如何提高教學效率

摘?要：針對《線性代數》課程特點、學生學習現狀，結合自己教學經驗，從課程知識體系構建，教師授課內容和方式等方面提出自己的幾點教學思考和建議，希望提高學生的學習興趣，增強學生對抽象概念的理解，最終達到提高教學效率的目的。

關鍵詞：構建知識體系;應用案例;課程聯系;現代化教學工具

當下全國大部分高校的《線性代數》課程教學多采用理論教學模式。在現有的理論教學模式下，本科生往往很難理解課程中的一些抽象概念或定理，更不能體會這些抽象概念或定理的應用性，從而無法了解《線性代數》的重要應用價值。而《線性代數》本身是一門十分實用的數學課程，在解決等許多實際問題時，通過建立數學模型，轉化為《線性代數》中的某個知識點來解決。同時，《線性代數》這門課中包含著許多重要的數學思想和方法，如歸納、遞推、類比，變換、構造、化歸等等，學生應該在學習這門課的過程中，提高自己解決問題的創新能力。我們就如何幫助學生提高學習興趣，在掌握基本知識理論的前提下，達到靈活運用的目的，從而提高課堂教學效率，并提出幾點教學體會。

一、構建線性代數課程知識體系

在講授線性代數前，應讓學生明白線性代數這門課的的內容體系，構建合理的知識結構圖，使其了解線性代數各部分內容之間的密切聯系。目前，大多數《線性代數》教材主要內容按編排順序依次為：行列式、矩陣、向量、線性方程組，特征值與特征向量、二次型和線性空間與線性變換七部分。對于整個線性代數的內容體系來說，其基本理論核心應是線性空間與線性變換，而矩陣是我們一個重要的研究工具，我們在研究向量、線性方程組，特征值與特征向量、二次型和線性空間與線性變換時，都需要將其表現為矩陣的形式，對矩陣進行適當操作，來解決對應的線性變換問題。

個別學校由于學時有限，線性代數與線性變換部分內容已被削減。這種情況下，我們可以將求解線性方程組問題，看成線性代數的一個很重要的應用。而其他部分內容，可以看做圍繞線性方程組展開。我們知道，任何一個線性系統，都可以將其總結為一個線性方程組。研究這個線性系統，實際上就是研究其對應線性方程組解的問題。如何研究一般的線性方程組的求解問題呢？我們需要借助的是矩陣的初等行變換;如何分析線性方程組解的結構呢？我們需要知道向量和極大無關組的概念;而特征向量可以看做線性方程組的特殊的解，這個解滿足被方程組對應的系數矩陣作用后，得到的是與其共線的向量，共線向量對應的常數正是矩陣的特征值。而對于行列式來說，它是我們再研究上面所有內容中都會使用到的一個工具。

二、適當增加應用案例

在授課內容方面，教師在講授各個知識點時，適當增加應用案例，便于將抽象的概念具體化、形象化。我國高校現行線性代數課程，過分注重概念、定理等抽象理論體系而疏離于生活實際的現狀，那么在課堂教學中，作為教師的我們可以適當地引入和聯系一些豐富、生動的應用實例。下面我們舉幾個例子，將《線性代數》這門課中的一些抽象概念或者定理形象化。

例如，在講解矩陣乘法時，我們可以從密碼學入手。在軍事等領域，我們常常需要對所傳遞的信息進行加密處理，那么矩陣乘法可以作為一種加密方式。假設，我們想傳遞給對方的消息是over，這個單詞中的每一個字母，按照英文的字母表順序A→B→C→D→…X→Y→Z，分別對應的是數字15、22、5、18，那么我想傳遞出去的信息可表示為A=15?22

5?18，為了避免信號被敵方截獲后識別我方意圖，我們對該信息進行加密處理，我們選擇矩陣B=2?1

5?2對信息進行加密，這樣對方接收到的信號為：

C=2?1

5?215?22

5?18=35?62

85?146

對方收到信號C后，需要將信息轉換成我方發送的真實信息，這時就需要一把密鑰，密鑰即為B-1=-2?1

5?-2，通過密鑰B-1，立即就能得到真實信息A=B-1C。

再如，在講授向量組的秩和極大無關組這個概念時，我們可以與三原色的概念進行類比。極大無關組指的是向量組中r個線性無關的向量，并且滿足向量組中任意r+1個向量均線性相關，而極大無關組中向量的個數r就是向量組的秩。我們知道紅、黃、藍是色彩中不能在分解的三種顏色，我們稱之為三原色。從三原色出發，我們可以合成所有顏色，但是如果在三原色中隨機去掉一種顏色，余下的兩個顏色均不能合成去掉的顏色，實際上就是一個“極大無關組”的概念。通過這個例子的引入，可以幫助學生很好的理解極大無關組這個抽象的概念。

三、加強《線性代數》與其他課程的聯系

教師在講授《線性代數》部分內容時，應該與學生已學其他課程內容有機聯系起來，更加能突出《線性代數》這門課的應用價值，從而提高學生掌握知識、運用知識的能力。例如，《高等數學》課程中，判定多元函數極值時，有如下充分條件：

定理[1].若函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數，且fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，令A=fxx（x0，y0），B=fxy（x0，y0），C=fyy（x0，y0），

則：（1）當AC-B2>0時，具有極值，且A<0時取極大值，

A>0時取極小值。

（2）當AC-B2<0時，沒有極值。

（3）當AC-B2=0時，不能確定。

在講授《線性代數》二次型時，我們可以將二次型的正定和負定部分內容和上述定理聯系起來。上述定理結論（1），實際上就是用順序主子式法對對稱矩陣A?B

B?C有定性的判別。

又如我們可以應用矩陣的思想討論《概率論與數理統計》多維隨機變量及其獨立性的，可以應用線性方程組理論討論《控制論》中的線性系統，等等。由于篇幅有限，作者就不一一贅述了。可見，現代化教學手段也是有效的輔助教學工具，尤其在《線性代數》內容與幾何聯系起來時，可為學生形象、生動地演示線性變換的過程和結果。

參考文獻：

[1]高等數學（第七版）.同濟大學.北京：高等教育出版社，2014.

作者簡介：李想（1986-），女，遼寧阜新人，博士，講師，非線性發展方程。