也談兩個(gè)重要極限的變形

楊松林

【摘要】本文總結(jié)了重要極限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要極限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e多種變形，結(jié)合實(shí)例討論了這些變形在求極限中的應(yīng)用，希望有助于提高學(xué)生求極限的能力.

【關(guān)鍵詞】極限;重要極限;無(wú)窮小量

一、引 言

函數(shù)的極限是微積分學(xué)習(xí)的重要組成部分，在微積分的體系起著必不可少的紐帶作用，也是微積分入門(mén)的主要障礙之一.重要極限Ⅰ：limx→0sinxx=1和重要極限Ⅱ：limx→0（1+x）1x=e[1]是極限運(yùn)算的重要組成部分，是高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽和研究生入學(xué)考試的重要考點(diǎn).文獻(xiàn)[2][3]等給出了重要極限Ⅱ的變形.[2]中給出重要極限Ⅱ的一種變形，這一變形是重要極限Ⅱ的考慮最全面的變形之一，但在該變形中要用到帶Peano型余項(xiàng)的Taylor展開(kāi)式，對(duì)一般的學(xué)生掌握有一定的難度.本文從便于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握的角度總結(jié)出重要極限的幾種變形，一方面，學(xué)生在學(xué)完第一章[1]極限知識(shí)后，就可以直接使用這些變形來(lái)求具有一定難度的函數(shù)極限;另一方面，可以不用Taylor展開(kāi)式來(lái)處理一類1∞型冪指函數(shù)的極限.本文通過(guò)多個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明重要極限及其變形的應(yīng)用和重要極限在微積分學(xué)習(xí)中的重要性，希望對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用重要極限具有指導(dǎo)意義，以提高學(xué)生求極限的能力.

二、重要極限的變形

以下討論僅給出x→x0的情形，如沒(méi)特別注明對(duì)x→∞的情形，結(jié)論也成立.記o（α（x））為α（x）當(dāng)x→x0時(shí)的高階無(wú)窮小.

重要極限Ⅰ limx→0sinxx=1[1].

重要極限Ⅰ主要用來(lái)處理00型的極限.

形式一：設(shè) limx→x0α（x）=0，則 limx→x0sinα（x）α（x）=1.

形式二：設(shè)α（x）和β（x）是x→x0時(shí)的同階無(wú)窮小且 limx→x0β（x）α（x）=k≠0，則 limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=k.

證明 對(duì)極限進(jìn)行變形，

limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））

=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））

=limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））·limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x）），

設(shè)g（x）=β（x）+o（β（x）），由limx→x0g（x）=0及形式一得

limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））β（x）+o（β（x））=limx→x0sing（x）g（x）=1，

limx→x0β（x）+o（β（x））α（x）+o（α（x））=limx→x0β（x）α（x）+β（x）α（x）·o（β（x））β（x）1+o（α（x））α（x）=k，

因此， limx→x0sin（β（x）+o（β（x）））α（x）+o（α（x））=1·k=k.

文[4]給出重要極限Ⅰ的一個(gè)關(guān)于多元函數(shù)的變形.

形式三[4] 設(shè)n為正整數(shù)，ai（i=1，2，…，n）為常數(shù)，則

limxi→0i=1，2，…，na1sinx1+a2sinx2+…+ansinxna1x1+a2x2+…+anxn=1.

重要極限Ⅱ limx→0（1+x）1x=e或 limn→∞1+1nn=e[1].

重要極限Ⅱ主要用來(lái)處理1∞型冪指函數(shù)的極限，其應(yīng)用比重要極限Ⅰ的應(yīng)用更為廣泛，題型多種多樣.

形式一：設(shè)α（x）是x→x0時(shí)的無(wú)窮小，則

limx→x0（1+α（x））1α（x）=e.

形式二：設(shè)α（x）和β（x）是x→x0時(shí)的等階無(wú)窮小，則

limx→x0（1+α（x））1β（x）=e.

形式三：設(shè) limn→∞xn=0， limn→∞yn=0且 limn→∞xnyn=k≠0，則

limn→∞（1+xn）1yn=ek.

形式四：設(shè) limx→x0α（x）=1，limx→x0β（x）=0且 limx→x0α（x）-1β（x）=k≠0，則limx→x0（α（x））1β（x）=ek.

證明 limx→x0（α（x））1β（x）=limx→x0（1+（α（x）-1））1β（x），

其中 limx→x0α（x）-1β（x）=k，因此，由形式二得

limx→x0（α（x））1β（x）=ek.

形式五[2]：設(shè)α（x）和β（x）是x→x0時(shí)的同階無(wú)窮小且 limx→x0α（x）β（x）=k≠0，則

limx→x0（1+α（x）+o（α（x）））1β（x）+o（β（x））=ek.

形式五是重要極限Ⅱ的考慮最全面的變形之一，但在該變形中要用到帶Peano型余項(xiàng)的Taylor展開(kāi)式，對(duì)學(xué)生的要求比較高，學(xué)生應(yīng)用起來(lái)有一定的難度，不便于對(duì)微積分中等要求的學(xué)生掌握.

三、應(yīng)用實(shí)例

例1 求極限 limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3.

解 這是一個(gè)00型的極限，通常可以用洛必達(dá)法則求其極限.我們利用重要極限Ⅰ的形式二，不需要導(dǎo)數(shù)的概念，只要利用等價(jià)無(wú)窮小.

因?yàn)椋?dāng)x→0時(shí)，sinx2～x2=o（x），tanx3～x3=o（x），

所以，x+sinx2=x+o（x），sin3x+tanx3=sin3x+o（x），

因此，limx→0sin（x+sinx2）sin3x+tanx3=limx→0sinxsin3x=13.

例2 求極限 limn→∞12+n（n+1-n）n+1+n+1n+1-n.

解 這是一個(gè)冪指函數(shù)型的數(shù)列極限，通常可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限，然后用洛必達(dá)法則來(lái)求其極限.我們利用重要極限Ⅱ的形式三，可不用導(dǎo)數(shù)的概念直接計(jì)算.

原式=limn→∞1+n-n+12（n+1+n）n+1+n+1n+1-n，

其中 limn→∞n-n+12（n+1+n）=0，

因?yàn)?limn→∞n-n+12（n+1+n）1n+1+n+1n+1-n=-12，所以由重要極限Ⅱ的形式三得，原式=e-12.

例3 求極限 limx→01+sinxcosax1+sinxcosbxcot3x（a≠b）.

解 這是一個(gè)1∞型的極限，通常可以用洛必達(dá)法則求其極限.我們利用重要極限Ⅱ的形式四，只要計(jì)算下列極限：

limx→01+sinxcosax1+sinxcosbx-1tan3x=limx→0sinxcosax-sinxcosbxtan3x（1+sinxcosbx）

=limx→0cosax-cosbxsin2x

=limx→0-2sina+b2xsina-b2xsin2x=12（b2-a2）.

因此，原式=e12（b2-a2）.

例4 設(shè)函數(shù)f（x）在x=a處二階可導(dǎo)，且f（a）≠0，求 limn→∞f（a+1n）f（a）n.

解 這是一個(gè)1∞型的數(shù)列極限，我們用重要極限Ⅱ的形式三來(lái)計(jì)算其極限.

原式=limn→∞1+fa+1n-f（a）f（a）n，

其中 limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）

=limn→∞f（a+1n）-f（a）1n·1nf（a）=0，

因?yàn)?limn→∞f（a+1n）-f（a）f（a）1n=f′（a）f（a），所以由重要極限Ⅱ的形式三得，原式=ef′（a）f（a）.

該題也可以重要極限Ⅱ的形式五來(lái)計(jì)算其極限.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=a處二階可導(dǎo)，所以由Taylor展開(kāi)式得

fa+1n=f（a）+f′（a）n+o1n2，

即有，fa+1n-f（a）f（a）=f′（a）nf（a）+o1n2，

因?yàn)?limn→∞f′（a）nf（a）1n=f′（a）f（a），

所以由重要極限Ⅱ的形式五得，原式=ef′（a）f（a）.

我們也可以用上述變形來(lái)處理二元函數(shù)的極限.

例5 求極限 limx→3y→∞1+yyx2x+y.

解 這是一個(gè)1∞型的二元函數(shù)極限，我們同樣可以利用重要極限Ⅱ的形式四來(lái)計(jì)算，只要計(jì)算下列極限：

limx→3y→∞1+yy-1x2x+y=limx→3y→∞x+yx2y=1，因此，原式=e1=e.

本文總結(jié)了重要極限Ⅰ和Ⅱ的一些重要變形，通過(guò)實(shí)例探討了這些變形的應(yīng)用，希望能給學(xué)生在學(xué)習(xí)極限時(shí)有所幫助，提高學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣，對(duì)后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)能起到一個(gè)很好的鋪墊作用.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：第7版[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]牛傳擇，桑波，顏紅.第二重要極限的一種簡(jiǎn)易變形[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2016（5）：105-108.

[3]潘花，仇海全，王穎.第二重要極限在函數(shù)極限計(jì)算中的應(yīng)用[J].吉林工程技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（32）：94-96.

[4]楊東成.兩個(gè)重要極限的新證法及推廣[J].保山學(xué)院學(xué)報(bào)，2012（5）：57-59.