對均值不等式的認識

李鳳清，張子衛，張青山

（四川職業技術學院，四川 遂寧 629000）

教師要合理選擇數學材料，從觀察、數學感覺形成入手訓練學生的數學眼光，引導學生用數學的眼光看世界[1,2]；運用基本的數學概念、數學事實與數學結論，從策略、方法、能力三個方面訓練學生的數學思維，學會用數學的思維分析世界；從數學思想的感受與數學價值的體現建立學生的數學情感，用數學的語言表達世界，培育學生的數學核心素養.

由二元均值不等式到三元均值不等式，再到n 元均值不等式，我們覺得這個問題很有意思.這里有知識的遷移與深化，還有認識的加強與躍遷，更有情感與態度的固化.

三元均值不等式的等價形式：

若a,b,c ＞0，則a3+ b3+ c3≥3abc.

或者：a,b,c ＞0，且abc = 1，則a + b + c ≥3.

n 元 均 值 不 等 式：對n 個 正 數a1,a2,…,an，其 幾 何 平 均不 大 于 其 算 術 平 均

其等價命題為：對乘積為1 的n 個正數a1,a2,…,an，必有a1+ a2+ … + an≥n.

1 運用基本數學概念認識均值不等式

由平均值這個概念可知，一個數組的平均值總不會大于這個數組中的最大數，也不會小于這個數組中的最小數.

（1）顯 然，a,b 兩 個 正 數 的 幾 何 平 均 必 介 于a,b 之 間，故，即 可 得

（3）對n + 1 個正數a1,a2,…,an,an+1，其幾何平均必介于這n + 1 個正數的最小數（不妨設為a1）與最大數（不妨設為a2）之間，故，即可得

2 基本數學方法的使用

2.1 逐步調整法

逐步調整法是數學中的基本方法.弄清調整的過程與調整后所產生的變化，并依此繼續調整下去，獲得最終的結論.

下面我們把上面的認識過程數學化.

設n 是正整數，那么就有

記

那么對任意正整數n，均有

當n →+∞時

若對任意n 個正數，其算術平均不小于幾何平均，那么對n + 1 個正數a1,a2,…,an,an+1，記s = a1+a2+ … + an+ an+1，那么就有

2.2 主元法

欲證a3+ b3+ c3- 3abc ≥0，在三元三次齊次多項式a3+ b3+ c3- 3abc 中，以c 為主元，由于

同 理，欲 證

當然也可以用導數的方法來解決.

2.3 使用常見不等式x ≥1 + lnx( x ＞0 )

如

運用上面方法很容易證明算術幾何平均不等式.

2.4 構造函數

同理有

等價于

運用這個方法可以推廣到多元均值不等式.

3 基本策略的使用

由以上闡述我們認識到，基本概念、基本方法、基本策略是數學核心素養的靈魂.運用基本概念、基本方法、基本策略來認識數學知識，解決數學問題是培養數學核心素養的關鍵.