動態雙足機器人建模及步態優化設計

陸萬榮，許江淳，王志偉，任 杰

(昆明理工大學信息工程與自動化學院，云南 昆明 650500)

0 引言

目前，雙足機器人是人工智能領域的一大研究熱點。與傳統的輪式、履帶和爬行機器人相比，它對行走環境適應性好、能耗低、靈活性高，在醫療、教育、危險工業、航空航天和服務業等領域具有良好的應用前景和使用價值[1]。因此，國內外相關機構對雙足機器人相關特性展開了深入研究，如Goswami教授提出了Compass-like機器人模型，進行了數值仿真和動態分析[2]；密歇根大學的Park等人實現了Rabbit機器人的動態行走等[3]。從1968年早稻田大學的WAP系列機器人到2006年WABIAN-2R機器人，再從美國的COG機器人到中國的BHR機器人，經過幾十年的發展，盡管取得了不錯的研究成果，但這一領域仍然有許多難以解決的問題，如穩定性、能耗和柔韌度等。

本文通過對機器人的穩定性和能耗尋優，建立多目標進化函數，實現機器人的穩定行走。以質心、步行周期、步行單元和步長等參數來描述雙足機器人的行走過程。在尋優過程中，利用改進的擴展遺傳算法(strength pareto evaluation algorithm，SPEA)，從穩定性和能耗兩個方面進行計算，得到仿真需要的相關參數。在仿真過程中，與文獻[4]中的原始倒立擺規劃方案和文獻[5]中提到的遺傳算法優化方案進行比較，驗證了本文所述方案的有效性。

1 D-H坐標法雙足機器人建模

1.1 位置和姿態的坐標描述

雙足機器人簡化多連桿模型如圖1所示。

圖1 雙足機器人簡化多連桿模型

D-H建模方法是在機器人每根連桿上都建立一個坐標系，以4×4的齊次變換矩陣表示相鄰連桿之間的坐標關系[6]。建立好坐標系后，則空間中的任意一點都可以用一個3×1的位置矢量來表示。位置矢量Ap在直角坐標系{A}中可以用3×1的列向量表示為：

Ap=[pxpypz]

(1)

(2)

(3)

(4)

1.2 正運動學建模

正運動學是雙足機器人仿真的基礎，可以計算雙足機器人的重心，描述雙足機器人的空間姿態[7]。圖1中，將雙足機器人簡化為只考慮踝關節、膝關節和髖關節的12自由度機器人，相鄰自由度之間桿件視為均質的連桿，忽略連桿之間的摩擦力和間隙。每個連桿處的自由度均為獨立的從屬坐標系。

D-H模型參數見表1。

表1 D-H模型參數表

表1中：θi為垂直于關節i軸線的兩個公垂線的夾角，即連桿夾角；di為沿關節i軸線的兩個公垂線的距離，即連桿距離；ai-1兩關節軸線沿公垂線的距離，即連桿長度；αi-1為垂直于αi所在平面內兩關節軸線的夾角，即連桿扭角。

當連桿參數和坐標系確定后，依次左乘低一階的變換矩陣，就能得到坐標系{i}對于起始坐標系的變換矩陣：

(5)

則:

(6)

(7)

1.3 逆運動學建模

逆運動學則與正運動學相反，已知相對于基礎坐標系的位姿，根據連桿參數求各關節角度值[8]。在1.2節中已經把雙足機器人簡化為12自由度的連桿模型。根據機器人逆運動學理論，當自由度小于等于12時，逆運動學問題必有解且為點數值解。

本文計算逆解使用效率高、實時控制性好的封閉解法。求解思路是將位姿矩陣的逆矩陣按次序乘以正運動學方程，找出右端矩陣中的常數項與左端建立相等關系式，出現多解情況時，要根據實際情況合理選擇。在求解之前，假設雙足機器人身軀始終不傾斜，足底與地面水平接觸。由踝關節、膝關節和髖關節行走時自由度之間的關系和假設條件，支撐腿和擺動腿的數學模型如圖2所示。圖2中：θ1=-θ3；θ2=0；θ4+θ5+θ6=0。

圖2 支撐腿和擺動腿數學模型

建立等式：

(8)

將對應矩陣代入，就能得到如下關系式：

(9)

整理得：

pysinθ4

(10)

(11)

求得θ4后，根據下式求解θ5：

(12)

解得θ5=atan2(sinθ5,cosθ5),因此θ6=-(θ4+θ5)。

支撐腿的計算過程與上述方法一致，限于篇幅這里不再贅述，只給出結果：

(13)

2 步態優化設計

2.1 三維線性倒立擺

雙足機器人是一個高階、強耦合、非線性的復雜系統。對于這樣一個復雜系統，可以先通過假設作一些簡化處理：①將機器人所有部件質量看作一個支點；②倒立擺運動只限定在垂直地面的平面上；③以落腳點為支點，可繞其轉動，連桿長度可調節[9-11]。

三維線性倒立擺(3D linear inverted pendulum,3D LIP)是目前雙足步行規劃中使用廣泛的模型。三維線性倒立擺如圖3所示。

機器人腳底在x、y、z所受力的分量為fx、fy、fz,所受力的力矩分量為τx、τy、τz。根據文獻[11]提出的原理，能量消耗在力矩較小時變小，τx、τy均為0，那么可以將該模型簡化為x軸、y軸方向兩個部分。其運動方程如下：

(14)

解微分方程得到質心關于時間的函數：

(15)

(16)

只要知道了質心在x、y方向的初始位置和速度，就可以完成整個周期的質心(COM)規劃。

圖3 三維線性倒立擺示意圖

2.2 多目標進化算法及改進策略

①髖關節的最大角速度ω_max與任意時刻關節j的最大角速度滿足：

ωi(t)≤ωj_max

(17)

②質心到踝關節的長度與最大等效腿長滿足：

(18)

式中：pos_z(t)、p_l(t)、p_r(t)分別為質心和左右踝關節的位置；ld2為最大腿長l_max的平方與髖關節到質心的距離d的平方之和。

③步行步長和步寬由l_max和zc約束，滿足：

(19)

④設單步時間T內，髖關節轉過的角度為q，有：

ω_maxT≤q

(20)

本文將問題抽象為多目標函數優化問題，分別得到關于穩定性和能耗的目標函數。

①質心到支撐腿中心的距離是影響機器人行走穩定性的重要因素，越靠近支撐中心越穩定。因此，穩定性目標函數表示為：

(21)

式中：x2、y2分別為x、y方向任意時刻t支撐中心與質心位置差值的平方。

②將擺動腿擺動的高度作為能耗大小的重要指標，能耗目標函數表示為：

(22)

式中:z(t)為z軸方向擺動腿運動軌跡。

對以上目標函數的最優化問題，可以轉換為構造懲罰函數對約束條件hi(x)的最小化問題。設懲罰函數為：

p(x,M)=M∑imin [0,hi(x)]2

(23)

M為懲罰因子，將約束條件帶入目標函數，利用改進SPEA算法求解Pareto最優解集。設初始種群P的規模為N，存檔集Q和局部存檔集規模均為M。改進SPEA算法步驟如下。

①初始化種群P和存檔集Q、L。

②計算P、Q和L中所有個體的適應度。

③將Pt、Qt、LT中的非支配個體保存到Qt+1中，若其規模不為M，則調整其規模滿足分布要求。

④如果滿足設置的停止條件，則將Qt+1中的非支配個體返回；否則繼續。

⑤對Qt+1進行競標賽選擇。

⑥對Qt+1進行交叉、變異操作，并將結果保存至Pt+1，且更新Pt+1的部分個體，令t=t+1，繼續步驟②。

3 虛擬樣機仿真和分析

采用ADAMS和Matlab聯合仿真進行仿真測試,ADAMS中可以建立逼真的三維模型，并具有動力學和運動學特性。通過相關接口將參數特性傳遞給Matlab/Simulink。后者又可以對步態進行規劃，將規劃好的步態信息通過控制模塊再傳遞給ADAMS，從而建立起機器人的動態行走并且進行實時的性能分析評估。

3.1 雙足機器人建模

雙足機器人的各部分參數取值來自175 cm成年人體型特征，按一定的比例縮小選取。繪制小腿、大腿、腳部和上體質量塊是需要通過邊緣剪切、過孔/打孔的方式繪制對應關節的轉動樣式。而關節繪制時，為了滿足步態規劃的準確性，需要注意轉動軸的個數；數量不同，繪制的復雜度就不一樣。踝關節前向、側向兩個轉動軸需要交于一點；髖關節前向、側向和豎直三個轉動軸也需要交于一點；而膝關節較為簡單，只有前向俯仰一個旋轉軸。建立好模型后，各部件之間仍然是相互獨立的，需要在部件與連桿之間建立聯系，在ADAMS中對不同部件添加約束，完成完整的建模過程。各部分和整體組合模型如圖4所示。

圖4 各部分和整體模型示意圖

動態行走3D觀測圖如圖5所示。

圖5 動態行走3D觀測圖

3.2 仿真結果和分析

圖6 角速度變化圖

從圖6可以看出，雙足機器人側向搖擺具有整體性和一致性。踝關節和髖關節角度變化情況相同，呈周期性變化。

CM、CM1、CM2分別表示本文優化方案、遺傳算法優化方案和原始倒立擺方案左腿質心在前向、側向、和豎直方向三個方向速度的變化曲線。通過對比，遺傳算法方案前向速度變化范圍較大，原始倒立擺方案存在明顯突刺，而本文使用的方案變化情況較為折中。

左腿質心不同方向速度變化如圖7所示。

圖7 左腿質心不同方向速度變化圖

左腿質心前向加速度變化如圖8所示。從圖8可以看出，在擺動腿和支撐對互換時，加速度變化都比較明顯，但是CM1和CM2產生的突刺幅度較大，對質心加速度的影響更大。

圖8 左腿質心前向加速度變化圖

4 結束語

本文對雙足機器人的步態規劃進行了仿真研究。先在雙足機器人多連桿模型上進行D-H法正逆運動學建模。接著進行了步態優化設計，建立了以穩定性和能耗為目標的尋優函數，利用改進的SPEA算法解得最佳參數。最后利用得到的參數使用ADAMS/Matlab進行聯合仿真分析，與原始倒立擺規劃和遺傳優化方案作對比。由雙足機器人左腿質心在前向、側向和豎直方向的速度和加速度對比結果可知，本文提出的優化方案變化幅度最為平緩，穩定性效果最優，可以為機器人步態規劃方面的相關研究提供一定的參考。