基于Leslie分組人口模型對河南省城鎮老齡人口的預測研究

于靜 張建成

摘? 要：文章根據Leslie人口分組模型，預測河南省城鎮老年人口發展趨勢。利用Leslie差分方程計算出河南省城鎮未來20年老年人口數。同時，運用MATLAB對所得數據進行三次多項式函數擬合。最后對該模型進行評價，表明預測結果基本上符合河南省城鎮的實際情況，并指出模型的不足。

關鍵詞：河南省城鎮人口預測;MATLAB;Leslie分組人口模型;三次多項式擬合

中圖分類號：O242.1? ? ? ? ?文獻標志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2095-2945（2019）32-0060-03

Abstract： Based on the Leslie matrix population model， this paper predicts urban elderly population trends in Henan.Using Leslie differential equations to work out the elderly urban population in Henan in the next 20 years， the paper obtains cubic polynomial function fitting with the data to get Henan urban elderly population in the next 20 years by MATLAB.Finally， the paper evaluatesthe existing model， indicatesthat the predicted results are in line with the actual situation of the town in Henan Province，and pointed out the inadequacies of the model.

Keywords： urban population forecast in Henan Province; MATLAB software; Leslie matrix population model; cubic polynomial fitting

1 概述

我國人口問題一直是制約著社會發展的關鍵因素。從1949年至今，我國大陸地區的人口增加了8.5億[1]。在新中國各個發展階段，人口數量受制于人口基數而表現出結構性的變化。進入21世紀的新時代，我國人口結構已經邁入老齡化，尤其是受多年人口結構積累的影響，近年來我國人口老齡化趨勢逐漸加快，此種人口結構的發展態勢預計在未來一段時間，還將進一步地延伸[2]。

河南作為我國人口第一大省，人口老齡化問題尤為突出，這對該省的社會經濟發展會產生重大影響。本文基于Leslie人口模型，利用MATLAB數值仿真平臺對河南省城鎮老年人口預測動態建模問題進行研究，預測了現在及未來20年，河南省城鎮人口老齡化的現狀和趨勢。得到了河南省人口老齡化的峰值時間，分析了河南省老齡化問題的嚴重性。該研究以期為解決河南省人口老齡化問題提供有益借鑒，也可為政府有關部門應對人口老齡化提供參考。

2 模型假設

（1）所要研究的社會人口是一個完整的系統，不討論每一個具體社會成員的狀態變化;（2）鑒于男女人口在一定時期內各個年齡段通常穩定在一個確定的比例，故本模型所采用的男女性別比在各個年齡段為常數;（3）短期內人口生育率與死亡率的總體水平可視為常數;（4）每次抽樣調查都是隨機的，即采樣點在河南省所有城鎮是均勻分布的，可以反映河南省所有城鎮的整體情況;（5）育齡期的女性每次只生育一個小孩，不考慮雙胞胎及多胞胎的情況;（6）年齡均按整年歲計算，90歲以上婦女按90歲計算;（7）預測期內處于和平年代，社會穩定，即無戰爭、地震、水災等諸多不利因素所引起的人口大規模變化;（8）在人口調查過程中，對其他區域人口的遷入和本區域人口的遷出不予考慮，即不考慮移民對人口總數的影響。

3 符號約定

4 建立Leslie分組人口模型

Leslie種群模型是研究動物種群中雌性動物的年齡分布與數量增長之間的關系，被應用于人口預測的研究，己有多篇文獻有過報道[3]。本文分組人口模型是基于經典的Leslie種群模型發展而來，可全面分析人口增長與人口變化的情況。

已知某地區的人口最大可達年齡為N歲的條件下，按年齡大小等間隔地劃分成m個年齡組，如下表：

并在離散的時間t0，t1…，tk，…進行觀察。相當于每隔N/m年觀察一次人口，有t0=0，t1=N/m，…，tk=kN/m，…

則在一個時間周期內可知：

tk時刻第1組人數是在tk-1～tk間各組女性所生育并成活至tk時的女孩人數。

tk時刻第i+1組中女性的數目就是在tk-1時刻第i組女性中活到tk時刻的數目。

其中取N/m=5，即按5年為周期進行分組。因為5歲年齡組可消除各年齡人數的細微變化，更清楚地反映人口總年齡構成，故可建立各年齡組成員變化情況的差分方程組。

在離散的時間t0，t1，…tk，…進行觀察。即每隔5年觀察一次人口，有t0=0，t1=5，…，tk=5k，…。

根據Leslie種群模型，將0歲到90歲按5年的年限分組成19個年齡組，即第1組由年齡為0～4歲的所有成員組成，第2組為5～9歲的所有成員組成，其余年齡組類推。顯然，得到一個離散時間的動態系統，其一個時間周期的寬度等于基本的分組間距，即5年。

在時刻tk，第i+1組中女性的數目就是在時刻tk-1第i組女性中活到時刻tk的數目，得到公式為

基于Leslie種群模型，用年齡分布向量X（k+1）=LX（k）表示，其中，L為Leslie矩陣。

因周期為5年，可由2011年的數據預測出2016、2021、2026、2031、2036年…的人口數;同理，便可由給出某一年份的數據預測出5年為周期的各年人口數。

本模型在預測未來每年人口總數的同時，也可預測各年65歲及以上老年人口數，從而得出老年人口占總人口比重。根據結果，可對河南省城鎮老齡化問題進行分析。

5 模型求解與分析

5.1 預測未來20年河南省城鎮人口情況

基于《河南省人口和計劃生育常用數據手冊（2016）》和《全國人口和計劃生育常用數據手冊（2016）》，歸納數據列于表2。

基于2011-2015五個初始年份數據，以5年為一個周期，預測自初始年份開始后的各年份、各年齡段人口數，結果列于表3。

從表3可得，在2011～2036年，雖然各年齡段的總人口數量在遞增，但放到每個5年周期內，人口數仍有波動，但遞增的趨勢不變。這是因為在計算各年份、各年齡段上人口數量時，采用的是每5年一個周期向后遞推的算法，由于前后相鄰的兩年是按照不同初始值計算的，所以在一個周期內，其人口數都不是單調增或單調減，越往后人口數波動趨勢越大。但實際情況是人口數在達到極值前都應單調增，在達到極值后都應單調減。因此建立模型2，對模型1得出的數據進行處理。

5.2 河南城鎮老年人口三次多項式擬合模型

表3可得，雖然每年人口數有波動，但以每個周期為整體來看，隨時間推移，人口數的變化趨勢呈遞增?，F將表3中數據運用MATLAB，得到2011～2036年河南省城鎮65歲及以上老年人口的三次多項式擬合函數：

y=-2.30228967×10-2t3+1.3972947×102t2-2.82641698×105t+1.9054891×108

其中，y為人口數，t為年份。

通常，65歲以上占總人口超過7%，即被稱為“老齡化社會”;若大于14%，就被稱為“老齡社會”。由圖2可得，在2011年河南省城鎮65歲以上老年人口占總人口比重已超過7%，達到8.23%，在這之后25年，比重在逐年增加，到2036年河南省城鎮65歲以上老年人口占總人口比重已經達29.33%。同時，在2021年河南省城鎮65歲以上老年人口占總人口比重已達到14.57%，大于14%，表明在2021年河南省城鎮進入“老齡社會”。

6 結論

6.1 模型的優勢

（1）相較于其它模型，Leslie分組人口模型結構比較獨特，更適合按層次、年齡、結構、性別、地域等對人口未來的發展趨勢進行預測，且MATLAB數值仿真軟件易于實現;（2）兼顧生育率、死亡率、性別比、遷移率等因素，可并行考慮各組別變化，Leslie分組人口模型可綜合考慮人口結構因素的影響，特別適合時間跨度較大、涉及范圍較廣的預測情況。（3）由于該模型運用矩陣形式表達，運用MATLAB，Leslie分組人口模型特有的遞推性能更好地體現，同時也能較為容易對模型進行修改，改進后的結果與實際情況更為接近，適合于短期人口預測。

6.2 模型的缺陷

（1）Leslie分組人口模型存在一定的預測誤差。模型預測的最終數據是通過遞推得到，但此過程中，由于該模型將人口生育率、死亡率等均視為不變常量，與現實中，社會的快速發展，尤其是城鎮區域人口的綜合素質、生產力水平不斷提高，這些都將影響人口生育率、死亡率，發生一定的變化是不可避免的，故而，對預測結果定會有影響;（2）原始Leslie人口模型屬于純數學問題，該模型的預測并未對模型本身的各個參數做動態修正。然而，隨著我國社會經濟快速發展，人民生活水平不斷提高，各年齡段的人口死亡率不斷下降、存活率不斷上升，以及我國特有的計劃生育等因素，均會對原始Leslie模型中設定為常量的參數產生影響，若未對有關參數修正，必將對長期的人口預測帶來誤差;（3）受限于人口預測問題的復雜性，Leslie分組人口模型仍偏向于靜態建模，其僅考慮人口結構中有限因素對其變化的影響，未考慮人口的遷入和遷出。（4）我國城市化進程加快，還應考慮各年齡組遷移率，重點考慮農村向城市的遷移率;另外，在農村向城市遷移過程中，生育率和死亡率都有所下降，故而人口遷移率對人口年齡構成會產生一定影響，但對人口數量影響不大。

參考文獻：

[1]中國人口增長模型[EB/OL].http：//www.baidu.com/s.

[2]付艷茹.基于MATLAB的人口預測研究[D].華東師范大學，2010.

[3]高文杰.基于Leslie種群模型的城市流浪貓數量模型研究[J].數學的實踐與認識，2010，40（04）：149-156.