，劉文龍，2

(1.交通運(yùn)輸部天津水運(yùn)工程科學(xué)研究所 港口水工建筑技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，天津 300456； 2.天津水運(yùn)工程勘察設(shè)計(jì)院 天津市水運(yùn)工程測繪技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300456)

對(duì)海洋平臺(tái)、跨海大橋等由直立圓柱陣列進(jìn)行支撐的系統(tǒng)，在特定的入射波波數(shù)下，波浪的入射能量在圓柱陣列內(nèi)部聚集而無法向無窮遠(yuǎn)處發(fā)散，形成“陷波模態(tài)”(Trapped modes)同時(shí)產(chǎn)生巨大的激振力。正確認(rèn)識(shí)“陷波模態(tài)”，在設(shè)計(jì)時(shí)使系統(tǒng)的“陷波模態(tài)”頻率避開海浪能量較大的頻段，就能有效避免由其產(chǎn)生的巨大激振力，對(duì)于確保結(jié)構(gòu)的整體安全性具有重要的意義，因此國際學(xué)術(shù)界對(duì)“陷波模態(tài)”的物理機(jī)制進(jìn)行了較為深入的研究。

最早提出陷波模態(tài)的是Ursell[1]，他在一個(gè)無限長但有限寬的通道中建立了斜坡和單個(gè)圓柱體的陷波模態(tài)，并且證明了陷波模態(tài)存在于深水中淹沒的無限長直立圓柱，發(fā)生的條件是圓柱半徑必須足夠小。Callan & Linton & Evans[2]進(jìn)一步研究了有限寬通道中圓柱體的陷波模態(tài)問題，數(shù)值計(jì)算表明，對(duì)于任意半徑圓柱小于等于通道寬度一半時(shí)，且不僅限于圓柱半徑足夠小，都存在陷波模態(tài)。Maniar & Newman[3]研究了直立單排圓柱陣列的陷波問題，他們認(rèn)為水動(dòng)力曲線的激振力幅值尖峰與單排無限長圓柱繞射問題的齊次解有關(guān)，并將該尖峰與發(fā)生在剛性側(cè)壁水槽中的陷波聯(lián)系起來。之后， Newman[4]又研究了直立圓柱體和自由移動(dòng)剛體不同的陷波模態(tài)。國內(nèi)對(duì)大尺度結(jié)構(gòu)的波浪力進(jìn)行過一些研究[5]，然而對(duì)陷波模態(tài)的研究較少，大連理工大學(xué)叢培文[6-7]等對(duì)四柱結(jié)構(gòu)的陷波模態(tài)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，結(jié)果表明即使波陡較大的情況下二階繞射理論也可以很好地對(duì)波面高度進(jìn)行模擬。

“陷波模態(tài)”產(chǎn)生的巨大激振力可能對(duì)海洋結(jié)構(gòu)物的瞬時(shí)穩(wěn)定性造成影響。而在分析結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性時(shí)，有必要考慮完整的水動(dòng)力曲線，而不能僅考慮“陷波模態(tài)”產(chǎn)生的巨大激振力。本文的研究成果發(fā)現(xiàn)，水動(dòng)力曲線中激振力尖峰左側(cè)，存在明顯的波動(dòng)現(xiàn)象。這種波動(dòng)效應(yīng)目前還未見有學(xué)者進(jìn)行研究，對(duì)該波動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)一步研究有助于完善對(duì)整個(gè)水動(dòng)力曲線的理解。

1 波浪繞射作用下直立圓柱陣列水動(dòng)力理論

Havelock[8]是最早就無限水深下單個(gè)圓柱在入射波作用下繞射問題開展相關(guān)研究的，他提出了相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法。隨后Maccamy & Fuchs[9]將該方法應(yīng)用拓展到有限水深問題，得到了單個(gè)直立圓柱體的水平波浪力精確解。之后Spring & Monkmever[10]首次在水波的背景下使用特征函數(shù)展開法，精確求解了線性水波理論下柱體所受激振力及波浪爬升的問題。Linton & Evans[11]對(duì)Spring & Monkmever[10]的理論進(jìn)行簡化，使得波浪力和自由表面振幅的求解得到大幅度簡化。

本文的研究以Linton & Evans[11]的簡化理論為基礎(chǔ)。圓柱群陣列一般形式的坐標(biāo)定義如圖1所示。

在海洋結(jié)構(gòu)物的尺度下，可以認(rèn)為水的密度不隨時(shí)間和空間變化。另外，對(duì)于均勻、無粘性不可壓縮流體，如果在任意時(shí)刻流場無限，那么在以后的所有時(shí)刻流場的流體都是無旋的?；诖?，可以認(rèn)為海洋結(jié)構(gòu)物所處流場中的流體是均勻、無粘、無旋、不可壓縮的。假設(shè)圓柱群陣列共有N個(gè)圓柱。以O(shè)為原點(diǎn)，xOy平面位于靜止的自由表面上，原點(diǎn)O位于該面上x、y軸的交點(diǎn)處，Oz軸垂直向上。單個(gè)柱體的圓心Oj在總體坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(xj,yj)，j=1,…,N。建立N個(gè)原點(diǎn)在圓心Oj的局部極坐標(biāo)系Ojrjθjz。這樣，第K個(gè)柱體中心Ok在第j柱局部柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)可記為(Rjk,αjk,z)j,k=1,…,N。

流場中任意一點(diǎn)的總繞射勢為該點(diǎn)受到的環(huán)境入射勢與所有圓柱產(chǎn)生的繞射勢之和，在第j柱的局部坐標(biāo)系下為

(1)

(2)

(3)

通過物面積分解得第j柱上x方向的波浪力為

(4)

2 模型驗(yàn)證及算例分析

圖2 單排有限長圓柱陣列示意圖Fig.2 Schematic diagram of an array of cylinders

2.1 模型驗(yàn)證

本文建立的計(jì)算模型與Maniar & Newman[3]的成果進(jìn)行對(duì)比。計(jì)算模型如圖2所示，由N個(gè)相同圓柱(直徑為2 a)組成，圓柱沿著陣列等間距(間距為2 d)排布，波浪入射角度為β。對(duì)比結(jié)果如圖3所示。該模型設(shè)置N=9，K=5，β=0，分別計(jì)算a/d=1/4和a/d=1/2情況下，第K柱受到的波浪激振力，其中橫坐標(biāo)表示無量綱化的波數(shù)，縱坐標(biāo)表示無量綱化的激振力。

從對(duì)比結(jié)果來看，采用本數(shù)值模型得到的計(jì)算結(jié)果在不同波數(shù)下同Maniar的計(jì)算結(jié)果吻合良好，證明了本模型的正確性，應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型計(jì)算了N=31、51、81、91、101，以及a/d=1/4，1/6，1/8等情況。觀察這些計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)一長排大數(shù)量圓柱群陣列中單個(gè)圓柱上的水動(dòng)力幅值除了由陷波模態(tài)引起的高聳尖峰外，在其尖峰左側(cè)還存在明顯的波動(dòng)現(xiàn)象。圖4展示了波浪入射角β=0時(shí)，單排31柱(N=31)第16柱(K=16)水動(dòng)力幅值變化曲線。關(guān)于高聳尖峰的物理意義已經(jīng)被深入研究[3]，而尖峰左側(cè)的規(guī)律波動(dòng)現(xiàn)象(后文簡稱：波動(dòng)區(qū)域)可能與圓柱群陣列間的波浪繞射有關(guān)。在圖4波動(dòng)區(qū)域中，相鄰兩個(gè)局部極大值點(diǎn)的波數(shù)間距max和相鄰兩個(gè)局部極小值點(diǎn)的波數(shù)間距min是相等的，且恒定不變。對(duì)于該情況，max=min=0.032 2。對(duì)于任意的單排圓柱陣列，max恒等于min且在波動(dòng)區(qū)域始終保持不變(max=min且與Kd/π無關(guān))。針對(duì)該現(xiàn)象，推測其可能與直徑-柱間距之比a/d，圓柱陣列總數(shù)N，圓柱編號(hào)K以及波浪入射角度β有關(guān)，現(xiàn)分別進(jìn)行分析。

3-a a/d=1/43-b a/d=1/2圖3 本文結(jié)果與Maniar結(jié)果對(duì)比Fig.3 Comparison of the present author′s result with Maniar′s (1997) result圖4 單排31柱第16柱水動(dòng)力幅值變化曲線,a/d=1/4,β=0Fig.4 Magnitudes of wave loads on the 16th cylinder of an array consisting of 31 cylinders, a/d=1/4, β=0

5-a K=315-b K=516-a K=316-b K=41圖5 N=101,β=0,第K柱水動(dòng)力曲線Fig.5 Hydrodynamic curve of the Kth cylinder of an array consisting of 101 cylinders, β=0圖6 N=81,β=0,第K柱水動(dòng)力曲線Fig.6 Hydrodynamic curve of the Kth cylinder of an array consisting of 81 cylinders, β=0

2.2 直徑-柱間距之比a/d對(duì)水動(dòng)力曲線波動(dòng)的影響研究

7-a N=1017-b N=81圖7 β=0，不同a/d情況下第K柱水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰的波數(shù)間距測量值散點(diǎn)圖Fig.7 Scatter diagram of measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of Kth cylinder′s hydrodynamic curve in different cases of a/d, β=0.

入射波作用下不同a/d情況單排直立圓柱陣列的水動(dòng)力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化曲線見圖5、圖6。圖5、圖6分別表示N=101及N=81情形下，第K柱的水動(dòng)力變化，a/d表示不同a/d下相鄰波峰的波數(shù)距離，可見在不同a/d的情況下，激振力尖峰左側(cè)(波動(dòng)區(qū)域)均存在明顯波動(dòng)現(xiàn)象。為了更全面的顯示波峰間距值隨著a/d變化的規(guī)律，圖7展示了上述兩種情形下波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰的波數(shù)距離隨著無量綱波數(shù)kd/π變化的散點(diǎn)圖。令第m個(gè)波峰位置橫坐標(biāo)為pm(x)，則散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示為

X=(pm(x)+pm+1(x))/2

(5)

Y=pm+1(x)-pm(x)

(6)

在每一個(gè)散點(diǎn)線附近的常數(shù)實(shí)心直線是散點(diǎn)圖的漸近線。由圖7可以看出，當(dāng)N，K都確定時(shí)，散點(diǎn)圖漸近線的位置不隨a/d的變化而變化。簡言之，單排N柱第K柱的水動(dòng)力幅值在波動(dòng)區(qū)域的波動(dòng)現(xiàn)象與a/d無關(guān)。

2.3 圓柱總數(shù)N對(duì)水動(dòng)力曲線波動(dòng)的影響研究

圖8 β=0，總數(shù)為N的中間柱水動(dòng)力曲線Fig.8 Hydrodynamic curve of the middle cylinder of an array consisting of N cylinders, β=0

入射波作用下不同圓柱總數(shù)N情況下中間柱水動(dòng)力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化曲線見圖8。圖8表示等間距直線布置的直立圓柱陣列在直徑-柱間距比為a/d=1/4，波浪入射角度β=0，圓柱總數(shù)N=31，41，51，81，91，101的中間柱x方向水動(dòng)力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化情況。從圖8可以看出，中間柱上波浪力幅值的波峰間距均隨著圓柱總數(shù)N的變化而變化。為了更全面的顯示相鄰波峰波數(shù)間距值隨著N變化的規(guī)律，圖9展示了不同圓柱總數(shù)N下中間柱水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的測量值隨著無量綱波數(shù)kd/π變化的散點(diǎn)圖。圖10表示中間柱水動(dòng)力曲線相鄰波峰波數(shù)間距測量值隨圓柱總數(shù)N的變化，該圖表明，水動(dòng)力曲線相鄰波峰波數(shù)間距測量值與圓柱總數(shù)N呈反比關(guān)系。

圖9β=0，總數(shù)為N的中間柱水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距測量值散點(diǎn)圖
Fig.9 Scatter diagram of measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of the middle cylinder′s hydrodynamic curve in different cases ofN，β=0

圖10β=0，中間柱水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距測量值隨圓柱總數(shù)N的變化圖
Fig.10 Measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of the middle cylinder′s hydrodynamic curve in different cases ofN，β=0

2.4 圓柱位置K對(duì)水動(dòng)力曲線波動(dòng)的影響的研究

入射波作用下第K柱水動(dòng)力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化曲線見圖11。圖11顯示了圓柱總數(shù)N=101的等間距直線布置的直立圓柱陣列在直徑-柱間距比為a/d=1/4，波浪入射角度β=0，圓柱編號(hào)K=1，11，21，31，41，51，61，71，81的圓柱水動(dòng)力幅值隨無量綱波數(shù)kd/π的變化情況。圖中，β,N,K表示在入射角為β，圓柱總數(shù)為N，編號(hào)為K的圓柱水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距。從圖11可以看出，圓柱上波浪力幅值的波峰間距隨著圓柱編號(hào)K的變化而變化。為了更全面的顯示波動(dòng)現(xiàn)象與位置K的關(guān)系，圖12展示了N=101情況下，第K柱水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的測量值隨著無量綱波數(shù)kd/π變化的散點(diǎn)圖。圖13表示第K柱水動(dòng)力曲線相鄰波峰波數(shù)間距測量值隨圓柱位置K的變化情況，由該圖可見水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的測量值隨圓柱編號(hào)K的增大而增大。結(jié)合圖10及圖13，可得O,N,K與N，K的關(guān)系為

(7)

圖11 β=0,N=101,第K柱水動(dòng)力曲線Fig.11 Hydrodynamic curve of the Kth cylinder of an array consisting of 101 cylinders, β=0圖12 β=0,N=101,第K柱水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的測量值散點(diǎn)圖Fig.12 Scatter diagram of measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of the Kth cylinder′s hydrodynamic curve,N=101, β=0

圖13 β=0,N=101,水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距測量值隨圓柱位置K的變化圖Fig.13 Measured values of distance of wavenumber at the fluctuation region of the Kth cylinder′s hydrodynamic curve, N=101, β=0圖14 預(yù)測公式與圖13驗(yàn)證Fig.14 Comparison of prediction formula with fig.13圖15 預(yù)測公式與圖10驗(yàn)證Fig.15 Comparison of prediction formula with fig.10

運(yùn)用預(yù)測公式對(duì)圖10及圖13所示情況進(jìn)行計(jì)算，并與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見圖14及圖15，可見本文提出的預(yù)測公式與數(shù)值計(jì)算結(jié)果測量值吻合良好。

圖16 β=0，N=101，K=51不同計(jì)算步長(0.000 1和0.01)激振力誤差Fig.16 Error of different calculation step (0.000 1 and 0.01), β=0，N=101，K=51

3 水動(dòng)力曲線波動(dòng)特性的工程意義

在分析線性定常系統(tǒng)疲勞壽命時(shí)，交變應(yīng)力響應(yīng)的功率譜可以由下式得到[12]

GXX(ω)=[H(ω)]2Gηη(ω)

(8)

式中：H(ω)為線性動(dòng)力系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；Gηη(ω)為波浪譜。

傳遞函數(shù)H(ω)的物理意義是，線性動(dòng)力系統(tǒng)作圓頻率為ω的簡諧振動(dòng)時(shí)，響應(yīng)過程的振幅與輸入過程的振幅之比。當(dāng)輸入過程為波浪時(shí)，響應(yīng)過程為交變應(yīng)力，傳遞函數(shù)就是結(jié)構(gòu)在圓頻率為ω的規(guī)則余弦波作用下，應(yīng)力幅值與波幅之比。

如果忽視水動(dòng)力曲線中的波動(dòng)現(xiàn)象，將造成計(jì)算步長選擇不當(dāng)，導(dǎo)致應(yīng)力幅值的計(jì)算誤差。在β=0，N=101，K=51的情況下，選擇計(jì)算步長為0.01和0.000 1得到激振力誤差如圖16所示。當(dāng)無量綱波數(shù)kd/π達(dá)到0.45時(shí)，激振力誤差超過10%。kd/π接近“陷波模態(tài)”所對(duì)應(yīng)波數(shù)時(shí)，激振力誤差更為顯著。

激振力的計(jì)算誤差無疑將導(dǎo)致應(yīng)力幅值的計(jì)算誤差，從而造成傳遞函數(shù)的計(jì)算誤差。根據(jù)誤差傳遞原理，激振力誤差為10%，將對(duì)交變應(yīng)力的響應(yīng)造成20%的誤差。在海洋結(jié)構(gòu)物的設(shè)計(jì)階段需要準(zhǔn)確找到水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域的波峰、波谷位置，避免造成誤差，影響結(jié)構(gòu)的疲勞可靠性。利用本文提出的水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的預(yù)測公式，可以迅速得找到所有波峰位置。在各個(gè)波峰位置前后對(duì)水動(dòng)力進(jìn)行加密計(jì)算，可以避免加密計(jì)算整個(gè)水動(dòng)力曲線造成的時(shí)間浪費(fèi)。

4 結(jié)論與展望

本文針對(duì)單排有限長直立圓柱陣列水動(dòng)力曲線中激振力尖峰左側(cè)的波動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行了研究，得到如下結(jié)論：

(1)對(duì)單排有限長直立圓柱陣列，其水動(dòng)力曲線中激振力尖峰左側(cè)存在均勻有規(guī)律的波動(dòng)現(xiàn)象，這種波動(dòng)現(xiàn)象來源于圓柱與波浪之間的繞射作用。(2)經(jīng)過大量數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證，水動(dòng)力曲線中的波動(dòng)現(xiàn)象與直徑-柱間距之比a/d無關(guān)，而與圓柱總數(shù)N、圓柱位置K及入射波的入射角度β有關(guān)。(3)對(duì)于入射角度β=0的情況，本文提出一種針對(duì)單排有限長圓柱陣列水動(dòng)力曲線波動(dòng)區(qū)域相鄰波峰波數(shù)間距的預(yù)測公式：O,N,K=1/(2(N-K))。

對(duì)波浪作用下直立圓柱陣列的水動(dòng)力問題，目前的研究重點(diǎn)在于“陷波模態(tài)”及其帶來的激振力尖峰。本文所研究的水動(dòng)力曲線中激振力尖峰左側(cè)的波動(dòng)問題，有助于完善對(duì)整個(gè)水動(dòng)力曲線的理解。然而，對(duì)于不等間距單排圓柱陣列水動(dòng)力問題及多排圓柱陣列的水動(dòng)力問題有待進(jìn)一步研究。