改進(jìn)學(xué)具，讓計(jì)算的意義和邏輯更明確

金干周

[摘 要]數(shù)數(shù)本身就是一個(gè)對(duì)物理量進(jìn)行度量的過(guò)程，數(shù)字則是對(duì)物體按照1個(gè)單件為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行度量后得出的數(shù)學(xué)化符號(hào)，先有量后有數(shù)。計(jì)算時(shí)，往往只體現(xiàn)數(shù)字變化，沒(méi)有體現(xiàn)量的變化，而通過(guò)改進(jìn)學(xué)具，可以讓計(jì)算的意義和邏輯更明確。

[關(guān)鍵詞]數(shù)數(shù);度量;數(shù)量;改進(jìn)學(xué)具

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）29-0035-02

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，可是小學(xué)數(shù)學(xué)中并沒(méi)有闡述清楚何為數(shù)，何為量。例如，算式2+3=5中的數(shù)字2，3，5各代表什么含義？該算式可以解決哪些問(wèn)題？做對(duì)就能會(huì)用嗎？如何檢驗(yàn)對(duì)錯(cuò)？算理是什么？對(duì)于這些疑問(wèn)，教材中并沒(méi)有明確的解答。為了讓知識(shí)更嚴(yán)密，讓學(xué)生從小形成推理意識(shí)，筆者就數(shù)與量的教學(xué)談一些粗淺的認(rèn)識(shí)。

一、數(shù)數(shù)是一種度量，要分清數(shù)與量的關(guān)系

萬(wàn)事萬(wàn)物都有質(zhì)和量。質(zhì)決定了事物的物理化學(xué)屬性，量卻反映了多少。究竟何為量呢？任何事物都能用自己的一部分作為標(biāo)準(zhǔn)去度量整體的容量。事物的這種自定義可測(cè)性就是量化，即量指的是事物的大小、范圍、程度等。用一個(gè)基本量度量時(shí)就會(huì)產(chǎn)生次數(shù)，度量次數(shù)抽象出來(lái)就是數(shù)字。由此可見(jiàn)，數(shù)是從度量中提煉出來(lái)的，先有量，后有數(shù)。事實(shí)上數(shù)數(shù)就是一種度量，是用“一個(gè)”作為標(biāo)準(zhǔn)去度量，看整體含有多少個(gè)這樣的“一個(gè)”。只不過(guò)這種度量不需要借助計(jì)量工具，只需要進(jìn)行數(shù)目比對(duì)。例如，數(shù)數(shù)下列各圖中共有多少個(gè)正方形。

在清點(diǎn)正方形時(shí)，從第一個(gè)圖形開始，用一個(gè)正方形的形狀去對(duì)比，通過(guò)形象對(duì)比發(fā)現(xiàn)：只有第二、第三、第七個(gè)圖形符合標(biāo)準(zhǔn)，于是只有3個(gè)圖形滿足有正方形這個(gè)條件。再如，一桶食用油重5千克，對(duì)這個(gè)數(shù)字的理解應(yīng)是：把一千克油的重量作為標(biāo)準(zhǔn)去度量一桶油，正好分出5份;而不是一次性稱量出一桶油的重量是5千克。因?yàn)槿绻@桶油里含有雜質(zhì)，或者秤有問(wèn)題，雖然讀數(shù)是5千克，但實(shí)際上凈重仍未達(dá)到5千克。這就是說(shuō)，稱重本質(zhì)上是一種簡(jiǎn)化的度量法。

由“數(shù)是由度量產(chǎn)生的”就可以厘清數(shù)和量的關(guān)系：“數(shù)”是對(duì)“量”的抽象化和符號(hào)化處理，它是人為規(guī)定的。“量”是客觀存在的物理特征，不可更改。因此同一個(gè)量，可以用不同的數(shù)字和度量單位來(lái)表達(dá)。例如，1米長(zhǎng)的量可以有多種表示方式：1米、10分米、100厘米、0.001千米，還可以表示為3尺。數(shù)和量，后者是實(shí)物，前者是名稱。數(shù)必須通過(guò)度量才能計(jì)算出來(lái)，量則是不會(huì)隨著度量行為和度量標(biāo)準(zhǔn)的改變而改變。

二、分清自然數(shù)“1”與“單位1”的區(qū)別

厘清了數(shù)和量的關(guān)系，也就不難理解“自然數(shù)1”與“單位1”的區(qū)別。“單位1”的提出是為分?jǐn)?shù)意義教學(xué)做準(zhǔn)備的。“單位1”的定義以及與“自然數(shù)1”的區(qū)別和聯(lián)系，課本和教參中語(yǔ)焉不詳。學(xué)生對(duì)二者的區(qū)別大多一知半解。區(qū)分?jǐn)?shù)和量是區(qū)分二者的基礎(chǔ)。“單位1”是指度量前一個(gè)抽象的度量單位，是客觀存在的。“自然數(shù)1”是指度量時(shí)一個(gè)度量單位出現(xiàn)的次數(shù)，只有度量行為發(fā)生時(shí)才會(huì)出現(xiàn)。“單位1”是靜態(tài)事實(shí)，“自然數(shù)1”是動(dòng)態(tài)產(chǎn)生的。“單位1”屬于量，“自然數(shù)1”屬于數(shù)。

明確了數(shù)和量的關(guān)系，就要對(duì)算式中的各個(gè)數(shù)字規(guī)定其意義。一個(gè)不帶單位的數(shù)學(xué)算式，其中的數(shù)字表示的究竟是數(shù)，還是量？這需要說(shuō)明，否則無(wú)法計(jì)算。因?yàn)閿?shù)只是一種對(duì)量的抽象記錄的文字符號(hào)，文字符號(hào)是沒(méi)有大小的，是無(wú)法計(jì)算的，所以算式中的數(shù)字必須是物理量。然而算式中的數(shù)字必須賦予其物理意義，否則無(wú)法判斷對(duì)錯(cuò)。例如2+3=5，該式子如果脫離物理量，則無(wú)法判斷對(duì)錯(cuò)。因?yàn)橹灰怯猛粋€(gè)度量單位度量了兩次，都能抽象為“2”，同理，凡是用同一個(gè)度量單位度量了三次，都能抽象為“3”。試想：2根黃瓜與3個(gè)雞蛋合起來(lái)能等于5根香腸嗎？2年加3天能等于5秒嗎？判斷的理由是什么，推算過(guò)程是怎么樣的？這些都不能僅憑直覺(jué)，而必須對(duì)每一個(gè)數(shù)字賦予其物理意義，并且還要建立評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。可是現(xiàn)在的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，沒(méi)有嚴(yán)格規(guī)定數(shù)的意義，因此也就缺乏判斷對(duì)錯(cuò)的標(biāo)準(zhǔn)。可見(jiàn)，當(dāng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在著“數(shù)量不分、邏輯不嚴(yán)”的弊端。

三、學(xué)具的運(yùn)用不當(dāng)導(dǎo)致算式中數(shù)字的無(wú)意義化

傳統(tǒng)的計(jì)數(shù)學(xué)具，如小棒、方塊計(jì)數(shù)器、點(diǎn)子圖等，都沒(méi)有體現(xiàn)數(shù)字的度量屬性，不具有代表性，無(wú)法揭示數(shù)與量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。盡管學(xué)生也能借助這些工具理解數(shù)的意義，但無(wú)法明確數(shù)的度量屬性，厘不清數(shù)和量的關(guān)系，若盲目粗暴地給算式中的數(shù)字賦予物理意義，根本無(wú)法讓其成為一般規(guī)律。要實(shí)現(xiàn)預(yù)定目標(biāo)，必須創(chuàng)新計(jì)數(shù)學(xué)具。要體現(xiàn)“數(shù)是由度量產(chǎn)生的”這一規(guī)律，計(jì)數(shù)學(xué)具首先應(yīng)該具有直觀的可度量性，其次還應(yīng)具有可替換性。而常規(guī)的小棒、計(jì)數(shù)器、點(diǎn)子圖卻缺少這兩大功能。

四、方格認(rèn)數(shù)學(xué)具能正確體現(xiàn)計(jì)算中數(shù)的意義

什么樣的學(xué)具正好具備可度量性和可替換性這兩大功能呢？它就是方格認(rèn)數(shù)學(xué)具。方格認(rèn)數(shù)學(xué)具是用方格代表實(shí)物個(gè)數(shù)，用圖片代替實(shí)物，通過(guò)動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)來(lái)完成計(jì)數(shù)的一種學(xué)具，它適用于小學(xué)各個(gè)學(xué)段。方格認(rèn)數(shù)學(xué)具中的方格里面包含圖片信息，它不但可以形象代表各種物體，還能很好地將現(xiàn)實(shí)數(shù)量問(wèn)題通過(guò)“實(shí)物圖片—方格—數(shù)量”的方式轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作來(lái)解答，最后通過(guò)方格數(shù)來(lái)驗(yàn)算。由于方格中有圖片，圖片上的信息直觀形象，使用方格時(shí)可以通過(guò)想象完成演算。對(duì)于一個(gè)不帶物理單位的算式，也可以統(tǒng)一設(shè)定判定標(biāo)準(zhǔn)：算式中的數(shù)字表示一個(gè)可以代表任何物體的方格數(shù)量，它的對(duì)錯(cuò)判定標(biāo)準(zhǔn)，就是是否與方格移動(dòng)操作的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符。做應(yīng)用題時(shí)，再把方格中的圖片替換成題中所設(shè)的事物，然后再根據(jù)度量單位的一致性來(lái)判斷算式的合理性。如此一來(lái)，就順利實(shí)現(xiàn)了一般算式可用實(shí)驗(yàn)操作法來(lái)判斷對(duì)錯(cuò)。由于方格內(nèi)容的萬(wàn)能性，用方格認(rèn)數(shù)學(xué)具計(jì)算時(shí)，也實(shí)現(xiàn)了數(shù)字物理意義的萬(wàn)能性，同時(shí)糾正了用特例當(dāng)作普遍規(guī)律的錯(cuò)誤。有了用方格代表個(gè)數(shù)和用方格內(nèi)圖片代表實(shí)物的思維轉(zhuǎn)換過(guò)程，再根據(jù)研究數(shù)量關(guān)系的基本原則（①客觀事物的數(shù)量可以用圖片代替實(shí)物;②事物的數(shù)量與實(shí)物所處的位置無(wú)關(guān)）可以讓計(jì)數(shù)教學(xué)變得明朗起來(lái)。例如，數(shù)字2默認(rèn)表示2個(gè)方格，數(shù)字3默認(rèn)表示3個(gè)方格，2+3=5就表示2個(gè)方格加3個(gè)方格等于5個(gè)方格，這樣就不會(huì)產(chǎn)生歧義。如果涉及應(yīng)用題，就必須在方格中填充圖片，把圖片想象成實(shí)物，再聯(lián)系實(shí)際進(jìn)行計(jì)算。此外還必須明確，只有統(tǒng)一圖片內(nèi)容，式子才能成立，否則將無(wú)法計(jì)算。這就給數(shù)字符號(hào)賦予了確定的物理意義，建立了判斷標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)計(jì)算對(duì)錯(cuò)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，是一個(gè)實(shí)踐檢驗(yàn)過(guò)程，以客觀事實(shí)為唯一依據(jù)。

方格認(rèn)數(shù)學(xué)具的一個(gè)方格包含一張圖片，內(nèi)容可以是任何單個(gè)物體，也可以是多個(gè)同類的物體組合的整體;可以是照片，也可以是圖畫;可以是實(shí)物，也可以是虛擬物體。但不論表示何物，數(shù)字“1”都表示度量次數(shù)。而“2”必須是用同一個(gè)度量單位度量了兩次才能記作2，不是隨便將兩個(gè)“1”合并為“2”。也就是說(shuō)，如果不對(duì)數(shù)字規(guī)定其具體的物理意義，那么1+1=2未必就對(duì)。

（責(zé)編 羅 艷）