七橋問(wèn)題

馬兆兵

18世紀(jì)初，在波羅的海南海岸有一座景色迷人的小鎮(zhèn)——普魯士的哥尼斯堡（現(xiàn)在叫加里寧格勒），被一條河穿過(guò)。河中有兩個(gè)小島，有七座橋把兩個(gè)島與河岸連了起來(lái)（如圖1）。這里的橋和景色每天都吸引了無(wú)數(shù)的游客流連忘返。

城中有位聰明、愛(ài)思考的少年。一天，這位少年提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)人能否從某地出發(fā)，穿過(guò)所有橋不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)？

問(wèn)題提出后，很多人對(duì)此感興趣，紛紛進(jìn)行試驗(yàn)，但在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間里，始終未能解決。因而，這個(gè)問(wèn)題在那時(shí)成了一道著名的難題，也就是“哥尼斯堡七橋問(wèn)題”。

1735年，有幾名大學(xué)生寫(xiě)信給在彼得堡科學(xué)院任職的天才數(shù)學(xué)家歐拉，請(qǐng)他幫忙解決這一問(wèn)題。歐拉實(shí)地觀察之后，認(rèn)真思考走法，但始終沒(méi)能成功。

歐拉思考：人們多次失敗是否預(yù)示著這樣的路線根本不存在？該如何說(shuō)明呢？

歐拉用數(shù)學(xué)分析法，將其中的四塊陸地抽象為四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，將陸地之間架設(shè)的七座橋梁用線來(lái)表示，分別表示為a、b、c、d、e、f、g。經(jīng)過(guò)抽象之后，圖1就變成了由點(diǎn)和線組成的圖形（如圖2），這個(gè)圖形被稱為“歐拉圖”。于是，“七橋”問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為是否可以“一筆畫(huà)”的問(wèn)題。什么叫“一筆畫(huà)”呢？那就是筆不準(zhǔn)離開(kāi)紙，一筆畫(huà)成整個(gè)圖形，且每一條線只許畫(huà)一次，不得重復(fù)。

接下來(lái)，歐拉找到了“一筆畫(huà)”的規(guī)律，并以此規(guī)律為判斷準(zhǔn)則，很快就判斷出：要一次不重復(fù)地走遍哥尼斯堡的七座橋是不可能的。也就是說(shuō)，這么多年來(lái)，人們費(fèi)腦費(fèi)力尋找的那條不重復(fù)的路線，根本就不存在。

歐拉的思考方法非常巧妙，也非常重要，它正表明了數(shù)學(xué)家處理實(shí)際問(wèn)題的獨(dú)特之處——把一個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象成合適的“數(shù)學(xué)模型”。這種研究方法就是“數(shù)學(xué)模型法”。