基于考研高數(shù)的極限求解的方法分析

柴源

【摘要】在考研的高數(shù)學(xué)習(xí)中，極限求解問(wèn)題一直是考研高數(shù)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，同時(shí)也是歷年考研中的一個(gè)高頻考點(diǎn)之一.本文以近年來(lái)考研高數(shù)中的極限求解真題為例，通過(guò)對(duì)考研高數(shù)中的極限求解問(wèn)題進(jìn)行分析，講解了在考研高數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，利用一定的方法對(duì)極限求解問(wèn)題進(jìn)行解答，以及為今后的考研高數(shù)中的極限求解問(wèn)題給出相關(guān)的學(xué)習(xí)指導(dǎo)建議和參考.

【關(guān)鍵詞】考研高數(shù);極限求解;方法分析

考研高數(shù)一直以來(lái)都是考研中的主要學(xué)科，近年來(lái)我國(guó)對(duì)考研高數(shù)的重視度也逐步提高.考研高數(shù)成績(jī)?cè)诳佳锌偝煽?jī)中占了很大比重.極限求解問(wèn)題作為考研高數(shù)一直以來(lái)的高頻考點(diǎn)和難點(diǎn)，在高等數(shù)據(jù)中占據(jù)了重要地位.通過(guò)極限定義了函數(shù)的連續(xù)、倒數(shù)、定積分等等.在歷年來(lái)的考研中，極限求解問(wèn)題也是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn).許多高等數(shù)學(xué)的考研資料也有很大一部分講解極限問(wèn)題的求解方法.若想學(xué)好考研高數(shù)中的極限問(wèn)題，就要將教材（同濟(jì)七版）中的高等數(shù)學(xué)解析方法很好地了解和例題運(yùn)用，那么對(duì)于學(xué)生來(lái)講，極限問(wèn)題就變得不會(huì)那么難解答了.

一、極限求解方法及適用對(duì)象

（一）定義法

定義法就是根據(jù)函數(shù)已知的極限去證明函數(shù)就是固定的常數(shù).這種方法的適用對(duì)象是已知極限的函數(shù).

（二）極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限

極限存在準(zhǔn)則分為兩種，一種稱(chēng)之為夾逼準(zhǔn)則，另一種可以通過(guò)遞推公式求得的極限準(zhǔn)則.夾逼準(zhǔn)則適用于求和極限，夾逼準(zhǔn)則可以解決的極限通常都可以通過(guò)洛必達(dá)法則進(jìn)行解析.而通過(guò)遞推公式求得的重要極限是洛必達(dá)法則中的極限.對(duì)比兩種不同的準(zhǔn)則，通過(guò)遞推公式求得的重要極限運(yùn)用在解決例題的過(guò)程中，會(huì)有明顯的速度提升.

（三）等價(jià)無(wú)窮小

運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小原則解析極限問(wèn)題是常見(jiàn)的解題手段，同時(shí)也是速度最快的方法.在等價(jià)無(wú)窮小原則的運(yùn)用過(guò)程中，一定要掌握那些等價(jià)無(wú)窮小.

（四）洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則一直是常用的極限求解方法，運(yùn)用也是相對(duì)比較簡(jiǎn)單.但是在對(duì)于例題解析的過(guò)程中，一般來(lái)講不單獨(dú)用洛必達(dá)法則，而是將洛必達(dá)法則與等階無(wú)窮小原則結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用兩種方法共同進(jìn)行解析.

二、近幾年考研真題解析

例 求極限 limx→+∞∫x1t2e1t-tdtx2ln1+1x.

分析 首先，通過(guò)例題可以看到當(dāng)x→+∞的時(shí)候這是個(gè)無(wú)窮型的極限.當(dāng)遇到這種題型時(shí)，首先要考慮利用洛必達(dá)法則進(jìn)行解析，因?yàn)槁灞剡_(dá)法則適用的題型較廣泛，解題思路相對(duì)比較簡(jiǎn)單.其次，在利用洛必達(dá)法則對(duì)極限問(wèn)題求解的過(guò)程中，考慮是否要與等價(jià)無(wú)窮小原則進(jìn)行結(jié)合，或有沒(méi)有等價(jià)無(wú)窮小可以替換，若有，則考慮替換，然后再利用洛必達(dá)法則進(jìn)行求解.

解 原式=limx→+∞∫x1（t2（e1t-1-t）dt）x2×1x

=limx→+∞∫x1（t2（e1t-1）dt）x

=limx→+∞[x2（e1x-1-x）].

在此我們又可以看到它是一個(gè)∞-∞型的，在洛必達(dá)法則中這種類(lèi)型的問(wèn)題要通分.

limx→+∞[x2（e1x-1-x）]

=limt→01t2（et-1）-1t

=limt→0et-1-tt2.

此時(shí)，經(jīng)過(guò)解析可以看出這道題是∞∞的題型，此時(shí)再運(yùn)用洛必達(dá)法則可以得出

limt→0et-1-tt2=limt→0et-12t=12.

三、對(duì)考研高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)建議

通過(guò)分析和講解考研高等數(shù)學(xué)中的真題，可以得出在高等數(shù)學(xué)的極限問(wèn)題學(xué)習(xí)過(guò)程中，一定要掌握洛必達(dá)法則和等價(jià)無(wú)窮小法則.只有將這兩種法則結(jié)合起來(lái)，才會(huì)更好地解決高等數(shù)學(xué)中的極限問(wèn)題.在數(shù)學(xué)考研復(fù)習(xí)的過(guò)程中，將極限問(wèn)題的解析重點(diǎn)放在洛必達(dá)法則與等價(jià)無(wú)窮小法則上.在處理極限問(wèn)題的過(guò)程中，會(huì)運(yùn)用到教材中的許多方法和知識(shí)點(diǎn)，在學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)首先將教材中的知識(shí)點(diǎn)了解和匯總，將教材詳細(xì)地看一遍，了解教材中的例題，了解解析方法，這樣更利用考研高數(shù)的學(xué)習(xí).

（一）以教材為復(fù)習(xí)重點(diǎn)

在高數(shù)的復(fù)習(xí)過(guò)程中，由于市面上各類(lèi)輔導(dǎo)書(shū)籍和參考書(shū)較多，導(dǎo)致學(xué)生在選擇過(guò)程中無(wú)從下手.通過(guò)分析歷年的高數(shù)真題和例題可以看出，不論是什么類(lèi)型題，在同濟(jì)七版的材料中都能找到相同的類(lèi)型，而教材中的類(lèi)型題往往都是基礎(chǔ)題型，相對(duì)比較簡(jiǎn)單.在考研數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，大部分題型都有教材上題型的影子.所以，在考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)以教材為參考重點(diǎn)，重點(diǎn)研究教材中的題型.

（二）脫離參考答案

在考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生往往脫離不開(kāi)參考答案.當(dāng)遇到難題或者新題型時(shí)，往往不會(huì)思考，而是直接去對(duì)照答案，這也是學(xué)生不會(huì)思考問(wèn)題的關(guān)鍵.在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，遇到難題不思考，直接找參考答案，導(dǎo)致學(xué)生喪失了思考問(wèn)題的能力，沒(méi)有獨(dú)立的思考問(wèn)題的過(guò)程.所以，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)自己花一些時(shí)間進(jìn)行獨(dú)立思考.

（三）多做總結(jié)

在高數(shù)的復(fù)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)將做過(guò)的錯(cuò)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼砗涂偨Y(jié).當(dāng)做錯(cuò)一道題后，一看標(biāo)準(zhǔn)答案覺(jué)得看懂了就可以了，這往往事倍功半.在學(xué)習(xí)的過(guò)程中應(yīng)善于總結(jié)，總結(jié)是不是知識(shí)點(diǎn)沒(méi)弄清楚，在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷積累，有助于考研數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí).

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