一種電容式聲壓水聽器的熱粘性聲學仿真研究

張鵬飛，王任鑫，白建新，張文棟

(中北大學 儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，山西 太原 030051)

0 引言

與電磁波相比，聲波在水中傳播時的能量衰減更小，故在軍事領域、海洋測繪和水聲通信等方面，對于聲吶設備的需求更廣泛。水聽器作為聲吶系統的核心部件，其靈敏度、帶寬、信噪比等特性及制作成本直接關系到聲吶系統的性能和造價。Choi S.等[1]提出將空氣作為背襯材料的壓電式水聽器，利用壓電材料受力產生應變時會產生電位差的原理，使用壓電薄膜作為敏感結構，同時開發出靜水壓力平衡器以防止用作傳感元件的膜片塌陷；中國科學院聲學研究所李世平等[2]提出了一種液腔耦合水聽器，將壓電圓管用作接收聲壓單元，引入液腔結構，即利用赫姆霍茲共振來提高水聽器接收靈敏度；楊晟輝等[3]提出的扇面纖毛式微機電系統(MEMS)矢量水聽器，通過模仿魚類側線感受水下聲壓信息設計出四梁敏感結構，利用集成十字扇面的仿生纖毛來獲取聲壓信息，扇面結構增大聲壓接收面積從而達到提升靈敏度的目的。常見的水聽器從工作原理上可分為壓阻式、壓電式和電容式等。其中壓電式水聽器技術成型較早，應用最廣泛，但由于壓電晶體與氣體或液體介質存在較嚴重的阻抗失配，會影響傳感器的接收靈敏度及軸向分辨率；壓阻式水聽器基于壓阻效應制成，敏感單元受到應力,其內部的擴散電阻阻值會發生變化，此類型水聽器線性度較好,且檢測方法簡單，弊端是材料的壓阻系數和電阻率受溫度影響較大，不適合在溫度變化復雜的環境中使用。本文提出一種用于檢測5 kHz以下低頻聲壓信號的電容式聲壓水聽器，在Silicon-On-Insulator(SOI)片器件層定義電容空腔、振動薄膜、上電極及注油孔和注油溝道，在玻璃片上定義下電極，SOI片與玻璃片通過陽極鍵合形成電容結構，且與其他類型的水聽器相比，電容式水聽器對于液體介質具有良好的阻抗匹配，因而靈敏度更高，動態響應更好,且其性能基本不會受到溫度因素的制約。

1 結構及工作原理

所設計的電容式聲壓水聽器主要應用于檢測50 Hz～5 kHz的低頻聲壓信號，其自頂向下的結構分別為：金屬上電極及引出焊盤、振動薄膜、注油孔及注油溝道、金屬下電極及引出焊盤、玻璃襯底。通過注油孔和注油溝道可以將硅油引入電容空腔，最后將水聽器整體封裝浸沒在粘度與水相近的硅油中，由于振動薄膜內外壓強平衡，很大程度上提升了傳感器耐靜水壓的能力，整體結構如圖1所示。

圖1 電容式聲壓水聽器整體結構圖

圖1所示的圓形振動薄膜位于器件中心處，作用于其上的聲信號會迫使其產生形變，從而使電容器的極板間距h發生變化，由于h遠小于極板面積(S)尺寸，依據平行板電容器的近似式C=εS/h(其中，C為電容,ε為介電常數)可知，C會產生變化。通過預先給傳感器施加極化電壓Vpol，在電容器極板間存儲了電荷量為Q的靜態電荷，利用電容C=Q/V可知：

(1)

因此，通過檢測電容式聲壓水聽器輸出的交流電信號可得到水下聲壓信息，實現了由聲信號到電信號的轉換。工作原理圖如圖2所示，圖中，AMP為運算放大器。

圖2 電容式聲壓水聽器的工作原理

2 確定結構參數

對于電容式聲壓水聽器，硅振動薄膜為其主要的敏感單元，其結構參數直接或間接地決定了傳感器固有頻率f、塌陷電壓(Vcol)和靈敏度等重要特性。對于材料密度為ρ，材料楊氏模量為E，材料泊松比為ν的圓板形振膜結構，其f[4]為

(2)

式中：t為振動薄膜厚度；a為振動薄膜半徑。由式(2)可知，在空氣中，當振膜材料確定時，f只與其t和a有關。由圖2可知，電容式聲壓水聽器在工作時需要施加Vpol，Vpol越大，Q越大，由式(1)可知，受到同樣大小的聲壓作用時檢測到的電壓變化量就越大，即靈敏度越高，但提升Vpol的同時，極板間的電場力會將振動薄膜拉向下電極，當Vpol達到Vcol時，振動薄膜與下電極接觸，造成傳感器失效，為了盡量增大傳感器靈敏度的同時避免振膜塌陷，我們將選取Vcol的60%作為Vpol，Vcol的計算公式[5]為

(3)

式中：γ=0.82為半金屬化系數；T為薄膜殘余應力(本文可忽略);d為電容空腔高度。由式(3)可知，當振膜材料和中間介質確定時，Vcol只與a、t及d有關，通過Matlab對式(2)、(3)進行圖像化處理，可得到結構參數與f、Vcol間的關系(見圖3)。結合上述理論分析與工藝實現的可行性，最終確定傳感器結構參數如表1所示。結合表中參數在Comsol Multiphysics仿真程序中對電容式聲壓水聽器建模如圖4所示。

圖3 水聽器結構參數與f和Vcol的關系

表1 電容式聲壓水聽器結構參數

圖4 電容式聲壓水聽器建模

3 仿真分析

當前對于小尺寸聲學換能器(如MEMS麥克風、MEMS矢量水聽器、微型揚聲器等)進行的仿真多停留在壓力聲學甚至只是固體力學的分析階段，僅對壓力作用下傳感器結構形變及固有頻率等方面進行仿真分析，忽略聲波的傳播在狹窄區域的損耗對仿真結果的影響[6-8]。事實上，聲音在狹窄結構內傳播的過程中，會因熱損耗和粘性損耗造成聲波的衰減，為了精確模擬小尺寸幾何結構的聲學特性，由于在壁面附近邊界層的存在(邊界層厚度稱為粘性穿透深度和熱穿透深度)，計算粘性損失和熱損失變得很重要，由此引入了熱粘性聲學(也稱粘熱聲學或熱聲學)數值計算方法。

熱粘性聲學的數值計算包括多物理場和多尺度模擬，結合波長尺度的聲學傳播和邊界層厚度尺度的動量和熱量傳遞。在處理基于聲學現象的測量系統(首先是聲學換能器)或需要對邊界層內的場進行精確描述及在研究MEMS器件、毛細管域或多孔材料時都需要對于熱粘性特性的解釋。對非線性過程的研究，如聲流或熱聲效應，也需要對熱粘性聲學進行精確計算。與流體的粘性和熱傳導有關的現象在聲流體邊界附近、聲邊界層內更顯著，因為聲流體與周圍結構的熱量和動量傳遞比在流體本體中更強烈。

與聲的傳播過程相比，當結構的特征尺寸大于邊界層厚度時，能量擴散(熱傳導)和動量擴散(剪切粘滯轉移)的物理意義更大。按照結構特征尺寸與邊界層厚度的不同尺寸比例，引入了兩種解析模型：

1) 當邊界層厚度遠小于結構最小特征尺寸時，熱效應和粘滯效應可看作是在理想流場中發生的弱擾動，即可以忽略粘滯和熱傳導。對于此類系統模型而言，利用壓力場特定的導納邊界條件，采用理想流體中的聲學解是最有效的解析辦法。事實上，相對于邊界層厚度而言，聲波波長和結構的特征尺寸更大，可以假設總場在邊界附近表現為平面波。

2) 當結構最小特征尺寸近似于甚至小于邊界層厚度時，小尺寸結構的邊界層等效導納條件不再普遍適用，粘滯效應和熱效應不可被忽略。這種情況包括高曲率幾何形狀或拐角(曲率半徑與邊界層厚度相似或更小)和毛細管區域(其整個流體區域被邊界層占據)。在過去一段時間內，人們做了大量的工作來研究狹縫[9]、平行表面間的薄層[10]、耦合腔或球形諧振器[11]，通過解析解或數值解的方法來進行聲學建模。

本文利用Comsol Multiphysics中的熱粘性聲學物理場接口，使用數值解法對第2)種情況進行求解。在求解質量守恒、動量守恒和能量守恒的基本方程時，考慮了聲場的局域性，意味著分析了多物理場。考慮到多物理的耦合自由度和最小特征尺寸上的網格細分，如何在保證計算精度的前提下降低計算成本是一個難點。得益于電容式聲壓水聽器模型的對稱結構，可以利用對稱邊界條件只對模型的1/4進行建模，之后通過對結果數據集三位扇形化處理得到整個模型的分析結果；最后，結合Comsol中靈活的邊界條件設置，忽略電極厚度、電極材料等屬性對振動薄膜的聲學分析造成的影響，對振動薄膜選取“膜”物理場進行建模，通過區域劃分和指定邊界只保留電極的電學特性和振動薄膜的固體力學特性，避免了圓板模型由于較大的縱橫比導致網格劃分過密帶來的龐大計算量。同時，在網格劃分過程中引入了邊界層設置，對狹窄區域(如電容空腔處)細化網格，保證仿真分析的精確性。

對于三維粘性可壓縮牛頓流體的運動，可由下列方程組來控制，即

粘性可壓縮流體的質量方程(或連續性方程)：

(4)

粘性可壓縮流體的動量方程(Navier-Stokes方程)：

(5)

粘性可壓縮流體的能量方程:

(6)

本構方程：

(7)

(8)

ρ=ρ(p,T)

(9)

(10)

式中φ即為τ的標量縮并與應變張量S的比值，這兩個張量都被視為速度矢量的函數。如果平均速度為0，φ在下面的線性化中被消去，因為它在速度梯度中是二階齊次的。

對于圍繞穩態解的聲學諧波擾動，假定因變量和源由下式給出，則有

u=u0+u1eiωt

(11)

p=p0+p1eiωt

(12)

T=T0+T1eiωt

(13)

ρ=ρ0+ρ1eiωt

(14)

F=F0+F1eiωt

(15)

Q=Q0+Q1eiωt

(16)

式中：ρ0為背景密度;下標“1”為聲學擾動(一階擾動)，下標“0”為背景平均流量。假設流場背景為靜態，即u0=0，將式(11)～(16)代入式(4)～(9)中，忽略聲學變量中的二次項，將其線性化為一階，就可得到包含熱損耗與粘性損耗的聲學控制方程(刪除了聲學變量的下標符號)，連續性方程為

(17)

動量方程為

(18)

式(18)等號的右側為應力張量的散度。能量方程為

(19)

在式(18)、(19)中，存在由粘性剪切和熱傳導導致的耗散項，若速度場和溫度場存在梯度時均會發生粘滯損耗。

通常，振幅m0和頻率f0的切向諧波振蕩作用于z=0處的壁，會產生粘性波m(z)為

(20)

由式(20)可得到粘性剪切波(橫波)的波長Lv為

(21)

結合式(20)、(21)可知，粘性剪切波的振幅會隨著到邊界的距離呈指數衰減，表現出很高的阻尼[15]。事實上僅在一個波長內，振幅就減小到其邊界值的1/500左右。式(21)中長度標度δv即為粘性滲透深度或粘性邊界層厚度。

同理，振幅為T0且頻率為f的溫度諧波振蕩在z=0處會產生如下形式的熱波:

(22)

熱波的波長為

(23)

與粘性波的衰減行為類似，長度標度δt是熱穿透深度或熱邊界層厚度，Lv與Lt的比值與無量綱普朗特常數Pr有關，即

(24)

式(24)指出了給定材料下熱效應和粘性效應的重要性，利用圖4構建的模型分別在空氣和水中仿真不同聲頻率下熱邊界層和粘性邊界層的厚度，得到結果如圖5所示，顯示了粘性損耗效應和熱損耗效應隨聲波傳播頻率的提高而降低，且在空氣中，粘滯效應與熱效應發揮的作用不分伯仲，然而在水中粘性效應起主導作用。此外，由圖5還可知，低頻條件下熱邊界層和粘性邊界層的厚度要大于所設計的電容式水聽器的最小特征尺寸，證明對水聽器進行熱粘性聲學分析是有必要的。

圖5 空氣中和水中的邊界層厚度

結合表1給出的結構參數及式(2)、(3)可得電容式聲壓水聽器振膜的理論固有頻率為36.8 kHz，Vcol為19.3 V，則Vpol取為11.6 V，對振膜進行模態分析，得到四階模態的仿真結果如圖6所示。經仿真得到的固有頻率為34.7 kHz，與理論值基本吻合。

圖6 振動薄膜位移表面圖及線圖

結合熱粘性聲學、靜電、膜等物理場及熱粘性聲-結構多物理場對圖4給出的模型進行靜態分析，得到振動薄膜在施加極化電壓為11.6 V后的薄膜位移圖像如圖7所示。由圖可知，薄膜的最大位移出現在薄膜中心處，其值為1.98 μm，小于腔高3 μm，因此未發生塌陷。

圖7 振動薄膜位移圖像

傳統電容結構聲壓水聽器的分析法是在振動薄膜表面施加一均勻應力來代替聲壓，仿真得到振動薄膜沿半徑方向的形變量[16]。此方法事實上只是對水聽器進行靜態分析，忽略了不同頻率聲壓對水聽器動態性能的影響，表2為施加幅值10 Pa、聲壓頻率不同時得到的振動薄膜最大位移與傳統方法施加10 Pa均勻應力后得到振動薄膜最大位移的比較。

表2 不同仿真方法得到的振動薄膜最大位移的比較

由表2可知，相對于水聽器的微小結構尺寸，聲壓頻率對其動態性能的影響不可忽略，通過熱粘性聲學仿真法得到的動態仿真結果比傳統靜態仿真結果更科學準確。提取出上述聲壓頻率下的聲速切面圖如圖8所示。首先,由于壁面附近熱損耗與粘滯損耗的緣故，振動薄膜表面附近的聲速小于遠離振動薄膜處的聲速；其次，隨著頻率的增加，粘滯效應與熱效應對水聽器的影響變得愈漸微弱，體現在瞬時聲速的最大幅值逐漸靠近振膜區域，這一現象符合本節所述的理論分析。

圖8 不同頻率下聲速切面圖

根據電容式聲壓水聽器的工作原理，即將入射聲壓Pin通過振動薄膜的機械振動轉化為輸出電壓Vout，可以得到水聽器接收靈敏度的計算式(參考聲壓1 V/μPa)為

(25)

通過式(25)計算得到的值一般為負。經過仿真得到的水聽器在1 Hz～100 kHz的靈敏度如圖9所示。由圖可知，在1 Hz～100 kHz內水聽器的靈敏度基本保持在-147 dB左右，符合設計預期。

圖9 1 Hz～100 kHz水聽器靈敏度曲線圖

4 結束語

本文提出了一種基于熱粘性聲學的電容式聲壓水聽器的仿真分析方法，并通過理論分析得到了熱效應與粘滯效應對于工作在低頻條件下的小尺寸聲學換能器的影響。從仿真結果可得出所設計的水聽器的固有頻率為34.7 kHz，且給出了不同頻率下的聲速切面圖，驗證了理論分析的正確性，最終得到水聽器的靈敏度為-147 dB(5 kHz,0 dB@1 V/μPa)。與傳統固體力學仿真分析法相比，本文提出的方法不僅可以得到水聽器的動態特性，同時也考慮了熱效應與粘滯效應在低頻條件下對小尺寸水聽器的影響，給出的分析結果更準確。