基于改進GM(1,N)模型的對空情報雷達費用預測

張長聰,方其慶,劉慶華,夏 亮,施端陽

(1.空軍預警學院, 武漢 430019；2.73127部隊，福州 350500)

隨著雷達裝備的日趨復雜、裝備造價逐步增加，加強裝備費用管理工作的科學性、研制計劃的綜合性以及經濟效益的全面性，進一步做好裝備費用計劃管理工作，合理使用軍費和增強裝備作戰效能顯得尤為必要。灰色預測作為灰色系統理論的主要應用之一，因其原理簡單、計算簡便以及所需數據信息量少等優點，適用于具有小樣本、貧信息等特點的對空情報雷達裝備費用預測。文獻[1]雖然將灰色GM(1,1)模型運用到武器系統費用預測中，并對預測模型進行了改進，提高了預測精度，但該模型只能反映武器裝備費用自身的變化規律，無法綜合反映外部因素對裝備費用的影響，顯然其預測結果無法令人信服。文獻[2-3]基于灰色關聯度分析，分別提出多因素灰色模型和多變量灰色模型，雖綜合考慮了多種因素的影響，但未涉及數據的光滑性處理和背景值的優化，其預測精度難以滿足要求。因此有必要綜合考慮費用的影響因素，建立多因素灰色預測模型。

本文重點針對GM(1,N)模型存在誤差較大的問題，以對空情報雷達購置費為研究對象，提出了一種基于改進GM(1,N)模型的費用預測方法。首先利用灰色關聯度分析法選擇影響裝備費用的顯著因素并對原始數據進行光滑性處理；其次在研究GM(1,N)模型的背景值的基礎上對其進行優化，建立GM(1,N)的改進模型；最后對部分現役對空情報雷達裝備購置費進行預測分析和模型對比。

1 GM(1,N)模型

灰色理論最早是由鄧聚龍教授于1982年提出，隨后在各個領域得到了廣泛的應用。灰色GM(1,N)模型是灰色系統理論的主要內容之一，是由多變量構成的一階微分方程，主要是在“小子樣、貧信息”情況下，對某些復雜系統中主導因素與多個相關變量的擬合與預測，揭示主導因素存在的變化規律，從而預測未來的發展變化態勢[4-5]。

GM(1,N)模型預測步驟如下：

步驟1進行累加生成運算。

對原始數列進行一次累加生成n個數列，即：

步驟2生成緊鄰均值序列。

其中：

(1)

則GM(1,N)模型為：

(2)

對應白化方程為：

(3)

步驟3建立近似時間響應。

(4)

(5)

式(4)、式(5)中：

可得其GM(1,N)模型的近似時間響應為：

(6)

步驟4進行累減還原運算和誤差分析。

(7)

設ε(0)={ε(0)(1),ε(0)(2),…,ε(0)(m)}為殘差序列，則有：

殘差：

(8)

相對誤差：

e(k)=|ε(0)(k)|/x(0)(k)×100%

(9)

平均相對誤差：

(10)

2 GM(1,N)模型的改進

2.1 灰色關聯度分析

采用GM(1,N)模型進行費用預測時，需明確費用與各個因素之間的相互關系。模型顯著因素的選擇將直接影響到最后的預測精度。預測模型顯著因素選擇過少，無法有效地反映外部因素對裝備費用的影響；顯著因素選擇過多，則會造成預測結果灰度過大[6-7]。因此對原始數據進行灰色關聯度分析，能夠有效提高模型的預測精度。

設收集的原始數據矩陣為S(0),則有：

母序列：

子序列：

將原始數據進行無量綱化處理，則有：

式中：k=1,2,…,m。

(11)

(12)

如果γj≥0.5，則可認為母序列與相應子序列有關聯。

2.2 數據光滑性處理

考慮到雷達裝備采購費用受國民經濟、科技發展水平、采購制度等因素影響，采集的原始數據必然存在一定的波動性，而GM(1,N)模型在處理具有波動性的數據序列時存在一定的局限性，原因在于原始數據不能滿足預測模型對光滑性的要求。因此為了更準確地預測對空情報雷達裝備費用，首先對篩選后的原始數據進行預處理，使處理后的數據滿足預測模型對光滑性的要求[9]。

設Q(0)為S(0)經過灰色關聯度分析篩選后的原始數據矩陣，X(0)為Q(0)經過對數處理后的建模數據矩陣，記為

其中，

式中,j=1,2,…,n。

為提高原始數據的光滑性，下面對初始數據參數作對數處理，即：

(13)

式(13)中，j=1,2,…,n，k=1,2,…,m。

將處理得到的數據作為模型預測的原始建模數據，預測完成后再對預測結果進行指數還原，即：

(14)

2.3 模型背景值優化

背景值的構造形式是影響模型預測精度的主要因素之一，對背景值的改進能夠有效降低模型預測誤差，增強模型適用性[10]。文獻[11-12]在研究模型背景值與實際背景值關系的基礎上，分別給出了背景值優化公式，有效降低了模型背景值產生的誤差，提高預測精度。本文在研究背景值構造的基礎上，提出GM(1,N)模型背景值的優化方法，從而提高模型預測精度。

引入加權因子λ對式(1)進行重構，即：

z(1)(k)=λx(1)(k)+(1-λ)x(1)(k-1)，

k=2,3,…,n

(15)

λ稱為加權系數(0<λ<1)，式(1)為λ=0.5時的特殊情況。

當原始值與模型預測值之差的平均相對誤差達到最小，即：

(16)

此時滿足上述條件的λ值計算出來的預測結果誤差最小，即為最優解。

2.4 模型改進后的計算步驟

基于上述預測模型改進對策，將改進后的模型應用到費用預測中，計算步驟如下：

步驟1收集雷達裝備性能參數指標，計算出費用綜合因子；選取與費用相關性較大的n個數據建立初始數據S(0)，并進行灰色關聯度分析(ρ取0.3)，通過分析結果選取與費用關聯度較大的數據序列作為原始數據序列Q(0)。

步驟2將原始數據Q(0)取對數進行光滑性處理，將處理后的數據作為原始建模數據序列X(0)。

3 實例驗證

購置費是對空情報雷達裝備全壽命周期費用的重要組成部分，在總費用中占據很大的比重。做好對空情報雷達裝備購置費的預測，對加強裝備費用管理、科學制定裝備采購計劃和提高軍事經濟效益具有重要的實際意義。本文采集了自1986年以來軍用對空情報雷達購置費及其相關戰技術性能指標，并對數據進行了預處理，提出費用綜合因子，采用德爾菲法對與對空情報雷達購置費相關的影響因素進行 4 輪專家意見征詢，從中選取了相關性較大的10個參數序列：搜索發現能力、定位能力、抗雜波能力、抗導彈打擊能力、抗隱身能力、抗低空突防能力、生存能力、系統可用度、抗有源干擾能力和信息處理能力等[13-14]，記為：Xi(i=2,3,…,11)。

首先，對原始數據進行灰色關聯度分析(分辨系數ρ取0.3)，可得到費用與各影響因素之間的關聯度γi=(0.83,0.86,0.84,0.75,0.78,0.75,0.75,0.73,0.80,0.82),i=2,3,…,11。預測模型顯著因素選取不宜過多也不宜過少，選擇過少，無法有效地反映外部因素對費用的影響；選擇過多，則會造成預測結果灰度過大。結合本文關聯度分析結果，選取關聯度大小等于0.8的影響因素：X2、X3、X4、X10和X11，即為搜索發現能力、定位能力、抗雜波能力、抗有源干擾能力和信息處理能力等因素。因此，選取以上5個因素數列作為原始建模數據，建立改進GM(1,6)模型進行費用預測。然后，基于本文提出的改進GM(1,N)模型的計算步驟，通過數據處理和背景值優化，結合Matlab仿真，對我某軍在役的6個型號的對空情報雷達裝備進行購置費預測，得到了預測結果并進行對比分析。如表1所示，利用本文改進模型對6個型號的對空情報雷達裝備在2017—2019年度的購置費用進行了預測，平均相對誤差分別為：1.96%、1.94%和1.95%，表明本文方法適用于未來費用預測且精度較高。

表1 本文模型不同年份預測結果

表2 不同模型預測結果

為了突出本文改進的GM(1,6)模型進行費用預測的優越性，以2019年購置費為例，將預測結果分別與多元線性回歸模型、傳統GM(1,6)模型進行對比分析，預測結果和相對誤差如表2所示。3種模型的平均相對誤差分別為7.53%，15.91%，1.95%。從表2的預測結果可以看出，雖然以上3種方法都能夠對雷達費用進行預測，但從平均相對誤差的大小來看，通過結果分析和比較，在原始數據信息均滿足模型預測要求的情況下，本文提出的改進GM(1,6)模型誤差最小，傳統GM(1,6)模型誤差最大。結合表2的預測結果，本文進一步給出了3種方法的實際值與預測值曲線和相對誤差曲線，如圖1、圖2所示。

由圖1可以明顯看出，對空情報雷達裝備購置費波動性較大，呈不穩定性。多元線性回歸模型和GM(1,6)模型與實際數據曲線擬合效果較差，相比之下預測精度較低，在預測精度要求較高的情況下并不能很好地滿足實際需求。而本文提出的改進模型預測數據與實際數據擬合效果更好，更為接近實際購置費曲線，結果更加符合實際情況，表明了本文方法預測精度更高。

圖1 實際值與預測值曲線

從圖2對比分析可以得出，以上3種方法中線性回歸模型和GM(1,6)模型預測誤差較大，其中GM(1,6)模型的誤差最大，而相比之下本文提出的預測方法誤差最小，說明在小樣本、貧信息的情況下，進行費用預測時，本文的改進模型要優于線性回歸模型，線性回歸模型要優于傳統GM(1,N)模型。

圖2 相對誤差對比曲線

4 結論

本文提出的改進GM(1,N)模型通過灰色關聯度分析、數據光滑性理和背景值優化，提高了模型與實際數據的擬合效果，預測結果更加符合實際情況，充分發揮灰色系統預測所需數據少、預測精度高的優勢，且對原始數據的要求不高，無須具有典型的分布規律，相比之下更具有實用性。因此，從對空情報雷達裝備費用預測的精度來看，本文提出的改進GM(1,N)模型要明顯優于線性回歸模型和GM(1,N)模型，在對空情報雷達裝備費用預測中具有較強的實用性。