探索開放式數學教學

梅慧娟

開放式數學教學研究已經進行了很多年。1971年，日本一個27人的學者群體，率先研究數學開放題的教學問題，并于1977年發表了名為《算術、數學課的開放式問題改善教學的新方案》的報告。隨著數學開放題成為中、高考的新題型，研究數學開放題的人越來越多。為了探索開放式數學教學，我從課外活動課到新課的講授，做了十分有益的開放式教學嘗試，由此，我認為目前的開放式數學教學研究應該是一個從數學開放題教學到開放式數學教學不斷漸進的過程。

一、數學開放題

1.數學開放題的概念

所謂開放題，國外叫做“open-ended problem”，即開放結果的問題。我們不應該狹義地去理解數學開放題，因為數學開放題是直接針對課堂教學改革而提出的，在研究數學開放題時，應該更多地考慮教學的因素。我認為：解決方向不唯一的數學題是數學開放題。因為它不僅僅考慮題，更重要的是考慮人，也就是說，它從數學和教學兩個方面來規定數學開放題。

2.數學開放題的基本類型

數學命題一般可以根據思維形式分成∶假設—推理—判斷三部分，據此數學開放題可分為4種基本類型。

（1）條件開放題：開放題未知的要素是假設;

例如：為使下列各式可以分解因式（整數范圍內） ?可以取哪些整數？試分別寫出 幾個值.① ? ?②

（2）結論開放題：未知的要素是判斷。

例如：CD是 的斜邊AB上的高，盡可能找出圖形的形狀和大小之間存在的各種關系.

（3）策略開放題：未知的要素是推理;

例如：有一塊長4米，寬3米的園地，現要在園地上辟一個花圃，使花圃的面積是園地的一半，問如何設計？給出你設計的圖案并作出有關的計算.

（4）綜合開放題：有的問題只給出情景，其條件、解題方法與結論都要主體自行設定與尋找，這類題稱為綜合開放題。

二、開放式數學教學

1.開放式數學教學的特點

（1）開放式數學教學有利于發掘每個學生的數學潛能。

（2）開放式數學教學有利于學生更多地交流與合作。

（3）開放式數學教學有利于滿足學生的心理需要。

（4）開放式數學教學有利于培養學生的創新思維。

2.開放式數學教學方法

（1）培養學生數學語言的開放性，提高學生數學語言表達能力。

數學語言是培養學生良好的個性品質和初步的辨證唯物主義觀點的有效途徑。通過對適應日常生活、參加生產和進一步學習三個方面所必須的代數、幾何的基礎知識的學習和基本技能的培養，逐步掌握和豐富優美的數學語言。通過師生對話、學生討論、課堂練習等形式充分表達出來。因此，我引導學生重視∶①提高口頭語言表達能力，注意簡潔性;②提高文字語言表達能力，注意書寫的嚴謹性;③提高圖形語言、符號語言和文字語言的轉化能力。

（2）重視學生能力的培養，全面實施開放式數學教學。

在開放式數學教學中，要培養學生三個方面十種能力。第一個方面是基本能力，它包括運算能力、空間能力和邏輯思維能力;第二個方面是一般能力，它包括觀察能力、理解能力、記憶能力和應用能力;第三個方面是特殊能力，它包括學生個體的自學能力、抽象能力和探究能力。

①培養學生的求同思維能力

求同思維是從已知材料中進行比較、歸納、總結，得出規律性的知識，尋找問題的同一答案，進行聯想與類比，這與培養學生的求同思維密切相關。

在“相似三角形”的教學中，我讓學生把“全等三角形”的相關知識進行比較，找出異同點，如“相似三角形”的判定與“全等三角形”判定的SAS，ASA，AAS，SSS等有些相似，但也有所區別，可以讓學生通過類比得出結論。

②培養學生逆向思維能力

在教學中，除了向學生進行正向思維訓練外，還應不失時機地設計逆向性問題，培養學生逆向思維能力，使兩者相互促進。實踐中，我設計了這樣的開放問題：當條件變化時，結論如何變化？即矩形（菱形、正方形、梯形、等腰梯形、對角線垂直的四邊形、對角線相等的四邊形等）各邊中點依次連結而成什么樣的四邊形？另外，還可以設計為：當結論變化時要求條件如何？即要依次連結四邊中點得到的四邊形為矩形（菱形、正方形）時，條件應如何變化？最后，可以問學生：結論能否為梯形，為什么？這樣的設計就迫使學生做逆向探求，思維要求更高，逆向思維能力得到培養。

③增強學生思維的批判性

由于開放題的結論常常是未知的或不確定的，有的有待于猜想，有的存在多種可能，這就為培養學生思維的批判性提供了極好的機遇與素材。在“圓”的教學中，有這樣的題：相交兩圓的公共弦長為24，兩圓半徑分別為15和20，求圓心距。有部分學生能夠應用所學的知識作答，結果有兩種答案，但大部分學生處于困惑狀態，于是，我積極引導學生進行討論，在爭議中變得聰明起來，通過“批判自己”，使學生思維的批判性不斷完善與提高。

④提高學生思維的創造性

教學中通過多角度、多方位、多層次地探求解題思路和方法，開闊學生的思路。由于開放題常會給思維的定向帶來困難，這就要求學生既掌握常規的思維過程，又能獨巨匠心，出奇制勝。

例如：已知a≠b，3a2+4a-1=0， ，求 的值。本題可用常規法求出a、b 后代入求值;但引導學生用a、 構造一個一元二次方程，由根與系數關系，輕松求解。

在初中數學教材中，有很多內容與物理、化學、生物、歷史、地理等相聯系，這就不但要求數學教師在熟悉和掌握教學課標的同時，還要了解相關學科的知識，切實教好數學內容，使數學課向物理、化學、生物、歷史、地理等學科進行教學開放，做到數學教學為相關學科的教學服務，增強學生橫向學習數學的積極性，提高創新思維能力，真正把數學變成各學科不可缺少的基礎課程。實踐證明開放式數學教學是可為的，是值得我們認真、深入探索的。