利用GeoGebra繪圖實現全參數可調的振動與波的疊加演示

王洪濤 石禮偉 李 艷

(中國礦業大學物理科學與技術學院,江蘇 徐州 221116)

采用計算機輔助手段生動、直觀、動態、全面的演示抽象、晦澀的知識點是符合時代特征和學習認知規律的.[1-2]GeoGebra是一款包含了幾何、代數、表格、圖形、統計和微積分等功能的自由的跨平臺的動態數學軟件,不僅可以方便地通過鼠標點擊進行簡單的幾何繪圖,也可以通過代數及指令輸入精確繪制復雜的圖形,而且能夠方便地通過變量滑動條實現幾何圖形的動態變化演示. 在物理學的具體教學過程中引入GeoGebra,充分發揮其在多功能幾何繪圖上的優勢,直觀形象、生動全面地演示抽象的物理知識,對教學效果會有很大的幫助和提升.[3-5]

1 振動的疊加動態演示

簡諧運動就是從一般振動中概括出來的最基本的振動形式,而振動的疊加則是完成由簡諧運動拓展到一般振動的紐帶,因此振動的疊加在教學中是一個很重要的知識點. 而振動的疊加原理只是明確某一時刻合振動的位移等于各分振動在同一時刻振動位移的矢量和,理解起來比較抽象. 利用GeoGebra動態數學繪圖軟件則可以生動直觀地演示疊加的結果,并且可以靈活地調節各個參數改變輸出結果,使學生能夠深刻、全面地了解振動疊加結果與各物理量之間的關系.

簡諧運動方程包含了4個參數,振幅A、周期T、初相位φ以及時間t,所以開始繪圖時先建立如圖1所示共計10個參數滑動條,確保疊加結果全參數可調,各參數具體取值見表1.

表1 振動疊加參數設定

為了整齊美觀,通過輸入坐標,如A=(0,0),B=(9,0),C=(9,9),G=(3,3)等,建立A～S等坐標點,用線段連接兩點進行分區顯示. 振動曲線的橫軸顯示范圍為3-7,而時間t的取值范圍為0-20,因此振動點在t時刻的橫坐標可以表示為3+t/5. 輸入P1=(3+t/5, A1*cos(2*pi*t/T1+φ1*pi)+7.5)建立第1個坐標隨時間t做簡諧運動的點. 同理建立參與疊加的第2個簡諧運動點P2=(3+t/5, A2*cos(2*pi*t/T2+φ2*pi)+1.5). 合振動則由P12表示,P12=(3+t/5, A1*cos(2*pi*t/T1+φ1*pi)+A2*cos(2*pi*t/T2+φ2*pi)+4.5). 對于垂直振動的第3個簡諧運動,輸入P3=(A3*cos(2*pi*t/T3+φ3*pi)+1.5, 6-t/5). 當考慮P1和P3兩個相互垂直的簡諧運動疊加時,建立點P13.該點在任意時刻的縱坐標為P1在該時刻的縱坐標,而橫坐標為P3點在該時刻的橫坐標,所以輸入P13=(x(P3),y(P1))建立合振動點. 為了顯示振動軌跡,P1,P2,P3,P12,P13共5個點均需在右鍵菜單中勾選“顯示蹤跡”. 至此,一副能夠同時演示平行及垂直簡諧運動疊加的全參數可調的動態演示圖就繪制完畢. 附錄中圖1為同頻率平行振動疊加及周期比為3∶4,相位差為0.5π的李薩如圖形演示結果. 附錄中圖2為不同頻率平行振動疊加及周期比為7∶10,相位差為0.25π的李薩如圖形演示結果.可見當兩個平行振動頻率不同時疊加結果就不是簡諧運動了.根據理論可知,如果兩平行振動的振動頻率很大但差值很小則其疊加結果出現拍現象,如附錄中圖3所示.可以便捷地通過參數調節詳細討論振幅、周期及相位等參數對拍現象的影響結果.[6]

2 波動的疊加動態演示

簡諧波的疊加可以分為兩大類,一類是同向傳播的兩列波的疊加,另一類是反向傳播的兩列波的疊加. 影響疊加結果的因素包括每列簡諧波的振幅A、周期T、初相位φ及時間t,加上波的傳播方向一共有8個參數,所以繪圖之前先建立8個參數滑動條,如圖4所示,具體參數設置見表2. 同樣,為了顯示整齊,先建立坐標,如A=(0,-1),B=(12,-1),C=(12,12),K=(0,1.5),E=(0,3)等,然后用線段連接兩點進行分區. 輸入W1=IF(0

勾選正向傳播復選框,設定A1=0.75,A2=0.5,T1=T2=2,拖動φ2滑動條,改變兩列波的相位差,對應的疊加波的變化軌跡如附錄中圖4所示. 相似的,可以通過調節任一參數對簡諧波的疊加結果進行動態觀察,真正實現了波動疊加的全參數可調動態演示. 如果取消勾選正向傳播,而勾選反向傳播復選框,設定A1=0.5,A2=0.5,T1=T2=2,φ1=0,φ2=0.75,滿足頻率(周期)相同、振幅相同、波速相同、振動方向相同、傳播方向相反的駐波條件,改變時間參數t即可得到駐波的疊加結果,如附錄中圖5所示,可以觀察到明顯駐波特征——波節和波腹. 一般學生容易覺得振幅相同不是形成駐波的必要條件,其實這種臆想很容易就可以通過演示來進行證偽,振幅不同時,疊加波的波形是不能“駐”下來的. 繪制過程簡單的一副GeoGebra波動疊加圖演示起來直觀、生動,并且可以對波的疊加問題做到全參數可調,不僅能夠有效的加深學生印象,而且給學生全面探索波動疊加問題提供了一種簡單易行的方式.

表2 波動疊加參數設定

3 小結

本文針對簡諧運動和簡諧波的疊加這兩個相關物理教學內容,采用動態數學繪圖工具GeoGebra進行了全參數可調的動態繪圖

演示,使學生能夠直觀的觀察到振幅、周期、相位差、振動方向及傳播方向等物理量對疊加結果的影響,能夠有效地強化學生對抽象物理知識的理解和掌握,而且也給他們提供了一種簡單易用的采用動態作圖方法理解抽象物理規律的可行方法.

附錄

圖1 同周期(T=1.5)平行振動的疊加及李薩如圖形(T1∶T2=3∶4, Δφ=0.5π)

圖2 不同周期平行振動的疊加及李薩如圖形(T1∶T2=7∶10, Δφ=0.25π)

圖3 拍現象及李薩如圖形(T1∶T2=1∶2, Δφ=0.5π)

圖4 同向傳播兩列波相位差對疊加結果的影響

圖5 同頻率同相位同振幅反向傳播兩列波形成的駐波演示