淺談高校數(shù)學(xué)研究性教學(xué)的課堂實踐

方守文

摘 ?要：隨著我國高等教育的快速發(fā)展和社會對高素質(zhì)人才的需求，高校實行研究性教學(xué)改革的呼聲日漸高漲。在高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中嘗試研究性教學(xué)，可以培養(yǎng)大學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和創(chuàng)新能力，實現(xiàn)高等教育的人才培養(yǎng)目標(biāo)。基于在高校數(shù)學(xué)課堂多年的教學(xué)實踐，筆者探討了在高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何開展研究性教學(xué)，對培養(yǎng)大學(xué)生創(chuàng)新素質(zhì)有著非常重要的意義。

關(guān)鍵詞：研究性教學(xué) ?高等數(shù)學(xué) ?線性代數(shù) ?素質(zhì)教育

中圖分類號：G642.0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）07（b）-0212-02

研究性教學(xué)是指教師結(jié)合課程內(nèi)容與學(xué)生已有知識，通過研究性的方式提出、分析和解決問題，并在此過程中培養(yǎng)學(xué)生與專業(yè)所學(xué)知識相關(guān)的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造能力，是目前高等教育所提倡的新型教學(xué)模式之一。研究性教學(xué)的最終目的是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提升本科教育培養(yǎng)人才的質(zhì)量。高校素質(zhì)教育所強調(diào)的核心是創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，這就使得傳統(tǒng)的教學(xué)方式向研究性教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變成為一種必然趨勢。

高校數(shù)學(xué)課程是大學(xué)各個專業(yè)的基礎(chǔ)課，由于具有高度的抽象性和邏輯性，使得很多大學(xué)生望而生畏，從而失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。因此，在高校數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行研究性教學(xué)的實踐是非常必要的，可以通過研究性教學(xué)來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高課堂教學(xué)效果，鍛煉學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題的能力。筆者根據(jù)多年高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐，來談?wù)勅绾伟蜒芯啃越虒W(xué)深入到高校數(shù)學(xué)課堂實踐中。

1 ?高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實踐

1.1 教學(xué)中以全局觀看知識點

數(shù)學(xué)是一門很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)的各個方向相互滲透交叉，知識點前后緊密相關(guān)。高校數(shù)學(xué)主要有三門課程組成，高校教師要熟練每門課程的知識點，力求做到融會貫通。課堂教學(xué)中對各個知識點多作類比，善于構(gòu)建多層次多維度的知識網(wǎng)絡(luò)體系，全方位整合知識點，啟發(fā)學(xué)生多動腦筋。例如，在講解線性代數(shù)的對稱矩陣時，有一個結(jié)論：一個方陣可以分解為對稱矩陣和反對稱矩陣的和。教學(xué)中可以對應(yīng)到高等數(shù)學(xué)中類似的知識：一個函數(shù)可以分解為偶函數(shù)和奇函數(shù)的和。類似地，比如在講解矩陣乘積的逆運算性質(zhì)時，就可以提醒學(xué)生回憶矩陣乘積的轉(zhuǎn)置運算性質(zhì)。抓住這兩個公式的共同點，就能很快讓學(xué)生熟練計算。

高校素質(zhì)教育的目標(biāo)是培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新型人才。因此，對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，必須要深入到高校數(shù)學(xué)課堂的具體教學(xué)中。創(chuàng)新不是無水之源，在知識網(wǎng)絡(luò)體系中每個知識點都承載著推動新知識的發(fā)現(xiàn)和形成，只有不斷內(nèi)化已有知識，才能派生出新的知識。新的知識點和舊的知識點有很多相似點，教師要善于發(fā)現(xiàn)并抓住知識點的異同點，課堂教學(xué)中多作類比，幫助學(xué)生搭建知識點間的橋梁，才能快速地讓學(xué)生接受新的知識，方便理解，增強學(xué)生運用已有知識解決問題的能力，從而提高教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。

1.2 抽象概念要直觀化處理

數(shù)學(xué)中概念的抽象性很高，使得初學(xué)者不易理解，因此借助于幾何背景去認(rèn)清概念就非常有必要。笛卡爾說：“沒有什么東西比幾何圖形更容易引人腦際了，因此用這種方法來表達(dá)事物是非常有意義的。”高等數(shù)學(xué)里很多概念都提到它的幾何意義，教學(xué)中教師應(yīng)該都會注意到。但是線性代數(shù)的教材里很少提到幾何意義，教學(xué)中不去說明，學(xué)生就很難把握，比如：向量的線性相關(guān)。教學(xué)中，可以從向量的個數(shù)和空間維數(shù)去講解。首先從兩個向量α和β的線性相關(guān)入手，就是，k1，k2不全為零，等價變形后，不妨設(shè)k1≠0，即。根據(jù)向量的數(shù)乘定義，即這兩個向量α和β對應(yīng)分量成比例，幾何上叫共線或者平行關(guān)系。接著看三個向量α，β和γ的線性相關(guān)，，k1，k2，k3不全為零，不妨設(shè)k1≠0，即。根據(jù)向量加法平行四邊形法則，幾何上這三個向量就是共面關(guān)系。最后，讓學(xué)生采用同樣分析方法去思考四個向量的線性相關(guān)，幾何上怎么解釋？可以提示：應(yīng)該也是共一個東西。學(xué)生根據(jù)幾何直觀，就很自然的去聯(lián)想到線、面的下個應(yīng)該是什么，從空間維數(shù)去看，線是一維直線，面指的是二維平面，那么下一個應(yīng)該是三維空間。所以，得到結(jié)論四個向量線性相關(guān)幾何上是共體。這樣如此類推，自然對向量線性相關(guān)的概念理解就更加深刻。再有對線性方程組解結(jié)構(gòu)的講解，幾何上可以對應(yīng)到空間解析幾何中平面或直線。齊次線性方程組的解構(gòu)成向量空間，對應(yīng)的就是空間中經(jīng)過原點的平面或直線，非齊次線性方程組的通解是一個特解加上相對應(yīng)的齊次線性方程組的通解，幾何上看就是把經(jīng)過原點的平面或直線平行移動一個特解后變成不經(jīng)過原點的平面或直線。有了這種直觀認(rèn)識后，對解的結(jié)構(gòu)定理記起來就更加自然，不需要去死記硬背。

在高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要始終貫徹抽象概念的直觀化處理，這種教學(xué)方法有助于學(xué)習(xí)者記憶理解，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，使得課堂教學(xué)更生動，更具有吸引力。

1.3 分析問題要追本溯源

高校數(shù)學(xué)課程里對每個知識點的介紹，都會給出相應(yīng)地例題，通過例題讓學(xué)生熟悉新的知識點，更好地加深概念的理解，從而提高學(xué)生分析和解決問題的能力。教學(xué)中要把課堂例題分析講解到位是每位教師必備的教學(xué)基本功，這點需要不斷地教學(xué)實踐和反思。下面給一個例子來說明。

例如：已知三階矩陣A的特征值為1、2和3，設(shè)，問B能否相似對角化？

分析：矩陣相似對角化的充分必要條件是矩陣有n個線性無關(guān)的特征向量。而題中條件只給出了特征值，所以要從特征值的角度來判斷對角化，這就要注意到矩陣相似對角化的一個充分條件是矩陣有不同的特征值。在這個思路下，我們可以先根據(jù)特征值性質(zhì)計算出B的特征值分別為-1、3和19，因此，B可以相似于對角矩陣。

如果僅從上面的分析給出求解過程，這個例題就結(jié)束，這樣是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。其實上面的分析只能解決這個例題，并沒有抓住問題的核心。我們可以給學(xué)生去思考：如果換成，能不能相似對角化？這樣再用上面的分析，B的特征值分別為0、0和2，因此，僅從特征值就不好回答了。其實B還是能對角化，只要B是A的多項式，因為這個例題的本質(zhì)是A能相似對角化，而相似矩陣的多項式也相似。這樣結(jié)合相似對角化的條件和相似性質(zhì)去分析，使例題的本質(zhì)突顯出來。

華羅庚先生指出：“取法乎上得其中，取法乎中得其下”。教學(xué)中不能僅僅根據(jù)一點分析問題，要多方位多角度去延伸，橫向和縱向都要兼顧到，要有高屋建瓴的認(rèn)知能力，揭示問題的本質(zhì)，把握問題的源與流。只有這樣，才能更好地啟發(fā)學(xué)生思考，做到舉一反三，有助于提升本科生的創(chuàng)新意識，開拓本科生的數(shù)學(xué)視野。

2 ?結(jié)語

高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革和創(chuàng)新是高等教育一個重要的研究課題。研究性教學(xué)方式是目前高校數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的改革方向，這也需要廣大高校數(shù)學(xué)教師不斷地在教學(xué)實踐中進(jìn)行完善。大學(xué)數(shù)學(xué)教師不能停留在為教學(xué)而教學(xué)的初級層面上，要在教學(xué)實踐中深入研究性教學(xué)嘗試，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果，培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識，為國家多培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新型人才。

參考文獻(xiàn)

[1]李嵐.高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革研究進(jìn)展[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（4）：20-26.

[2] 高翔宇，張顯，鞏誠.研究性教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的探索與實踐[J].大學(xué)教育，2017（6）：4-5.

[3] 曹榮美，周含策，吳健.從幾何直觀的視角理解行列式[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2017，33（1）：120-126.

[4] 牛英春.高等數(shù)學(xué)課程的混合式教學(xué)模式[J].課程教育研究，2019（15）：121.