大學物理中質點系的動量定理及動能定理推導的教學探討

江軍

摘 要 在大學物理中有二個重要定理：質點系動量定理、質點系動能定理。這二個定理均可以從牛頓第二定律和微積分知識嚴格地推導出來，從而可以讓學生對這二個定理有更進一步的認識和理解。

關鍵詞 大學物理 質點系 動量定理 動能定理

中圖分類號：O313.2文獻標識碼：A

1質點系的動量定理

凡是學習過物理的學生都知道質點體系的動量定理：任何一個系統(tǒng)，系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量。下面給出嚴格的證明。

1.1單個質點的動量定理

對單個質點而言，假設該質點的質量是m，所受的外力是，其加速度為，根據頓第二定律：

（1）

而? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

由（1）、（2）可得： 在經典力學的范圍可以認為m是常量。

從而可等到：（3）? ?質點所受的元沖量等于質點動量的微分。

如果外力作用在質點上的時間是這段時間間隔內，則對（3）式取定積分：

（4）

其中合外力的沖量，則有：

（5）

即單個質點的動量定理：質點所受合外力的沖量等于質點動量的增量。

1.2質點系的動量定理

假設一個系統(tǒng)由n個質點m1、m2…、mn組成，第1個質點m1所受的合外力是，受到第2個至第n個質點的內力分別是、，第1個 質點末時刻的動量是，初時刻的動量是，則對第1個質點應用單個質點的動量定理（4），顯然有：

（5）

同理對第2…n個質點可以列出類似的方程：

=? ? ? ?（6）

……

=? ?（7）

這n個方程全部相加：考慮到：牛頓第三定律內力總是成對出現，大小相等，方向相反，作用在同一直線上。所以：全部內力的沖量相加后一定等于零，即：

所以最后可得到：

=

簡化上述表達式，其中：是系統(tǒng)所受的合外力的沖量

是系統(tǒng)末時刻的動量

是系統(tǒng)初時刻的動量

最后得到：，這就是力學中的質點系的動量守恒定律：一個系統(tǒng)所受的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量。

2質點系的動能定理

質點體系的動能定理：對一個系統(tǒng)而言，所有外力的功加上所有內力的功等于系統(tǒng)動能的增量。下面給出嚴格推導。

2.1單個質點的動能定理

假設一個質點m所受的合外力是，在的作用下質點m沿著任一曲線從A運動到B點，質點在 A點的 速率是v，在B點的速率是v0，是在此路徑上一段無限短的位移，則在上外力所做的元功是：

（8）

采用自然坐標系，顯然有：

（9）? ? （注：t表示切線方向，n表示法線方向）

而： （注：ds是位移段上的路程）? ? ? （10）

把（9）、（10）帶入（8）式可得到：（注意：）

（11）

根據牛頓第二定律：

（12）

將（12）式代入（11）可得到：

（注： ）? ? ? ? ?（13）

則整個過程中做的總功：

（14）

即，單個質點動能定理：對單個質點而言，所有外力的功等于質點動能的增量。

2.2質點系的動能定理

同樣，假設系統(tǒng)由n個質點m1、m2…、mn組成，對第1個質點m1而言，所有外力的做的功是W1，所有內力做的功是w1，則使用單個質點的動能定理（14），可得到：

（15）

同理對第2……n個質點亦可列出類似（下轉第147頁）（上接第135頁）的方程：

（16）

……

（17）

將這n個方程全部相加，

（18）

簡化上述表達式，令：

表示系統(tǒng)所有外力的功

表示系統(tǒng)所有內力的功（注：系統(tǒng)所有內力能相互抵消，但所有內力的功是不能相互抵消的）

表示系統(tǒng)在末時刻的動能

表示系統(tǒng)在初時刻的動能

則上述方程（18）可以簡化為：

這就是力學中質點系的動能定理：對一個系統(tǒng)而言，所有外力的功加上所有內力的功等于系統(tǒng)動能的增量。

參考文獻

[1] 馬文蔚，周雨青.物理學（上冊）[M].高等教育出版社.

[2] 張三慧等譯.哈里德大學物理學[M].機械工業(yè)出版社，2009.

[3] 蘇繼龍.動量定理和質心運動定理的比較教學[J].物理與工程，2012（06）.

[4] 王少燈.在功和動能定理教學中加強參照系和系統(tǒng)的概念[J].鄭州輕工業(yè)學院學報，1993（12）.