淺談圓錐曲線離心率范圍問題的經典題型

■重慶市鐵路中學校 何成寶

求圓錐曲線中的離心率范圍問題是同學們在學習圓錐曲線時經常遇到的一類問題。面對此類問題,同學們往往束手無策,難以順利解決,下面結合幾道例題談談這類問題的求解策略,以供參考。

一、建立函數關系式求解

根據題設條件建立離心率和其他變量的函數關系式,然后利用函數求值域的方法求解離心率的范圍。

例1已知橢圓=1(a＞b＞0)上一點A關于原點O的對稱點為點B,F為橢圓的右焦點,若AF⊥BF,設∠ABF=α,且,則橢圓離心率的取值范圍是____。

點評：由已知條件建立關于a,c的一個方程,用參數α表示離心率e,從而建立了以α為變量的三角函數,然后求三角函數的值域,從而求出橢圓離心率的取值范圍。

練習：已知直線l：kx-y-2k+1=0與橢圓=1(a＞b＞0)交于A、B兩點,與圓C2：(x-2)2+(y-1)2=1交于C、D兩點。若存在k∈[-2,-1],使得,則橢圓C1的離心率的取值范圍是( )。

二、利用判別式求解

根據題中條件隱含著的一元二次方程有解,利用判別式建立不等式關系,來求離心率的取值范圍。

例2設雙曲線-y2=1(a＞0)與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點A、B,求雙曲線C的離心率e的取值范圍。

解析：雙曲線與直線相交于兩個不同的點,故方程組有兩個不同的實數解。

兩式聯立,消去y并整理得：

因此離心率e的取值范圍為

點評：將圓錐曲線方程和直線方程聯立,消去一個變量后得到一個關于另一個變量的方程,由已知可得此方程有兩個不相等的實數根,利用二次方程根的判別式可得到變量的取值范圍,再找出e與這個變量之間的關系即可求解。

練習：已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的右頂點為A,拋物線C：y2=8ax的焦點為F。若在雙曲線E的漸近線上存在點P,使得,則雙曲線E的離心率的取值范圍是 ( )。

解析：由題意得,A(a,0),F(2a,0)。設,由,得=0-3ax0+2a2=0。因為在雙曲線E的漸近線上存在點P,則Δ≥0,即9a2-4×。又E為雙曲線,故,選B。

三、利用已知的不等關系求解

根據圓錐曲線的幾何性質及直線與圓錐曲線的位置關系,利用已知的不等關系,將問題轉化為求解不等式。

例3橢圓=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F1、F2,斜率為k的直線l過右焦點F2,且與橢圓交于A、B兩點,與y軸交于M點。若,當|k|≤時,求橢圓的離心率的取值范圍。

解析：設直線l的方程為y=k(x-c)。令x=0,得y=-ck,即點M的坐標為(0,-ck)。 因 為,所 以即B。因為點B在橢圓上,所以將點B的坐標代入橢圓方程整理得k2=4e2+-13。因為|k|≤,所以k2≤24,即-13≤24,整理得4e4-37e2+9≤0。

又0＜e＜1,解得≤e＜1。

點評：解決本題的關鍵是如何建立k與e之間的關系,然后再利用k的取值范圍來解e的取值范圍,同時還要注意橢圓離心率e的取值范圍。

練習：雙曲線=1(a＞1,b＞0)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的距離與點(-1,0)到直線l的距離之和,求雙曲線的離心率e的取值范圍。

解析：已知條件中有一個不等關系s≥,只要用a、b、c表示出s,代入轉化為關于e的不等式即可求解。

四、利用圓錐曲線的取值范圍建立不等關系求解

例4設橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,如果橢圓上存在點P,使∠F1PF2=90°,求離心率e的取值范圍。

點評：確定橢圓上點P(x,y)與a,b,c的等量關系,由橢圓中的取值范圍,即|x|≤a,|y|≤b,建立不等關系。如果涉及曲線上的點到焦點的距離的有關問題,也可用曲線的焦半徑公式求解。

練習：雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,若雙曲線上存在點P滿足=-a2,則雙曲線的離心率的取值范圍為( )。

五、利用隱含的不等關系求解

例5已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2,左準線為l,P是雙曲線左支上一點,并且|PF1|是P點到l的距離d與|PF2|的等比中項,求離心率e的取值范圍。

解析：解決此題需要用到題中的隱含條件,即根據已知P是雙曲線左支上的一點,則P點到左、右焦點的距離之和大于或等于焦距,從而找到了關于e的不等關系即可求解。

由雙曲線的第一定義知|PF2|-|PF1|=2a。 ①

點評：找出本題的不等關系是解題的關鍵。

圓錐曲線的定義中隱含的不等關系主要有：

(1)設點P為橢圓C上一點,則有|PF1|-|PF2|≤2c。

(2)設點P為雙曲線C上一點,則有|PF1|+|PF2|≥2c。

練習：設F1(-c,0)、F2(c,0)分別是橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點,若在直線x=上存在點P,使線段PF1的中垂線過點F2,則橢圓離心率的取值范圍是( )。

六、利用數形結合求解

根據方程表示曲線的幾何特征,利用數形結合確定離心率的取值范圍。

例6已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的右頂點為A,B、C都在雙曲線的右支上,若△ABC 為正三角形,求雙曲線的離心率e的取值范圍。

解析：由圖1 易知,B、C關于x軸對稱,直線AB一定與雙曲線的右支相交,必與漸近線在第一象限有交點。

圖1

點評：將數用形來體現,直接得到a,b,c的不等關系,這恰好是解決數學問題較好的一種方法,也是重要的解題途徑。

練習：橢圓=1(a＞b＞0)和圓x2+y2=(其中c為橢圓的半焦距 )有四個不同的交點, 求橢圓的離心率e的取值范圍。

解析：要使橢圓和圓有四個不同的交點,只需要

小結：從以上幾種求圓錐曲線的離心率的策略來看,我們要明確求離心率的取值范圍主要有兩條途徑：一是建立離心率和一個變量的函數關系式；二是根據題設條件建立a,b,c的不等關系,然后利用橢圓與雙曲線中a2,b2,c2的關系及離心率的限制范圍,最終求出離心率的取值范圍。