關(guān)注“三度”，豐富小學(xué)數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵

張嫦

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，且每一個(gè)概念不是孤立存在的，它和其他知識(shí)之間存在多維的結(jié)構(gòu)關(guān)系。筆者認(rèn)為，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注概念的寬度、深度和完整度，引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，才能達(dá)到對(duì)概念內(nèi)涵的豐富性理解。

一、關(guān)注寬度，欣賞概念的不同側(cè)面和豐富內(nèi)涵

寬度即多角度，教師要能抓住一個(gè)概念的不同側(cè)面和豐富內(nèi)涵，便于在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多角度學(xué)習(xí)。在實(shí)際教學(xué)中，一些教師常常只注重概念的某個(gè)側(cè)面，特別是教材中標(biāo)準(zhǔn)的例子，忽視非標(biāo)準(zhǔn)的變式，導(dǎo)致學(xué)生不能很好地理解概念內(nèi)涵，在解題過(guò)程中也就不懂得靈活運(yùn)用。

例如，“分?jǐn)?shù)除法的意義”與“整數(shù)除法的意義”都可看成是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。但分?jǐn)?shù)在學(xué)生眼里還是十分抽象的，雖然說(shuō)分?jǐn)?shù)也是一個(gè)數(shù)，但學(xué)生容易將之與整數(shù)除法相混淆。為了豐富學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)除法的意義”的理解，教師可以把數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的情境聯(lián)系起來(lái)，用不同角度進(jìn)行描述。如算式 ÷ ，可以描述成：我這里有 千克糖，如果每包 千克，一共能分成多少包？也可以描述成：有兩包糖，白糖是 千克，紅糖是 千克，白糖質(zhì)量是紅糖質(zhì)量的幾倍？這兩種描述都可以表示 ÷ ，但它們對(duì)應(yīng)的數(shù)值模型是不同的。對(duì)同一個(gè)除法算式，通過(guò)多角度、不同的數(shù)值模型進(jìn)行解釋，能引導(dǎo)學(xué)生靈活地理解概念。

關(guān)注寬度還應(yīng)拓寬概念的內(nèi)涵，不囿于教材所示的“定義”。如教材這樣定義“比”：兩個(gè)數(shù)的比表示兩個(gè)數(shù)相除。而實(shí)際上，比是一種關(guān)系，不是除法運(yùn)算，只有在求比值時(shí)才用到除法。“比”原本是同類量的比較關(guān)系，但也可以推廣到不是同類量的情形。也就是說(shuō)“比”是一種關(guān)系，它揭示了兩個(gè)變量之間一種不變的關(guān)系，這是“比”概念的本質(zhì)。在教學(xué)引入時(shí)，筆者創(chuàng)設(shè)調(diào)配蜂蜜水的情境，假設(shè)蜂蜜和水的比是1∶8，鼓勵(lì)學(xué)生從分?jǐn)?shù)、份數(shù)、倍數(shù)等不同的角度來(lái)理解“1∶8”的含義，感悟到比的度量?jī)r(jià)值。接著再引導(dǎo)學(xué)生思考如果蜂蜜量的變化，水應(yīng)如何變化，從中感悟蜂蜜和水之間必須保持的不變關(guān)系——倍數(shù)關(guān)系。通過(guò)“你變我也變，是有規(guī)律地在變”，讓學(xué)生體會(huì)到“比是一種函數(shù)關(guān)系”。最后再探究不同類量的“比”，感悟比在生活運(yùn)用中的便利。多角度拓寬“比”概念內(nèi)涵，而不是簡(jiǎn)單地把“比”說(shuō)成兩數(shù)相除，才能突顯概念教學(xué)的價(jià)值。

二、關(guān)注深度，挖掘概念的基本思想和數(shù)學(xué)本質(zhì)

深度即數(shù)學(xué)本質(zhì)，教師應(yīng)抓住概念的基本思想和數(shù)學(xué)原理，并時(shí)常重溫和強(qiáng)化它們。很多看似簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)概念背后蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，但部分教師沒(méi)有在教學(xué)中加以深究，慢慢就把這些思想方法沖淡甚至遺失了。

例如，教材上指出“含有未知數(shù)的等式叫方程”，這其實(shí)不是嚴(yán)格的定義，區(qū)分等式、不等式和辨認(rèn)方程也不是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。方程作為一種數(shù)學(xué)模型，目的是對(duì)其運(yùn)用以“求解”未知數(shù)。方程的代數(shù)運(yùn)算和算術(shù)解法的思維方式正好相反，一個(gè)是摸著石頭過(guò)河，一個(gè)是已經(jīng)與河對(duì)岸建立關(guān)系來(lái)探索原路。因此，在方程的意義教學(xué)中，應(yīng)淡化“含有未知數(shù)的等式叫方程”，突出概念背后的方程思想方法并在教學(xué)中逐步滲透。

關(guān)注深度還應(yīng)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)思考，主動(dòng)探究，在探究過(guò)程中提升學(xué)生的理性精神，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)。如“面積的意義”，教材上指出“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”，很多教師會(huì)圍繞這句話進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，反復(fù)討論什么是表面、什么是封閉情形。這樣做其實(shí)意義不大，面積的教學(xué)核心是如何測(cè)量圖形的大小。它與長(zhǎng)度和體積作為一種測(cè)量過(guò)程其本質(zhì)是一樣的，只不過(guò)圖形的維度不同。因此，在教學(xué)面積時(shí)，可以先回顧長(zhǎng)度的測(cè)量過(guò)程，將面積的測(cè)量過(guò)程與長(zhǎng)度的測(cè)量過(guò)程進(jìn)行類比，再次揭示測(cè)量的數(shù)學(xué)本質(zhì)。然后分三步進(jìn)行教學(xué)：第一步給出單位正方形，第二步對(duì)測(cè)量物體進(jìn)行“覆蓋”或“內(nèi)填”，第三步數(shù)出單位正方形的個(gè)數(shù)。這樣的三步，面積的數(shù)學(xué)理論就有了雛形。

三、關(guān)注完整度，溝通概念之間的聯(lián)系和方法遷移

完整度即融會(huì)貫通，教學(xué)時(shí)應(yīng)把相關(guān)概念“粘連”成一個(gè)融會(huì)貫通的整體，形成一定的概念系統(tǒng)。如果教師不注意相關(guān)概念的聯(lián)系教學(xué)，學(xué)生習(xí)得的概念就顯得零碎而孤立，無(wú)法將相關(guān)聯(lián)的概念知識(shí)串成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

例如，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減法貫穿小學(xué)各個(gè)階段，它們的含義都是求幾個(gè)部分?jǐn)?shù)的和的運(yùn)算。它們的計(jì)算方法從表面上看似不同，但實(shí)質(zhì)上它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)——相同計(jì)數(shù)單位的數(shù)才能直接相加減。在教學(xué)“分?jǐn)?shù)加減法”時(shí)，教師就應(yīng)該把分?jǐn)?shù)加減法和整數(shù)、小數(shù)加減法溝通起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么整數(shù)加減法要個(gè)位對(duì)齊，小數(shù)加減法要小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？個(gè)位對(duì)齊和小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊表面上看計(jì)算方法不一樣，但不管對(duì)齊個(gè)位還是小數(shù)點(diǎn)，都是相同計(jì)算單位上的數(shù)對(duì)齊才能進(jìn)行運(yùn)算。在充分理解了這一點(diǎn)后，學(xué)生就能明白為什么同分母分?jǐn)?shù)可以直接相加減，而異分母分?jǐn)?shù)要先通分再加減這個(gè)道理。乘除法也是一樣的，如30×2、0.3×2、 ×2，表面上看分別屬于整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法三種計(jì)算方法，實(shí)際上它們也是相通的，只不過(guò)計(jì)算單位不同，分別可以得到6個(gè)十、6個(gè)0.1和6個(gè) 。

關(guān)注完整度還應(yīng)該重視學(xué)習(xí)方法的遷移，也就是概念同化。在學(xué)生原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分認(rèn)識(shí)原有概念和新概念之間的聯(lián)系，使舊概念得到改組或改造，從而獲得新的概念。如在教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧長(zhǎng)方體的側(cè)面積計(jì)算過(guò)程是把三維立體圖形化為二維平面圖形，依次計(jì)算出每個(gè)面的面積再相加;也可以把側(cè)面展開(kāi)變成一個(gè)大長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是長(zhǎng)方體的底面周長(zhǎng)，寬就是長(zhǎng)方體的高，從而得出長(zhǎng)方體的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高。隨后，筆者再把要學(xué)的圓柱、長(zhǎng)方體和正方體以及具有共通思維方式的三棱柱、五棱柱等直柱體整合在一起，引導(dǎo)學(xué)生思考這些立體圖形的共同特征和本質(zhì)上的聯(lián)系，再去考慮圓柱的側(cè)面積問(wèn)題。通過(guò)關(guān)聯(lián)這些直柱體，用共通的思維方式，化三維為二維，學(xué)生能體會(huì)到盡管它們各自有其特殊的表面積計(jì)算公式，但它們的側(cè)面積計(jì)算都可以概括為“底面周長(zhǎng)×高”。

關(guān)注完整度，能防止學(xué)生學(xué)得的知識(shí)顯得支離破碎，學(xué)生學(xué)到的不再是孤立的專題，而是知識(shí)的有機(jī)整體。

總之，教師應(yīng)關(guān)注概念的寬度、深度和完整度，讓學(xué)生明白概念的發(fā)展脈絡(luò)，才可豐富學(xué)生對(duì)概念的理解。

（作者單位：福建省廈門(mén)市湖明小學(xué) ? ?責(zé)任編輯：王振輝）