多項式數列的連續(xù)分解

趙鳳鳴

（四川職業(yè)技術學院 應用數學與經濟系，四川 遂寧 629000）

我們將文[1]第83 頁第14 題作為本文的引例，該題如下：

在文[2]中，作者給出的解法如下：

解

故 原式

我們認為，可以對該解法進行優(yōu)化，給出一個較為一般實用的方法。注意到等差數列

從上面的分析可以看出，研究數列an是否能分解為an= bnbn+1顯然具有重要意義，這樣的分解我們就稱為數列的連續(xù)分解。一般，我們給出如下的

定義對于數列an，若存在數列bn，使an= bnbn+1…bn+k-1（k ≥2），則稱bnbn+1…bn+k-1是數列an的一個k 階連續(xù)分解。

由于問題的復雜性，我們在這里不做一般的研究，只研究an是n 的次數不超過4 的一些特殊多項式的這種分解，并假設bn也是n 的多項式.顯然，若an是一次多項式，則研究an的連續(xù)分解沒有意義，所以假設an分別為2,3,4 次多項式。對于an為2 次和4 次多項式的情形，顯然研究an的2 階連續(xù)分解才有意義，而對于后者的一般性研究顯然很困難，這里只研究an為形如( rn + s )4+ t 和rn4+ sn2+ t 的4 次多項式.對于an為3 次多項式的情形，顯然研究an的3 階連續(xù)分解才有意義，一般性研究顯然很困難，不過也可以對an的某些特殊情況進行研究，但限于篇幅，本文在這里不作研究。

定理1設四次多項式an= ( rn + s )4+ t，r ＞0，若存在多項式bn，使an= bnbn+1成立，則r4= 4t，并且若假設bn的首項系數大于0，則

反之，若r4= 4t，則（1）滿足an= bnbn+1.

證明：若存在多項式bn使an= bnbn+1成立，因bn和bn+1是同次多項式且首項系數相同，則bn必為二次多項式，設bn= an2+ bn + c，有

因此不妨設a ＞0.上式即為

比較系數得

由（A）前四式解得

將a,b,c 代入（A）的最后一式得r4= 4t，將a,b,c 代入代入bn= an2+ bn + c 得（1）.

在引例中，r = 6，s = -2，t = 324，滿足r4= 4t，由定理1 可直接求得bn.由于以下定理2 和定理3 的證明類似于定理1 的證明，故略.

定 理2設 四 次 多 項 式an= rn4+ sn2+ t，若 存 在 多 項 式bn，使an= bnbn+1成 立，則r ＞0，( r + s )2= 4rt，并且若假設bn的首項系數大于0，則

反之，若r ＞0，且( r + s )2= 4rt，則（2）滿足an= bnbn+1.

如計算：