淺談分類討論法在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

鄧 燕

（廣西壯族自治區(qū)柳州市第四十七中學(xué)，廣西 柳州 545000）

學(xué)會用分類討論的方法解決數(shù)學(xué)問題是初中數(shù)學(xué)重點學(xué)習(xí)的內(nèi)容之一，這種方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，它能揭示數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)屬性并進行歸納，具有較強的邏輯性和概括性，它不僅能幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，還能提高學(xué)生的邏輯思維能力和創(chuàng)新能力。

一、培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想的重要性

數(shù)學(xué)是一門來自生活的學(xué)科，生活中處處可見數(shù)學(xué)的蹤影。如，我們把有相同愛好的學(xué)

生歸為一類，把動物分成哺乳動物、胎生動物；把植物分為裸子植物、被子植物等等，這些都涉及到分類的思想。在數(shù)學(xué)中，分類思想也是特別常見，如我們把多邊形分成三角形、四邊形等，將函數(shù)分為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等等，這些都是分類思想的體現(xiàn)。

此外，初中階段是學(xué)生思維養(yǎng)成的關(guān)鍵時期，數(shù)學(xué)中的一些概念、定理等都是在一定的科學(xué)體系下展開的，因此為了學(xué)生能建立起一個完善的數(shù)學(xué)思維體系和應(yīng)對中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)任務(wù)，掌握分類思想是非常必要的，在解決數(shù)學(xué)問題時，對于因為存在一些不確定因素?zé)o法解答或者結(jié)論不能給予統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問題，我們往往將問題按某個標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干類或若干個局部問題來解決，通過正確的分類，能夠克服思維的片面性，可以使復(fù)雜的問題得到清晰，完整，嚴(yán)密的解答。

二、數(shù)學(xué)概念引起的分類討論

在數(shù)學(xué)上，有些概念本身就含有分類討論的思想，如|a|，我們在討論絕對值a等于什么的時候，得看一下a的正負，如果a為大于等于零的數(shù)，那么|a|就等于a本身。如果a為負數(shù)，那么|a|就等于它的相反數(shù)，及-a。

我們來看下面的一道例題：

若|a|= 5,|b|= 3,a+b＞0，那么a-b的值是多少？

我們在做這道題時，首先要先分析a，b的值是多少，由絕對值的定義可知，a和b的值都是兩種情況，即a的值為正負5，b的值為正負3，那么此時再計算a-b的值時就需要分類討論了。根據(jù)題里面的已知條件，a+b ＞ 0可知，a的值不能為-5，而b的值可以是正負3，所以最后可得出a-b的值是2或8。

三、創(chuàng)設(shè)生活問題情境，引發(fā)分類討論

初中階段學(xué)生的思維意識并沒有很成熟，遇到問題時不知道把問題進行怎樣的分類。這就需要我們結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，給他們創(chuàng)設(shè)分類的情境來啟發(fā)誘導(dǎo)，培養(yǎng)自覺應(yīng)用分類討論解決問題的意識。例如我們看一道和生活相關(guān)的分類討論題：

甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲超市累計購買商品超出300元之后，超出部分按原價8折優(yōu)惠；在乙超市累計購買商品超出200元之后，超出部分按原價8.5折優(yōu)惠，那么顧客選擇哪家超市更劃算。

根據(jù)生活經(jīng)驗，我們知道，如果購買的商品價格沒有到300元，甲超市此時沒有優(yōu)惠，那肯定是選擇乙超市。倘若購買的商品價錢較多時，甲超市的優(yōu)惠力度大，選擇甲超市更劃算一些，這就涉及到了分類討論。

首先可以假設(shè)顧客商品的價格是x元，由題意可以得到：

①當(dāng)0.8x+60=0.85x+30時，解得x=600.∴當(dāng)顧客購物600元時，到兩家超市購物所付費用相同；

②當(dāng)0.8x+60＞0.85x+30時，解得x＜600，∴x＜600.即顧客購買商品不滿600元時，到乙超市更優(yōu)惠；

③當(dāng)0.8x+60＜0.85x+30時，解得x＞600，即當(dāng)顧客購物超過600元時，到甲超市更優(yōu)惠。

四、歸納總結(jié)，強化分類討論思想

數(shù)學(xué)是一門需要不斷總結(jié)歸納的學(xué)科，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，對數(shù)學(xué)所體現(xiàn)的分類討論思想要不斷反思，領(lǐng)悟分類討論思想的深層意義。首先，通過解題與反思活動，從具體數(shù)學(xué)問題與范例中概括、歸納解題方法，充分挖掘出隱含在所要教學(xué)內(nèi)容中的分類討論思想；其次，在解決問題的過程中，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)分類討論思想方法，對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想與轉(zhuǎn)化功能，實現(xiàn)舉一反三、觸類旁通。培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成反思的良好習(xí)慣，對于課本中的例題與習(xí)題，在教學(xué)后進行充分的反思：（1）這種方法是如何想出來的？關(guān)鍵的地方在哪？為什么有時想不出來？（2）還能找到更好的解題方法嗎？這個方法有實用性嗎？（3）通過解決一個問題，我們得到了什么？這樣的反思能較好的體現(xiàn)思維本質(zhì)，從而形成數(shù)學(xué)思想。例如：在學(xué)習(xí)三角形后，就對整章內(nèi)容進行總結(jié)，對三角形按邊分類和按角分類進行強化記憶，對一些特殊三角形的性質(zhì)再次進行推理驗證。

總之，初中數(shù)學(xué)中的分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)思想，有利于增強學(xué)生思維的條理性、縝密性和科學(xué)性。教師在教學(xué)中結(jié)合教材，創(chuàng)設(shè)情境，強化需要區(qū)分情況進行討論的問題，啟發(fā)學(xué)生積極思維，從而培養(yǎng)學(xué)生自覺應(yīng)用分類討論的意識。通過在教學(xué)中著重滲透數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，相信學(xué)生在認知層次上會得到極大地提高，從而收到事半功倍的效果。