一道高考試題的多維視角探析

張偉志

高考命題從能力立意轉向素養的考查，重點不再是常規的解題技巧，而是側重于學生的探究能力、創新能力和遷移能力.2019年全國卷Ⅰ第17題看起來很常規，入口較易，事實上卻超凡脫俗、豐富多彩，有較大的探究空間和教學價值，下面我們就結合此題的探究和拓展，談一下核心素養導向下高三復習的一點點想法和建議.

2019年高考數學試題全國卷（Ⅰ）第17題為：

△ABC的內角A，B，C對應的邊分別為a，b，c.設（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

（Ⅰ）求A;

（Ⅱ）若2a+b=2c，求sinC.

在第（Ⅰ）問中，可以考慮特殊情況，當A=B=C=π3時，題設中的恒等式顯然成立，不難猜出A=π3.具體解法如下：

利用正弦定理可將（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC化簡為（b-c）2=a2-bc，整理可得：bc=b2+c2-a2.

由余弦定理知：cosA=b2+c2-a22bc=12，又A∈（0，π），所以A=π3.

點評 第一問入口比較簡單，大部分同學都會運用正弦定理，把已知條件轉化成邊的關系，然后結合余弦定理得出結果，此解法較為簡潔流暢.當然也可以運用三角恒等變形直接得出結論，但相比上述方法計算較為繁瑣，此處不再贅述.

（Ⅱ）視角1 代數法

代數法研究圖形的幾何運算和性質是解三角形的本質.由于已知條件純粹是三角形的邊角關系，因此，利用三角形內角和定理及常規的三角公式，并巧妙運用轉化化歸的思想，使問題迎刃而解.

方法1 轉化的思想

由（Ⅰ）可知sinA=32，cosA=12.

2a+b=2c等價于：22sinA+12sinB=sinC，

即22sinA+cosAsinB=sin（A+B），整理得22sinA=sinAcosB，由于sinA>0，所以cosB=22，得B=π4.所以sinC=6+24.

點評 常規的思路是轉化為關于sinC的一元二次方程，計算量較大，靈活運用三角形內角和定理和特殊角的三角函數值，轉化化歸，先求出B=π4，大大地減少了運算量，思路非常巧妙.

方法2 構造的思想

同方法一可得：22sinA+12sinB=sinC，轉化為：

22×32+12sin（C+π3）=sin[（C+π3）-π3]，即22×32+12sin（C+π3）=12sin（C+π3）-32cos（C+π3），得cos（C+π3）=-22.

由0 所以sinC=6+24.

點評 構造特殊角C+π3，巧妙地繞開了關于非特殊角C的繁雜運算，使問題得以簡化，收到了良好的效果.

方法3 向量的思想

由（Ⅰ）可知cosA=12.

令AB=c， BC=a，AC=b，而2 │a│=2│c│-│b│可化為：2（b-c）2=（2│c│-│b│）2，2│b││c│=2│c│2-│b│2.

將cosA=b2+c2-a22|b||c|=12，代入上式得2a2=3b2.可設|a|=3k，

|b|=2k，易得|c|=6+22k，由正弦定理得sinC=|c||a|sinA=6+24.

點評 向量是實現數與形完美結合的有效途徑，是解決數學問題的一把利劍，在解三角形問題中巧妙地構造向量，往往可以達到一種 “曲徑通幽”的效果.

視角2 幾何法

本題的背景是幾何三角形問題，自然可以采用平面幾何知識進行求解.而學生往往會忽略三角形的幾何本質，選擇較為復雜的三角恒等變形知識來解決此題.

方法4 數形結合的思想（以形助數）

如圖1，作CD⊥AB，垂足為D.

由題意：c=12b+22a，而AB=AD+DB，AD=b·cosA=12b，則DB=BC·cosB=22a，所以cosB=22，得B=π4，C=5π12，所以sinC=6+24.

點評 利用平面幾何知識，構造直角三角形，數形結合，返璞歸真，潤物細無聲地實現了初高中數學知識的銜接.

視角3 坐標法

由于利用三角恒等變形解決此問題時，牽扯的公式較多，部分學生可能出現因遺忘公式而思路受阻的現象，而坐標法可以避免這種狀況的發生，學生會有一種柳暗花明又一村的感覺.

方法5 數形結合的思想（以數釋形）

如圖2，以C為原點，以CA所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，令CB=1，∠BCA=θ，以點C為圓心作單位圓，作BD⊥CA，垂足為D，則B（cosθ，sinθ），BD=32c=sinθ，AD=12c，CD=cosθ，CD=AC-AD，即cosθ=b-12c.

將b=2c-2代入上式得：cosθ=32c-2.

在RT△BCD中， CD2=BC2-BD2，即cos2θ=1-32c2，可得32c-22=1-32c2，解得c=32±66，由于c=12b+22>22，所以c=32+66，所以 sinθ=32c=6+24，即 sinC=6+24.

點評 本題以C為原點建立直角坐標系，結合三角函數的定義，構造出關于c的一元二次方程，使問題得以解決，該做法很好得體現了坐標法在解決平面幾何問題中的優越性.

新考綱區別于以前的主要表現在從數學思想方法、能力以及科學與人文素養三個方面提出要求，注重引導一線教師積極更新理念，削弱重知識輕能力給學生發展帶來的負面影響.因此，在教學中引導學生發揮主觀能動性，開創性地解決問題，尤為重要.