以成功概率最大為目標的裝備維修策略研究

肖 雨，韓小孩，孫晉聰，張劍波

(中國人民解放軍66325部隊，北京 102205)

傳統的裝備維修策略，無論是事后維修、定時維修還是基于狀態的維修，都是從保障裝備戰備完好性的角度出發，安排維修工作，以減少故障和故障的損失。然而，裝備任務開始時質量完好，并不一定能保證任務期間不發生故障，不一定能保證任務完成。因此，有必要從保障任務完成的角度出發，研究裝備基于任務的維修決策。目前，基于任務的維修決策方面的研究已取得一些成果。文獻[1]研究了不完全可修系統的任務成功性評估方法；如文獻[2]以總體維修費用為約束研究了串并聯加工系統的選擇性維修方法；文獻[3]中以維修保障資源為約束，以任務可靠度最大為目標，研究了考慮拼修活動在內的多種維修活動的維修任務選擇方法；文獻[4]中研究了維修保障資源、任務前維修時間雙重約束下，以任務可靠度最大為目標的維修任務選擇方法；文獻[5]中研究了不完全維修條件下的冷貯備可修系統任務前維修方案優選方法；文獻[6]中研究了不完全維修方式下的多狀態系統維修任務選擇方法；文獻[7]中以任務可靠性為最大為目標研究了部件壽命服從Weibull分布的裝備維修策略優選方法；文獻[8]中研究了維修保障資源約束下，以任務可靠度最大為目標的艦船裝備選擇性維修策略；文獻[9]中在給定時間約束下，研究了以任務可靠度最大為目標的任務前修復性維修工作選擇方法。盡管這些研究都是以任務為依托進行維修決策，但是只能從任務可靠度的角度出發制定裝備任務前維修方案，并未考慮任務中維修對任務成功概率的影響。盡管文獻[10]中考慮了任務中維修隊任務成功概率的影響，但是僅僅考慮單個部件，未從裝備系統角度進行決策分析。

任務可靠度可認為是裝備在特定任務剖面內完成規定功能的能力(任務可靠性)的一種度量。它可認為是裝備在任務期間故障規律的一種體現。任務成功概率主要指裝備在任務開始時處于可用狀態的情況下，在規定的任務剖面中的任一(隨機)時刻，能夠使用且能完成規定功能的概率。

對于任務中不可維修的裝備，其任務成功概率等于任務可靠度。現有研究多基于該情形展開。對于任務中允許維修的裝備，其任務成功概率可認為是任務可靠性與任務維修性的綜合體現，任務中的維修工作是影響任務成功概率的重要因素。此外，由于任務中的維修工作需要消耗一定的備件且需花費相應的費用，這必將影響裝備任務前預防性維修時的可用費用及備件數量，從而影響任務前預防性維修的有效實施。現有研究并未對這些問題進行探討。

本研究主要針對任務中可修裝備，綜合考慮任務前以及任務中的維修工作與任務成功概率之間的關系，研究以任務成功概率最大為目標的裝備維修決策方法。在任務前維修時間、任務總體費用以及備件數量三方面約束下，以任務成功概率最大為目標，制定最佳的任務前預防性維修方案。

1 裝備任務成功概率計算方法

在計算任務成功概率時要充分考慮裝備的任務可靠性和任務維修性。任務可靠性通常用任務可靠度表示，任務維修性則用任務維修度表示。計算時，可將裝備分為任務期間不可修部分和可修部分分別進行研究。對于不可修部分只需分析其任務可靠度；對于可修部分則需綜合分析任務可靠度與任務維修度。

裝備任務成功概率僅與任務功能單元相關，與非任務功能單元無關。因此，在計算任務成功概率時僅需分析任務功能單元的影響即可。同理，以任務成功概率最大為目標進行維修決策時，僅考慮任務功能單元的維修工作。

在任務過程中，若某幾個單元同時發生故障時方可影響任務(任務成功或失敗)，則認為這幾個單元之間在功能上存在“并聯關系”。將存在“并聯關系”的多個單元視作一個整體，為保障任務的時效性，在任務過程中該整體發生故障(極端情況為各單元均故障)后僅對維修時間消耗最小的單元進行維修。由于篇幅有限，本研究不對“并聯關系”進行過多討論。將存在“并聯關系”的單元視作整體后，裝備可認為是一個純串聯系統。

假設某任務中裝備共有n個可影響任務的功能單元(存在并聯關系的多個單元視作一個整體，為一個功能單元)記作a1,a2,…,an。其中前r個功能單元為任務中不可修單元，其余為可修單元。任務中允許的最大維修時間為T。令各功能單元的任務可靠度為R1,R2,…,Rn，可修單元維修時間概率密度函數為mr+1(t),mr+2(t),…,mn(t)。則不可修部分任務成功概率PN為

(1)

可修部分任務可靠度為

(2)

將可修部分整體記作E，可知E發生故障的概率等于ar+1,ar+2,…,an中至少有一個發生故障的概率。令n-r個可修單元的每一種故障組合(各組合事件之間互斥)為E的一個故障事件，則E共有2n-r-1個可能的故障事件，其中第i個故障事件記作Ei。例如，假設故障事件Ei為：第r+j個與第r+k個功能單元發生故障，其余可修單元不發生故障。則Ei發生的概率為

故障事件Ei發生后在T內被排除的概率為：M(Ei)=P(Tr+j+Tr+k≤T)。其中Tr+j，Tr+k分別代表第r+j個與第r+k個功能單元發生故障后維修所需時間。

根據卷積計算公式可知

(3)

可計算可修部分E的任務維修度為

(4)

進而計算可修部分任務成功概率PY為

PY=RM+(1-RM)M(E)

(5)

最終得裝備任務成功概率PS為

PS=PN×PY

(6)

2 以成功概率最大為目標的裝備維修決策模型

根據任務確定決策目標是基于任務的維修決策的基本前提。通常情況下，如果裝備需完成重要任務或者任務失敗后果較為嚴重，應以任務成功概率最大為目標進行決策。而對于一般任務，在任務成功概率滿足要求的前提下，可適當考慮以任務總體費用最小為目標進行決策。兩種決策目標下的維修決策的本質是一致的。都是根據決策約束條件，制定滿足決策目標的最佳維修方案。因此本文僅研究以任務成功概率最大為目標的維修決策方法。

考慮到裝備任務的時效性要求，參與任務的各功能單元在任務中發生故障后，通常選擇維修時間最短的維修方式進行維修，可根據各功能單元采用不同維修方式時的維修時間長短進行決策，此處不加贅述。

在給定任務前預防性維修時間、任務總體費用、備件數量三方面約束條件下，以任務成功概率最大為目標的維修決策基本過程如圖1所示。

圖1 以成功概率最大為目標的維修決策基本過程框圖

圖1中，可能的任務前預防性維修方案是指各任務功能單元依據各自技況，在任務前采取的預防性維修工作的一個有機組合。決策的核心內容為：計算各種維修方案下裝備任務成功概率；計算裝備任務前預防性維修時間，任務總體費用以及備件需求。其中，任務成功概率計算問題上文已詳細討論，在此不加贅述。下面主要討論裝備預防性維修時間、任務總體費用以及備件需求三方面內容的計算方法。

1)裝備任務前預防性維修時間計算方法

(7)

考慮到功能單元的維修時間通常為服從某一分布的隨機變量，Tp可理解為服從特定分布的隨機變量，其分布規律可通過相關功能單元維修時間概率密度函數的卷積計算獲取。

2)裝備任務總體費用計算方法

裝備任務總體費用包括裝備的使用費用、任務失敗時的損失以及裝備的任務總體維修費用三部分。其中，裝備的使用費用和任務失敗時的損失通常不受上述維修工作的影響，可根據實際任務要求確定，分別記作CU、CS；任務總體維修費用記作CM。則裝備的任務總體費用為

C=CM+(1-PS)CS+CU

(8)

(9)

令各任務中可修單元在任務中進行維修時的費用分別為cm(r+1),cm(r+1),…,cmn。當任務失敗時，盡管裝備可能在任務中進行了一些維修工作并產生了相應維修費用，但是由于考慮到裝備的任務失敗概率通常不會太大，且這些費用遠小于裝備損失，因此可忽略不計。當任務成功時，若裝備任務中可修部分未發生故障，則不進行維修；若發生故障，則無論可修部分在任務中發生哪種故障事件都將被排除。因此，裝備在任務中產生的維修費用為

(10)

可見，裝備任務中的維修費用很大程度上取決于裝備的任務成功概率和功能單元任務可靠度。二者與裝備的任務前預防性維修工作存在密切關系。因此，裝備任務中的維修費用在一定程度上受限于裝備所采取的任務前預防性維修策略。

可知，裝備的任務總體維修費用為

(11)

將上述計算結果代入式(8)可得裝備的任務總體費用。

3)裝備備件需求計算方法

(12)

(13)

與式(1)中原理相同，裝備任務中維修工作的備件需求同樣受限于裝備所采取的任務前預防性維修策略。

對Nj1、Nj2求和可知，裝備所需消耗的第j類備件的總數為

(14)

為保證Nj為整數，對計算結果向上取整。同理，可求得裝備對各類備件的需求為：N1,N2,…,Nm。

假設，執行某任務時裝備任務前最大允許維修時間為Tmax，可承受的最大任務總體費用為C*。則基于任務的維修決策問題可轉換為如下優化問題。

maxPS

(15)

s.t.P(Tp≤Tmax)≥γ

(16)

C≤C*

(17)

N1≤n1,N2≤n2,…,Nm≤nm

(18)

其中，γ是0到1之間的一個常數，可根據實際任務情形設定。

目標表達式(15)表示裝備任務成功概率取最大值。

約束表達式(16)表示裝備任務前預防性維修工作能在任務前允許維修時間內完成的概率不小于γ。

約束表達式(17)表示裝備任務總體費用不超過可承受的最大任務總體費用C*。

約束表達式(18)表示在相應維修方案下，裝備對各類備件的需求均不超過各類備件的可用量。

3 以任務成功概率最大為目標的維修決策模型求解

分析上述維修決策模型可知，決策問題的實質是多個參數的組合優化問題，可用現代優化算法求解。考慮到各功能單元維修策略的離散性特點，本文主要借鑒離散粒子群優化算法對維修方案進行尋優。離散粒子群優化算法簡單、易行，便于依據決策模型構建優化模型。

由于篇幅有限，此處僅對最佳維修方案的計算步驟進行說明，至于計算中用到的粒子群構建及求解過程請參閱文獻[11]。

結合本文研究內容，依據粒子更新基本規則，現給出如下計算步驟：

步驟1：初始群參數設定。① 對任務剖面進行分析，確定任務前最大允許維修時間Tmax以及參數γ的數值；② 確定可用的備件數目n1,n2,…,nm；③ 根據規則構建粒子群，確定粒子群的數量參數、慣性權重、加速常數以及最大更新次數。

步驟2：隨機選取一定數量可能的維修方案，構造初始粒子群，并在此基礎上設定各粒子初始更新速度。

步驟3：根據式(16)～式(18)約束條件，判斷各粒子所對應維修方案是否可行。若可行，則利用式(6)計算任務成功概率，當作該粒子的適應度；若不可行，則適應度為0。根據各粒子適應度數值，計算粒子群中各粒子的當前最佳位置以及群最佳位置。

步驟4：根據文獻[11]中更新規則對粒子群進行一次更新，此后重復步驟3，更新各粒子當前最佳位置和群最佳位置，并對粒子群更新速度進行一次更新。

步驟5：重復步驟4直到更新次數達到最大更新次數為止。提取此時的群最佳位置，得最優的維修方案。

4 示例分析

已知某任務，要求某裝備持續工作狀態時間為10 h；任務中最大允許維修時間T=3 h；任務前最大允許維修時間為Tmax=5 h，γ=0.85；裝備可承受的任務總體費用為4萬；與任務相關的備件共有5類(D1、D2、D3、D4、D5)，可用數量均為4。現以任務成功概率最大為目標對裝備實施維修決策，選擇最佳的預防性維修方案。

分析裝備結構以及任務特點可知，參與執行任務的功能單元共有7個，分別為：a1,a2,…,a7。其中a1～a4在任務中不可修，a5～a7在任務中可修。在日常維修工作中，a1、a2、a7采用“修復如舊”策略；a3～a5采用“修復如新”策略；a6采用“不完全維修”策略。根據文中方法，可分別計算各功能單元實施各類任務前預防性維修工作后的任務可靠度，并記錄預防性維修費用(萬元)以及維修時間分布(min)如表1所示。各功能單元實施相應維修工作時，對備件的需求如表2所示。

表1 任務前預防性維修后功能單元任務可靠度及維修費用與維修時間

表2 功能單元維修保障資源需求量

功能單元a5～a7在任務中的維修費用分別為：0.33萬、0.2萬、0.3萬；任務失敗造成的損失為：10萬；裝備的使用費用為0.4萬。

根據歷史維修數據統計分析可知，a5的維修時間(min)服從均值為30.9，方差為5.5的正態分布；a6的維修時間(min)服從均值為45的指數分布；a7的維修時間服從對數均值為4.8，對數方差為0.1的對數正態分布。可計算3個單元維修時間概率密度函數m5(t)、m6(t)、m7(t)。

將a5、a6、a7看作一個整體E。可知，E共有7類故障事件，分別為：E1(a5發生故障，a6、a7不發生故障)、E2(a6發生故障，a5、a7不發生故障)、E3(a7發生故障，a5、a6不發生故障)、E4(a5、a6發生故障，a7不發生故障)、E5(a5、a7發生故障，a6不發生故障)、E6(a6、a7發生故障，a5不發生故障)和E7(a5、a6、a7均發生故障)。根據維修時間概率密度函數m5(t)、m6(t)、m7(t)，利用式(3)可計算在規定時間T內各事件被排除的概率為：M(E1)≈1；M(E2)≈0.981 7；M(E3)≈1；M(E4)≈0.963 1；M(E5)≈0.967 1；M(E6)≈0.715 3；M(E7)≈0.431 9。

1)維修決策需求分析

當不進行任務前預防性維修時，利用第1節中方法，可計算各故障事件的發生概率為：P(E1)=0.071 3；P(E2)=0.098 3；P(E3)=0.080 1；P(E4)=0.009 7；P(E5)=0.007 9；P(E6)=0.010 9；P(E7)=0.001 1。進而利用式(4)～式(6)計算得裝備的任務成功概率PS=0.700 5。在此基礎上，利用式(8)計算裝備的任務總體費用為3.42萬。由于該維修方案下裝備的任務成功概率過小，應進行任務前預防性維修。

當進行最大預防性維修，即所有功能單元均“修復如新”時，經計算可知任務前不可能在允許時間內完成維修工作。因此，該維修方案不可取，需重新制定維修方案。

2)根據決策目標制定最優維修方案

利用文獻[11]中方法構建粒子群。將每個維修方案當作每個粒子，利用離散粒子群優化算法進行尋優。令ω=0.5，加速常數c1=c2=1.494 45，最大更新次數W=100，數量參數q=10。計算可得維修方案尋優過程如圖2所示。

最終得最佳的維修方案為：a1、a5、a6、a7不進行維修；a2“不完全維修”；a3、a4“修復如新”。該方案下的裝備任務總體費用為2.788 4萬，P(Tp≤Tmax)=0.867 3>0.85，對各類備件的需求分別為(3,2,4,3,3)，均滿足約束條件要求。此時，裝備的任務成功概率為PS=0.888 6。

圖2 維修方案尋優過程曲線

3)案例對比分析

以該案例相關約束條件為基礎，利用傳統方法從裝備任務可靠度角度出發對裝備進行維修決策，進而對比分析文中方法與傳統方法之間的差異。

將上述例子中，以任務成功概率最大為目標的維修決策模型中的目標函數換為裝備的任務可靠度，利用離散粒子群優化算法優化得最優維修方案為：a1、a5、a6、a7不進行任務前預防性維修；a2～a4以“修復如新”策略進行任務前預防性維修。該方案下，若不考慮任務中維修時，各類備件的需求分別為(3,1,4,2,3)。此時，a5、a6仍為任務中可修功能單元；結合表2中數據可知，a7在任務中維修需用到第3類備件D3，而在該維修方案下D3在任務中的可用量為0，因此a7在任務中不能進行維修。從而，計算裝備任務總體費用為3.775萬，P(Tp≤Tmax)=0.938 2>0.85，對各類備件的需求分別為(3,2,4,3,4)，均滿足約束條件要求。裝備的任務成功概率為PS=0.815 9。該方法計算結果與本文方法計算結果如表3所示。

表3 不同決策方法計算結果

由表3對比分析可知，采用本文決策方法所得維修方案，不僅任務總體費用、備件需求量均少于傳統維修決策所得維修方案，而且可以達到更高的任務成功概率。較之傳統方法，本文方法可得到更佳的維修方案。

5 結論

給定任務前維修時間、任務總體費用以及備件數量三方面約束，以任務成功概率最大為目標制定了最佳的任務前預防性維修方案。充分考慮了任務前及任務中維修工作對裝備任務成功概率的影響，在實踐任務中驗證效果很好，為真實任務環境下的維修決策提供了思路。