利用GeoGebra繪圖實現(xiàn)全參數(shù)可調(diào)的振動與波的疊加演示

王洪濤 石禮偉 李 艷

(中國礦業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

采用計算機(jī)輔助手段生動、直觀、動態(tài)、全面的演示抽象、晦澀的知識點是符合時代特征和學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律的.[1-2]GeoGebra是一款包含了幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計和微積分等功能的自由的跨平臺的動態(tài)數(shù)學(xué)軟件,不僅可以方便地通過鼠標(biāo)點擊進(jìn)行簡單的幾何繪圖,也可以通過代數(shù)及指令輸入精確繪制復(fù)雜的圖形,而且能夠方便地通過變量滑動條實現(xiàn)幾何圖形的動態(tài)變化演示. 在物理學(xué)的具體教學(xué)過程中引入GeoGebra,充分發(fā)揮其在多功能幾何繪圖上的優(yōu)勢,直觀形象、生動全面地演示抽象的物理知識,對教學(xué)效果會有很大的幫助和提升.[3-5]

1 振動的疊加動態(tài)演示

簡諧運動就是從一般振動中概括出來的最基本的振動形式,而振動的疊加則是完成由簡諧運動拓展到一般振動的紐帶,因此振動的疊加在教學(xué)中是一個很重要的知識點. 而振動的疊加原理只是明確某一時刻合振動的位移等于各分振動在同一時刻振動位移的矢量和,理解起來比較抽象. 利用GeoGebra動態(tài)數(shù)學(xué)繪圖軟件則可以生動直觀地演示疊加的結(jié)果,并且可以靈活地調(diào)節(jié)各個參數(shù)改變輸出結(jié)果,使學(xué)生能夠深刻、全面地了解振動疊加結(jié)果與各物理量之間的關(guān)系.

簡諧運動方程包含了4個參數(shù),振幅A、周期T、初相位φ以及時間t,所以開始繪圖時先建立如圖1所示共計10個參數(shù)滑動條,確保疊加結(jié)果全參數(shù)可調(diào),各參數(shù)具體取值見表1.

表1 振動疊加參數(shù)設(shè)定

為了整齊美觀,通過輸入坐標(biāo),如A=(0,0),B=(9,0),C=(9,9),G=(3,3)等,建立A～S等坐標(biāo)點,用線段連接兩點進(jìn)行分區(qū)顯示. 振動曲線的橫軸顯示范圍為3-7,而時間t的取值范圍為0-20,因此振動點在t時刻的橫坐標(biāo)可以表示為3+t/5. 輸入P1=(3+t/5, A1*cos(2*pi*t/T1+φ1*pi)+7.5)建立第1個坐標(biāo)隨時間t做簡諧運動的點. 同理建立參與疊加的第2個簡諧運動點P2=(3+t/5, A2*cos(2*pi*t/T2+φ2*pi)+1.5). 合振動則由P12表示,P12=(3+t/5, A1*cos(2*pi*t/T1+φ1*pi)+A2*cos(2*pi*t/T2+φ2*pi)+4.5). 對于垂直振動的第3個簡諧運動,輸入P3=(A3*cos(2*pi*t/T3+φ3*pi)+1.5, 6-t/5). 當(dāng)考慮P1和P3兩個相互垂直的簡諧運動疊加時,建立點P13.該點在任意時刻的縱坐標(biāo)為P1在該時刻的縱坐標(biāo),而橫坐標(biāo)為P3點在該時刻的橫坐標(biāo),所以輸入P13=(x(P3),y(P1))建立合振動點. 為了顯示振動軌跡,P1,P2,P3,P12,P13共5個點均需在右鍵菜單中勾選“顯示蹤跡”. 至此,一副能夠同時演示平行及垂直簡諧運動疊加的全參數(shù)可調(diào)的動態(tài)演示圖就繪制完畢. 附錄中圖1為同頻率平行振動疊加及周期比為3∶4,相位差為0.5π的李薩如圖形演示結(jié)果. 附錄中圖2為不同頻率平行振動疊加及周期比為7∶10,相位差為0.25π的李薩如圖形演示結(jié)果.可見當(dāng)兩個平行振動頻率不同時疊加結(jié)果就不是簡諧運動了.根據(jù)理論可知,如果兩平行振動的振動頻率很大但差值很小則其疊加結(jié)果出現(xiàn)拍現(xiàn)象,如附錄中圖3所示.可以便捷地通過參數(shù)調(diào)節(jié)詳細(xì)討論振幅、周期及相位等參數(shù)對拍現(xiàn)象的影響結(jié)果.[6]

2 波動的疊加動態(tài)演示

簡諧波的疊加可以分為兩大類,一類是同向傳播的兩列波的疊加,另一類是反向傳播的兩列波的疊加. 影響疊加結(jié)果的因素包括每列簡諧波的振幅A、周期T、初相位φ及時間t,加上波的傳播方向一共有8個參數(shù),所以繪圖之前先建立8個參數(shù)滑動條,如圖4所示,具體參數(shù)設(shè)置見表2. 同樣,為了顯示整齊,先建立坐標(biāo),如A=(0,-1),B=(12,-1),C=(12,12),K=(0,1.5),E=(0,3)等,然后用線段連接兩點進(jìn)行分區(qū). 輸入W1=IF(0

勾選正向傳播復(fù)選框,設(shè)定A1=0.75,A2=0.5,T1=T2=2,拖動φ2滑動條,改變兩列波的相位差,對應(yīng)的疊加波的變化軌跡如附錄中圖4所示. 相似的,可以通過調(diào)節(jié)任一參數(shù)對簡諧波的疊加結(jié)果進(jìn)行動態(tài)觀察,真正實現(xiàn)了波動疊加的全參數(shù)可調(diào)動態(tài)演示. 如果取消勾選正向傳播,而勾選反向傳播復(fù)選框,設(shè)定A1=0.5,A2=0.5,T1=T2=2,φ1=0,φ2=0.75,滿足頻率(周期)相同、振幅相同、波速相同、振動方向相同、傳播方向相反的駐波條件,改變時間參數(shù)t即可得到駐波的疊加結(jié)果,如附錄中圖5所示,可以觀察到明顯駐波特征——波節(jié)和波腹. 一般學(xué)生容易覺得振幅相同不是形成駐波的必要條件,其實這種臆想很容易就可以通過演示來進(jìn)行證偽,振幅不同時,疊加波的波形是不能“駐”下來的. 繪制過程簡單的一副GeoGebra波動疊加圖演示起來直觀、生動,并且可以對波的疊加問題做到全參數(shù)可調(diào),不僅能夠有效的加深學(xué)生印象,而且給學(xué)生全面探索波動疊加問題提供了一種簡單易行的方式.

表2 波動疊加參數(shù)設(shè)定

3 小結(jié)

本文針對簡諧運動和簡諧波的疊加這兩個相關(guān)物理教學(xué)內(nèi)容,采用動態(tài)數(shù)學(xué)繪圖工具GeoGebra進(jìn)行了全參數(shù)可調(diào)的動態(tài)繪圖

演示,使學(xué)生能夠直觀的觀察到振幅、周期、相位差、振動方向及傳播方向等物理量對疊加結(jié)果的影響,能夠有效地強化學(xué)生對抽象物理知識的理解和掌握,而且也給他們提供了一種簡單易用的采用動態(tài)作圖方法理解抽象物理規(guī)律的可行方法.

附錄

圖1 同周期(T=1.5)平行振動的疊加及李薩如圖形(T1∶T2=3∶4, Δφ=0.5π)

圖2 不同周期平行振動的疊加及李薩如圖形(T1∶T2=7∶10, Δφ=0.25π)

圖3 拍現(xiàn)象及李薩如圖形(T1∶T2=1∶2, Δφ=0.5π)

圖4 同向傳播兩列波相位差對疊加結(jié)果的影響

圖5 同頻率同相位同振幅反向傳播兩列波形成的駐波演示