重題根　抓本質　提高數學復習有效性

厲豐群

【摘要】《普通高中數學課程標準》在教學建議中指出：高中數學教學應以發展學生數學學科核心素養為導向，引導學生把握數學內容的本質.在評價建議中則指出：評價要注重對數學本質的理解和思想方法的把握，避免片面強調機械記憶、模仿以及復雜技巧.教師教給學生的解法好不好，不是看解法是否簡單，而應該看該解法是否是本質解法，是否具有普適性，即：適合絕大多數學生掌握，并能解決同類問題.

【關鍵詞】題根;基本不等式;絕對值函數

根據《普通高中數學課程標準》教學建議，筆者認為，教學中若教師能夠遵循學生的認知規律，注重題根教學，不僅能使學生較好地學會做題、領悟解題，還能達到舉一反三、融會貫通的效果.下面舉兩個題根教學的案例來說明.

題根1 已知正數a，b滿足ab=a+b，求a+b的最小值.

分析 這是一道很經典的題目，大多數學生都能做出來，常見的有以下幾種做法.

解法1 利用基本不等式處理，ab=a+b≥2ab，得ab≥4.

解法2 由ab=a+b得1a+1b=1，利用“1”的代換求解.

解法3 多元問題消元轉化處理，f（a）=a+b=a+aa-1，轉化為函數來處理.

解法4 條件中同時有a+b和ab，聯想韋達定理，構造方程求解.

如果解完題目就萬事大吉，就甚是可惜，應靜下心來好好反思，回顧解題過程，挖掘試題背后有價值的東西.以上幾種做法中，解法1和解法2是通用通法，是適用性比較強的方法，若是我們能夠從中進行合理變式，則能最大限度地滿足不同層次學生的需要.

變式1.1 （改變系數）已知正數a，b滿足a+3b=5ab，求3a+4b的最小值.

分析 由已知得1b+3a=5，∴3a+4b=15（3a+4b）·1b+3a=153ab+12ba+13≥5，當a=1，b=12時取到最小值.

變式1.2 （構造函數背景）已知函數f（x）=ax-1-2（a>0，a≠1）的圖像恒過定點A，若點A在直線mx-ny-1=0上，其中m>0，n>0，則1m+2n的最小值是.

分析 定點A（1，-1）代入直線得m+n=1，∴1m+2n=1m+2n（m+n）=nm+2mn+3≥22+3.當m=2-1，n=2-2時取到最小值.

變式1.3 （構造數列背景）已知各項為正數的等比數列{an}滿足a7=a6+2a5，若存在兩項am，an，使得am·an=2a1，則1m+4n的最小值為.

分析 由條件a7=a6+2a5得公比q=2，代入am·an=2a1，化簡可得2m-1·2n-1=2，∴2m+n-2=2，∴m+n=3，1m+4n=131m+4n（m+n）=13nm+4mn+5≥3，當m=1，n=2時取到最小值.

變式1.4 （構造直線背景）已知m，n為正整數，且直線2x+（n-1）y-2=0與直線mx+ny+3=0互相平行，則2m+n的最小值為.

分析 由直線平行關系可得2m=n-1n≠-23，化簡得m+2n=mn，即1n+2m=1，∴2m+n=（2m+n）·1n+2m=2mn+2nm+5≥9，當m=n=3時取到最小值.

變式1.5 （構造三角形背景）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為.

分析 由S△ABC=12acsin120°=12asin60°+12csin60°得：ac=a+c，即1a+1c=1，∴4a+c=（4a+c）·1a+1c=ca+4ac+5≥9，當a=32，c=3時取到最小值.

題根2 已知函數f（x）=x-12（x∈[0，1]），求f（x）的最大值和最小值.

分析 此題為常見的絕對值函數，畫出圖像，結合自變量的范圍可求得f（x）max=f（0）=f（1）=12，f（x）min=f12=0.此類函數應掌握其圖像“V”字形的特征，根據“V”的頂點位置和自變量區間范圍進行討論.教師應有意對問題進行變式拓展，引導學生探究、認識問題本質，在探究中體驗數學思想方法的普適面;應恰當地、不露痕跡地幫助學生，順應學生的“原生態”思路，對問題多角度思考，廣泛聯系，并進行類比、拓展、延伸;應有意給學生時間和機會，讓學生嘗試、交流，提高解題能力.

變式2.1 已知函數f（x）=|2x-a|（x∈[0，1]），求f（x）的最大值.

分析 設t=2x，g（t）=|t-a|，t∈[0，2].其圖像“V”字形頂點處t=a.

當a≤1時，g（t）max=g（2）=|2-a|=2-a;

當a>1時，g（t）max=g（0）=|a|=a，

∴f（x）max=2-a，a≤1;a，a>1.

變式2.2 已知a∈R，函數f（x）=x+4x-a+a在區間[1，4]上的最大值是5，求a的取值范圍.

分析 設t=x+4x，g（t）=|t-a|+a，t∈[4，5].其圖像“V”字形頂點為（a，a）.當a≤92時，g（t）max=g（5）=|5-a|+a=5-a+a=5，符合題意;當a>92時，g（t）max=g（4）=|4-a|+a=a-4+a=2a-4，由2a-4=5得a=92.綜上所述，a的取值范圍為a≤92.

變式2.3 已知a∈R，函數f（x）=|sinx+cosx-a|，對任意的x∈-π2，0，都有f（x）≤2a成立，求a的取值范圍.

分析 f（x）=|sinx+cosx-a|=2sin（x+π4）-a，設t=2sinx+π4，則g（t）=|t-a|，t∈[-1，1]，其圖像仍然為“V”字形.只需g（t）max≤2a成立.當a≤0時，g（t）max=g（1）=|1-a|=1-a，由1-a≤2a得a≥13，不符合，舍去;當a>0時，g（t）max=g（-1）=|-1-a|=1+a，由1+a≤2a得a≥1.綜上所述，a的取值范圍為a≥1.

年年歲歲題相似，歲歲年年意相同，數學的教與學均要求我們學會總結，學會聯系，這就要求我們學會反思，探究題根，這樣才能把書從“厚”讀到“薄”，也才能讓數學的教與學漸入佳境，才能讓教師越教越新，學生越學越活.

【參考文獻】

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